大学数学：第5章 4 二重积分的计算

1、 21,bxaxf x y dy dx 21,dycyf x y dx dy 21,bxaxdxf x y dy或记为或记为 21,dycydyf x y dx或记为或记为n 利用利用直角坐标系计算二重积分直角坐标系计算二重积分,Df x y dxdy1、,Df x y dxdy2、X-型区域型区域 Y-型区域型区域 abxyoDcdDyxo例例1 计算下列二重积分计算下列二重积分 1: 11,11Dxy 2Dxy d11211dxxy dy11221112x yydx121423x dx2Dxy d1D？124Dxy d解解 原式原式 因为被积函数没有对称性，即因为被积函数没有对称性，即 (

2、 , )( , )f x yf y x例例1 计算下列二重积分计算下列二重积分 2:0Dxy1sinDyxd001sinydyyxdx001cosyyxdy 01cos1yyydy 20011sin12y dyy 0011sinsin22yyydy 先积先积 后积后积 如何？如何？yx1222解解 原式原式 计算麻烦！计算麻烦！ 例例1 计算下列二重积分计算下列二重积分 2:0Dxy1sinDyxd先积先积 后积后积yx01sinxdxyxdy20sin2xyx ydx2200sinsin22xxdxx xdx要用两次分部积分要用两次分部积分解解 原式原式 例例1 计算下列二重积分计算下列二重

3、积分 3:2 ,2Dyx yx y由由围成围成22Dxyx d22202yydyxyx dx2322021132yyxy xxdy2320193248yydy2430191139686yy先积先积 后积后积 如何？如何？yx解解 原式原式 要分成两部分之和要分成两部分之和 例例1 计算下列二重积分计算下列二重积分 3:2 ,2Dyx yx y由由围成围成22Dxyx d先积先积 后积后积 yx1222222201xxxdxxyx dydxxyx dy要分作两部分计算要分作两部分计算解解 小结：化二重积分为二次积分时，小结：化二重积分为二次积分时，积分次序积分次序的确定应考虑的确定应考虑 积分区

4、域的积分区域的形状形状，还应考虑积分计算的，还应考虑积分计算的难度与方便难度与方便。22Dxyx d例例2 计算下列二次积分计算下列二次积分 10sin1xxydxdyy210sinyyydydxy10sin1yydy210sinyyyxdyy101cosy dy 11001coscos1 sin1yyydy 解解 原式原式 o11yxy=x y=x1/2原有积分次序不可求！原有积分次序不可求！ 例例2 计算下列二次积分计算下列二次积分 2224202222xyyxxdxe dydxe dy2220yyydye dx2220yyyexdy220yeydy222012ye dy224011122yee解解 o242yxy=x y=x/2 原式原式 积分区域积分区域D可表示为：可表示为： 02,2yyxyxyzo例例3 计算下列立体的体积计算下列立体的体积623DVxy dxdydyxyxx1010236106 1 3y dy （1）由四个平面）由四个平面0,0,1,1xyxy围成的柱体被