课题学习的案例：折叠问题初探

1、.课题学习的案例：折叠问题初探教学目的：知识与技能： 在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联络，培养联想、类比由特殊到一般等数学的考虑方式，浸透转化与划归的数学思想，能较为综合运用角平分线、平行线及与三角形,多边形相关角的一些知识。过程与方法： 经历做数学理论，考虑，再合情推理的数学知识形成过程；通过观察一探究一猜测一验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。情感态度、价值观： 建立一些活动折纸与几何世界的多种联络，激发学习几何的兴趣。感受到运动中蕴涵着静止，变与不变得辩证关系，在折纸中加强学生的发现探究才能和创造力。教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决,让学生提问与质疑、尝试与探究、

2、讨论与交流、归纳与总结。促使学生思维开放，在积极探究中形成创新性的考虑与对待问题的方式，并藉此获得知识.教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决详细问题教学方式：探究式,启发式教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件 一、 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:折纸与几何解题 活动1： 如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断EFH的度数？ 说明理由。学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极考虑理由。老师活动设计：此题结论明显，易操作，主要目的使学生感受折叠过程中表现出重合全等的特性，从

3、而造成的折痕为角平分线，从此题中得出此题本质是临补角的角平分线互相垂直，进一步得到思想方法，化复杂图形为根本图形；运动中有静止。 板书解答：EFH90° 理由： 由折叠过程可知: 1=2, 3=4 又1234180° 所以1390° 即EFH90° 小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。 活动2假如将一张长方形纸片，沿着对角线折起一个角，使C点落在E处，BE与AD相交与点O如图2这时我们能观察到什么呢？请说明理由。学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，会发现许多的结论，并积极考虑理由。老师活动设计：此题易操作，结论颇多，是一个开放性问题，主要

4、目的使学生进一步体会思想方法，化复杂图形为根本图形；运动中有静止。并积极搜索自己大脑中的知识库，给出合理的理由。 板书结论： E=C, EDB=BDC, EBD=CBD 动中有静 ODB=CBD=EDB,AOB=EOD,BDC=ABD=EDB, OBD=ODB, ABO=EDO各类根本图形 AB=CD=ED, AD=BC=BE,OA=OE,OB=OD可用等积法说明OA=OE SABD=SBDC= SBED SABO= SEOD AE/BD 注：此时学生还没有学三角形全等和等腰三角形有关知识探究活动：把三角形纸片折起一角，角的顶点会落在什么位置呢？新形成的1，2和A之间有什么数量关系?学生活动设

5、计：学生将手中的三角形纸片折叠后，会发现有三种可能。老师活动设计：此题是一个一题多变，一题多解的比较综合的问题，有一定难度。主要目的使学生加深体会思想方法，化复杂图形为根本图形；运动中有静止。引导学生从特殊到一般进展探究。 探究1：1如图31，把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的边BD上时，那么A与2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。 探究2：2 如图32，把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，那么A与1，2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明你的理由。学生活动设计：学生将手中的三角形纸片折叠后，在本上画出图形

6、，积极考虑，给出证明。老师活动设计：给学生足够的时间考虑，老师可巡视，然后请学生发表见解，师倾听同时板书学生思路并再次强调根本图形三角形，四边形和折叠中的不变量。 结论：2A21 简单思路1：利用四边形ADAE和三角形ADE 思路2：利用四边形BCED和三角形ABC 思路3：利用临补角2和AEA, 1和ADA以及三角形ABC 思路4：联结AA利用三角形外角性质此法最简洁，思路转化向探究1情况 注：此题还有其他解法，利用作平行线等，学生假设没想到就避开。 探究3如图33，把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部时，那么A与1，2之间有什么数量关系，请你试着找一找这个规律。并说明

7、你的理由。 结论：2A21 引导学生：思路转化向探究1，2联结AA利用三角形外角性质情况，可解。 老师追问：A与1，2之间的数量关系能统一到一种形式吗？知识升华引导：利用内，外具有相反意义假设规定角的正负，就可以统一到 2A21探究1中10，探究2中10,探究3中10师生小结： 思想方法 复杂的图形转化为根本图形 从运动变化中寻找不变性的思想 从折叠与展开过程中体会到逆向思维 课后练习： 1假如将一张长方形纸片按图4折叠，假如点C落在AD上呢？你能观察到什么呢？请说明理由。 2如图5在一张纸上画一条直线和一个点，你能否利用折叠的方法， 经过一点作直线的平行线？谈谈你的理由！ 课后反思： 折纸活

8、动本身能唤起学生很多美妙的回忆，如折纸飞机、纸帆船、千纸鹤。另一方面，折纸活动又是一种有效的操作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动去发现问题、分析问题。而且折纸活动本身也承载着许多重要的几何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学习兴趣、好奇心与探究精神，有重要的价值。 通过设计折纸活动让学生动手理论，自主探究与合作交流，丰富了学生的学习方式和老师的教学方式，在此过程中，学生找到了学习的乐趣，老师对教与学的方式也有了新的认识。 1背景 用“操作、“观察、“猜测、“分析的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。A.关于互为临补角的角平分线互相垂直这一结

9、论学生已经知道，用折纸的背景将条件隐藏起来，从学生已有的生活经历、数学根底出发，重新设计“互为临补角的角平分线互相垂直的教学过程。让学生从研究折叠中的图形性质探究出结论并加以证明。此题折叠效果明显，结论唯一，证明易操作。B.关于长方形沿对角线的折叠这个问题背景简单，但隐含条件和结论异常丰富，是向学生发起挑战的一题，大量的线，角关系。学生得到的三角形全等，线段相等等积法表达了学生的探究深度，可惜A,E两点连线/对角线BD没有给出。C.关于观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛

10、毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起

11、了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。三角形折叠一个锐角的问题是一个从特殊到一般的探究，结论可以统一起来2A=12只需规定1的

12、正负，可惜联结A,A的方法没有由学生给出来。 B,C两个问题假如折叠的角度小于180会在立体几何中有后续探究。 布鲁纳也指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。学习是一种过程，而不是结果。可见，让学生在活动中“学会学习本身比“学会什么更重要。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼

13、儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种兴趣活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的才能，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的才能，强化了记忆，又开展了思维，为说打下了根底。2家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼

14、儿的阅读才能进步很快。培养学生数学地思维，进步数学素养 数学的特点之一是高度抽象。如抽象的概念、抽象的关系，但它们都有非常多的现实背景。该课例在教学设计中关注了这个特点，力图表达数学事实的现实背景，并从中选取与学生生活世界亲密相关的情境，使学生思维的抽象过程犹如“自然发生。数学的另一特点是严密性，表现为逻辑严格与计算准确，这种严密过程正表达了人类认识的逐渐深化。在课例中，我们也注意了学生的认知特点，在“直观几何到“证明几何的严谨化过程之中做一过渡，以此启蒙证明与反驳的思维方式。同时，这反映了一个逐渐追求严谨的过程。在课例设计的问题解决活动中，表达了一些数学思想方法：1考虑问题的逆反方向，2从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；3把一个复杂问题转化为解决过的根本问题的转化与化归思想；4归纳与分类的思想把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进展分类；5从变化中寻找不变性