第2讲--Leslie矩阵模型

1、3.4 Leslie 矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总 量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着 明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的 种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的 开展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。假设女性最大年龄为s岁，分s岁为n个年龄区间：丄 (i 1)s is ti, i 1,2, ,nn n年龄属于ti的女性称为第i组，设第i组女性人口数目为 Xi(i 1,2, , n)，称x (xX2，,Xn)T为女

2、性人口年龄分布向量，考虑x随 tk的变化情况，每隔-年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化即n将时间离散化。设初始时间为to，tk to竺时间的年龄分布向量为 nx(k) (x(k),x2k), ,xnk)T，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口 演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。设第i组女性的生殖率已扣除女婴的死亡率为 ai第i组每位 女性在s年中平均生育的女婴数，ai 0，存活率6第i组女性在-nn年仍活着的人数与原来人数之比，0 bi 1，死亡率1 bi，假设ai， bi在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。tk时第一组女性的总数x1k)是tk 1时

3、各组女性人数为 x(k 1),i 1,2, ,n所生育的女婴的总数，可以由下式表示：x1k) ax* 1) a2x2k 1)anxnk 1)tk时第i 1组i 1女性人数x(k1是tk i时第i组女性经-年存活下n来的人数，可以由下式表示:x(k)i ibiXjki, ii,2,ni用矩阵将上两式表示为：kXiaia?an iankXiikX2bi000kx?ikX30b?00kX3ikXn00bn i0kXni记：aia?an iankXiR000kx?L 0b?x(k)kX3，0000bn i0kXn那么有 x(k) Lkx(0)称L为Leslie矩阵，由上式可算出tk时间各年龄组人口总数

4、、人口 增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。利用Leslie模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L的特征值和特征向量有关。矩阵L有唯一的单重正特征值i，对应的特征向量为：,bi bib? bib? bn i、txi (1, , 2 ，77 )iii假设i是矩阵L的正特征值，那么L的任一个实的或者复的特征值都满足:假设矩阵L的第一行有两个顺序元素ai，ai i 0，那么L的正特征值 是严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的，所以L矩阵必有严格优势特征值假设矩阵L有严格优势特征值i，对应特征向量为xi，那么:cx1(k)Ijm这说明时

5、间tk充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人n数x(k)占总数x(k)的百分比几乎等于特征向量Xi中相应分量占分量i 1总和的百分比。x(k 1) x(k)同时tk充分大后，人口增长率 L 趋于1 1，或说1 1时,Xi人口递增；1 1时，人口递减；1 1时，人口总数稳定不变。例1加拿大人口数量预测问题为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示由于大于 50岁的妇女生育者极 少，故只讨论050岁之间的人口增长问题表1加拿大人口统计数据年龄组i年龄区间aibi10,5)25,10)310,15)415,20)520,25)625,30)730,

6、35)835,40)940,45)1045,50)分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩阵L如下所示，求解特征方程,00.000240.058610.286080.447910.363990.222590.104590.028260.002400.9965100000000000.9982000000000000.99802000000001000.99729000000L00000.9969400000000000.9962100000000000.9946000000000000.9918400000000000.987000可以得到L矩阵的特征值：1.0763和特征向量：x 0.42

7、57,0.3942,0.3656,0.3390,0.3141,0.2910,0.2694,0.2489,0.2294,0.2104T通过上述过程大家可以发现，一旦 L 矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab求解程序如下：clear allL=zeros(10,10);L(1,:)=0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240;L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0

8、.99694;L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700;v,d=eig(L);a1=d(1,1);a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1);pie(a3)legend('0,5)','5,10)','10,15)','15,20)','20,25)','25,30)','30,35)','35,40)','40,45)','45,50)')结果：I 0,5) 5,10)I I 10,15)15,20)20,25)25,30) 30,35) I I 35,40)40,45)45,50)7%14%7%8%13%9%12%9%11%10%图1加拿大人口结构示意图由L矩阵的特性可知：当时间充分长后，年龄分布向