韦达定理讲解教程文件

1、韦达定理讲解（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-22123一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2= ab-ac（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为0韦达（韦达（15401603）韦达定理的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2

2、=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2=Pq说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-33

3、2(1)2111xx= 2121xxxx =332=92(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )232 -2(-3)694例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解二： 设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1 2=

4、k+1x1 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2。已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6(3) x1 = - , x2 =(4) x1 = -2+ , x2 = -2-7755由韦达定理，得解：x1+x2= - , x1 x2=3p3qp= -3(x1+x2) q=3 x1 x2 (1)p= -9 q= 6 (2)p= 9 q= -54 (3)p= 0 q= -21 (4)p= 12 q= -3 1、已知方程3x219x+m=0的一

5、个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1= , x1= ,316又x11= ,3m m= 3x1 = 16 解： 由韦达定理，得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=23251、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a0（2）根的判别式 01、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别

6、为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2= , x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-8k+4021 k由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2