第二学期第二十九次课

1、第二学期第二十九次课§ 3张量12.3.1线性变换的张量积的矩阵与线性变换的矩阵的关系设V是域K上的n维线性空间， 仆，；n和,.,n是V的两组基，且1',s ) = (® '.n下的坐标为(N,=TR-设用 在；.,.,xn，那么由前面的知识，可得，；nT(1)(2)由此可知，坐标是逆变的；现在考虑V的对偶空间V。1,., ；n在V的对偶基为偶基为g1,., gn，那么就有儿1 %/ 1 *1 00:rg*0 1:(勺,)-:件,.,"a+fnn g0V.J.0 01丿ff1y/ 1、ga=T*lf n<T丿n电丿和4可得:(5)(6)将1

2、代入3r 1 、1 0 0、广1 、g9g-0 1 :1-:(坷,.，)T =a+=T:n: 0n<g丿0 1 ；<g丿注意可逆矩阵相乘，可交换比拟3(1,.,n)f = (a1an )n<g丿由5和6得到:(b1,., bn ) 一 ( a1 ,., an )T比照1式，可知V的对偶空间的坐标变换是共变的。张量的记法Einstein约定在一般的数学式子中，和号表示为n' ah 二印0 a2b2 亠 亠 anbn.i 4而在张量理论中，将某一个量的下角标改写为上角标，同时省略和号，即令aib =a1b| +a2b2 + +anbn.ti £按Ein Stei

3、n约定，将1中的T写成ti2令S=T1，并将S写成t；t2ntn丿"sI251252n、51n522SnnSn那么V内基变换和V内基变换之间的关系可概括如下:1i 弋；k，而 i =Sk k；2g = s；fk,而fi =tkgk.定义12.6逆变张量现考察一虬_V 書V =Vp.它有相应的两组基：w., ip分别取值 1,2,.,n;W®jpj1,., jp分别取值 1,2,.,n.对于Vp内任一向量：，它在两组基下的坐标分别设为i i - i-a12 p ；j ： ；j' V- i1i2ip=aj1"jpi ： ii .j1j2jp将V内的基变换公式Y

4、 k代入上式，得iii2-ip_-_a p 1 i:i; siii2ip= aiib"ip (SiiFji)(s22T)® (sjjp)jp)= SjT2Sjpaiii2Cp(3 0 ®'i '21 pi2于是我们得到:-在两组不同基下的坐标变换关系：(*)ajij2,jp =$怙2Sjjpaili2 "pi1i2i p在V内取定一组基；n，让它对应于域 K内一组元素如果这组元素随aili2 ip |ii,.,ip分别取值 1,2,n.内的基变换务=skr|k而按公式*变换时，就称它为 V上的一个p秩逆变张量。定义12.7协变张量现考察V

5、的张量积q项vI； -；V* =V*(q)对于V q内任意向量f，它在V q的两组基ii,.,iq分别取值 i,2，,n; gji工 g'qji,., jq分别取值 i,2,n.下的坐标分别设为iqiq们2iq二 bjjqgji ： gj2： gjq.ii k现在将V内基变换公式f -tkg代入，得biii2iqf1_ fi2_-fiq =bi2Yitj：tjqbiqdgbPgb).Mqdd冷(tj；gj2)®轻(tj：gjq)于是我们得到f在两组不同基下的坐标关系:(* )取定V*内一组基：f ,., f，让匕对应于域 K内一组兀素b1i/.1q |ii,.,iq分别取值

6、1,2,.,n,bjijUq 二 tj；tj：tjqbiir Iq -*ii k如果这组元素随 V内的基变换f -tkg而按公式* 变换时，就称它为V上的一个q秩协变张量。定义12. 8最后，我们来考察张量积V(p) _ V*(q)，它有两组基；i、j f j17: f jq1p(ii,.,ip, ji,., jq分别取值 1,.,n),k ；亿-g11； g|q(k1,., kp,l1,.,lq分别取值 1,.,n).V( p) ： V (q)内一个向量可表示成讣2ipj1jqa-jq ；ip ： f f f= aM2.|qp k1kp ： g1g(*在基变换* = s： k， f"

7、;二tig*下，有k1k2kpk1kp j1jqj1j2ipal1l2 lq- Si1SPI1I|qaj1j2 jq.i i i ， ，*域K内一组元素am | h,., ip, j1,., jq分别取值1,.,n在V和V的上述基变换下按公式(* )变换时，就称它为V上的一个p秩逆变，q秩协变的混合张量，或简称为(p,q) 型张量。12.3.2张量的加法和乘法(i) 加法给定两个(p, q)型张量：a；和b；：，定义iip _ 讣2ipi1i2 'i p5訂2 jq 二 %2 jq g jq称为两个张量的 和。显然，两个(p,q)型张量的和仍然是一个 (p,q)型张量。(ii) 乘法给

8、定一个(p,q)型张量a：；】；，把它看作张量积V(p)径V*(q)内向量口在基 削凶过乱凶fj1凶竖fjq下的坐标；又给定一个(r,s)型张量b?"，把它看作 V(r) : V*(s)内一个向量一：在；k厂:飞：fU；-；fls下的坐标。我们考察张量积_4r 项_项(V( P) ： V*(q) ： (V(r) ： V*(s) =V 第 门 V ： V ' ；V*.它里面有一组基为(*知述轻Ejp述过.3 %轻f H轻袋f打轻f»过过f I(il, ip,ki,kr , ji, jq,h,L = 1,2,n).我们有:(a； ： 1：；ip ： fj1 ：:fjq)k kii®(b；.气®® % ® f1®® fs)=a；：.: bk J ；j 1 i .；kj1 j2 jq l1 Is 1lIpk1kr:fj1 fjq : f11fls我们定义if - ipkr - kr5t jqhIs川2ipk