小专题(八)　用分类讨论求解等腰三角形多解问题(选做)

1、小专题(八)用分类讨论求解等腰三角形多解问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型1对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等1等腰三角形是有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？2如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数类型2对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是

2、“腰”，哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边3若一个等腰三角形的三边长均满足(x2)(x4)0，求此等腰三角形的周长4若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm和12 cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长类型3对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论5已知ABC中，ABAC，AB的

3、垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数6一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？7AC为等腰ABD的腰BD上的高，且CAB60°.求这个三角形各内角的度数参考答案1若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°52°)÷264°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.2.设A，B，C是该等腰三角形的三个内角，且AB.设Ax°，则B2x&#

4、176;.若B是顶角，则A，C是底角，于是有CAx°.ABC180°，x2xx180.解得x45°，故AC45，B90°.若B是底角，因为AB，所以A是顶角，CB2x°.ABC180°，2x2xx180.解得x36，故A36°，BC72°.综上所述，等腰三角形的各内角为45°、45°、90°或36°、72°、72°.3.据题意，得x2、x4都满足(x2)(x4)0.从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、4或2、4、4或2、2、2或4、4、4.其

5、中，根据三角形的三边关系知，以2、2、4为边不能构成三角形，而其他三种情况均符合条件因此，所求等腰三角形的周长为6或10或12.4如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm、哪一部分是12 cm，因此，应有两种情形：若设这个等腰三角形的腰长为x cm，底边长为y cm，于是根据题意，得或解得或即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm.5.由题意可判断该三角形不可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且AED50°，则A40°，所以BC70°；如图

6、2，当AB的垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且AED50°，则EAD40°，BAC140°，所以两底角BC20°.综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.6设A为顶角，则ABC、ACB为底角(1)若A为锐角，如图1，作BDAC于点D，根据题意有BDAB，BDA90°，A30°，ABCACB75°；(2)若A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若A为钝角，有三种情况：如图2，作ADBC于点D，根据题意有：ADAB，ADB90°，ABCACB30

7、°；如图3，作BDCA的延长线于点D，根据题意有：BDBC，ADB90°，ABCACB30°；如图4，作BDCA的延长线于点D，根据题意有：BDAB，ADB90°，BAD30°，ABCACB15°.综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.7.如图1，高AC在ABD的内部，因为CAB60°，ACB90°，所以B30°.因为BABD，所以BADD75°；如图2，高AC在ABD的外部，因为CAB60°，ACB90°，所以ABC30°，所以ABD150°.因