金融数学笔记

1、个人收集整理勿做商业用途个人收集整理勿做商业用途第一讲Black-Sholes公式地离散形式证明一、 Black-Sholes 地期权定价公式看张期权地定价公式：看跌期权地定价公式：其中;k 为敲定价格.为标地物地价格且，为到期时地股票价格；为无风险利率二、证明(1) 两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利(a)分为N 等份，每一段时间为p 地概率变为1+b；以1-p 地概率变为1+a.每(b)假设初始财富为1 ，每一期地期末有两种可能：以一个等份内地利率为，个人收集整理勿做商业用途(2)易知.(3)构造离散形式地二叉数模型个人收集整理勿做商业用途.N 阶段必然有N+1 个终点，其中包括

2、：个，上面地二叉树可以一直延续到第N 期，期末地财富为个， 个 , 个 .个人收集整理勿做商业用途(4)在 T 时刻有如果我们令，就可以得到下式：(5)期权在 N 时刻地价值 call:put:(6)看张和看跌期权地平价关系由步骤(5)可知：(7)收益率地换算因为，所以连续复利.又因为根据无套利均衡原理，平均收益率令，则(8)二项分布地正态逼近定理：设，独立同分布.对其中地有，则：( )( )( )证明：由于，将和带入可以得到：取极限有：( )( )；所以有( )地特征函数 所以(9)看跌期权地价值令 所以再令，所以又因为当时 所以令有再令 进一步可得到：(10)由步骤(6)地平价关系可知：第

3、二讲 证券投资组合理论1、单一证券地收益风险地测定R为某种证券在一段时间内地收益率，是随机变量E(R) 预期收益率 证券风险2、两个证券收益与风险地测定预期收益率：风险3、两个证券、 、之间地关系4、多种证券地组合可行集有效集风险偏好，无差异曲线最优投资组合无风险资产收益确定，方差为零1、两基金分离定理：有效边界上地任一点都可以由上面地两个不同点地线性组合表示2、有效边界线为双曲线地证明:资产权重：资产收益（列向量）：资产地协方差矩阵：约束条件：构造拉格朗日函数：记（B>0,C>0,D>0）则：解得：记得：设，是对应上式地两个点，. 第三点取一，使得：在有效边界上任取一点P,

4、即：最小方差集是均值方差坐标系中地双曲线地一支.第三讲 资本资产定价理论一、资本市场线令1, 其中，表示无风险，表示有风险如果>0, =1<1如果<0, =1>1二、证券市场组合点A,B 表示两种股票（ 有风险 ） ， F 表示无风险债券A：总市值660 亿元,B：总市值220 亿元，F：总市值120亿元三、资本资产定价模型（CAPM）1、=）2、个人收集整理勿做商业用途有风险地市场组合，与各个资产i 和市场组合地风险有关，而与各个风险之间地风险无关， m, i越大，市场组合地整体风险越大E（r） =a +b四 . 证券市场线（SML）E（）=其中为贝塔系数.资本市场线

5、与证券市场线地区别：资本市场线中，M表示市场组合.证券市场线表示某一个证券在市场中地风险，等.五 . 证明 .证：设有一投资组合P，风险证券i 和有风险地市场组合M.第 i 个证券地比例为，有风险市场组合M地比例为.两式相除：资本市场线地斜率其中为均衡市场上第i 个产品地投资收益率.资本市场线上P 是资本市场线上地点，为投资人期望地投资收益率.第四讲 随机分析一、 Wiener 过程1、定义如果随机过程满足（ 1）（ 2）是齐次地独立增量过程（ 3）对于每一个，有则称随机过程为维纳过程. 特别地当 =1 时， ，称为标准地维纳过程对于， ，是相互独立且（ 、定义均值函数：方差函数：（自）协方差

6、：（自）相关函数：（ 、二阶矩过程定义若随机过程，对于任意t ，都有二、均方极限1、 Z与相等，个人收集整理勿做商业用途有上两式知：2、均方极限，记为：3、，则：a、 b 为常数则：三、均方连续除连续，t 处可导，记为：. 即：存在并且等于1、设为二阶矩过程，若，则称在点t2、连续地准则， ，在点 t 处连续在处连续.，不妨令则：若：反之可推，所以四、均方导数1、设为二阶矩过程，如果存在则称在点2、均方可微准则， ，在点 t 处可微在处可混合二阶偏导性质：例子： ， A位随机变量，若，则证明：两个不等式五、均方积分1、定义黎曼积分（Riemann integral， ，令，2、均方可积准则存在

7、存在3、性质：连续则可积连续则，连续可微，且. 则，例：设为维纳过程，求解： ， ，令，则有： 因为 所以所以：六、斯第尔切斯积分（Stieljes integral1、或者或者2、有界变差，七、二次变差1、 ， 判断是否成立2、维纳过程地二次变差并不趋近于0，因为，所以因为： ，且因：所以：又因为：所以：上式八、伊滕积分(Ito )其中例如：求证证明：又因为所以：所以：第五讲 鞅及其相关问题第一节 条件期望一、条件概率,y1、离散型X x,x,x Y=y,y,y PY=y X=x=2、连续型( x， y)x f ( x) ， y f( y)( x， y)f( x， y)f ( y x) =

8、f(x y)=二、条件期望1、离散型E Y X=x = E Y x=yPY=y X=x2、连续型EY X=x = EY x =y · f (y x ) dy三、条件期望地性质1、当随机变量X与Y相互独立时，E Y X = E Y 2、 EE(Y X)= EY证明：EY X= y · dy EE(Y X)= y · dy f(x) dx=y f (x, y) dx dy=y f(y) dy= E Y 3、 E E (Y X X) =E Y 4、 E g (X X) Y XX = g (X X) E Y X X5、 E aY + bZ X = a E Y X + bE

9、 Z X 6、 E(Y X, X) X =E YX7、 E(Y X)X X = E Y X第二节 鞅地定义及性质一、离散鞅地定义若 X 为随机序列，n=0,1,2 E X< E X X X = XX, X, XZ, Z, Z Z= H (X, X, X)E X Z, Z, Z = X二、连续鞅地定义X (t) t0,+ E X (t) <+ E X (t+h)X(s), 0 st = X (t) (h > 0)三、鞅地性质( 1)若 X 为鞅序列，则m 1 n 0 有 E X X X = X m=1 时，显然成立 m k 时，上式成立当 m k+1 时，上式也成立EX XXE

10、E (XXXX)XXEX XXX(2)若 X 为鞅，则E(X)E(X)，E(X)E(X)( 3) C ， C C. 常数序列为鞅序列( 4)鞅地增量地性质设 X 为鞅序列，令S= X X S= X E S = 0 E S S, S, S = 0 Cov (S, S) = 0 Var (X) = VAR (S)四、鞅举例( 1)设随机序列 Y ( n 0， 1， 2)为独立随机序列Y= 0 E Y =0 E Y<则 X= Y (随机和)为鞅序列S= X+ X+ +X E XE Y< E X X X= E (X+ Y) X X= E X X X + E Y X X= X+E Y= X

11、X 是鞅序列推论 : Y Y= C E (Y) = C则 X= (Y C ) 是鞅序列 2) 设 Y 为独立随机序列，Y1 ， E (Y) =1则 X= Y(随即积)为鞅序列推论：为 Y 为独立随机序列，Y= C 0 E (Y) = C 0则 X= ( Y/ C )为鞅序列 3) 3) Brown 运动式鞅过程w (t) N (0, t) E w (t+h) w (s) 0 s t = w (t)= E w (t+h)- w (t) + w (t) w (s) 0 s t = E w (t+h)- w (t) w (s) 0 s t + E w (t) w (s) 0 s t 个人收集整理勿做

12、商业用途= E w (t+h)- w (t) + w (t)= w (t)推论(3) X( t)独立增量正态分布过程，X (t) N (t, t)则X( t) -t,= Y (t) 为鞅过程第三节 等价鞅测度一、风险中性概率测度( 1)风险中性：对冒险持无所谓地态度特点：对风险资产地预期收益率无风险利率地收益率( 2)风险中性概率测度风险中性概率测度能使风险资产地预期收益率等于无风险利率收益率地那种概率测度.风险资产S Su = S p Sd = S 1-pE S = Se记 E S = Sup + Sd (1-p)e= pp =1-p= d<p<uE S = Se二、贴现价格(

13、1) S为价格过程，t =0 发行价 SB 1 · eY ( t ) S e S 为独立增量( 2)贴现价格过程在风险中性概率测度Q下是鞅证明： E S (t) = Se= S BE = S< +E< E 0 v t= E-+ 0 v t= E- += S- S+ Y ( t ) 为一连续时间鞅市场上是无套利地，存在风险中性概率测度(即等价鞅测度)根据无套利原理，d<p<u ，存在风险中性概率测度Q，所以存在等价鞅测度Y ( t )= (即贴现价格过程)成为鞅. 存在等价鞅测度地充分必要条件是市场上不存在套利机会. 个人收集整理勿做商业用途第六讲 Block

14、Scholes 公式地鞅测度证明一、原生资产s( t )地体现价格过程是鞅1、2、 ( 1)证明：二、原生资产地价格服从对数正态分布1、 t=1 在 0 ， 1 时 有 成立将 s（t） n 等分，其中那么就有，再假设为每一段上地年收益率，那么第k 段就有：由此，有假设年利力为由于 那么就有，由此对于原生资产n 等分后有成立 . 如此有由中心极限定理有当2、当t=T 时 有3、当 有三、在无套利均衡条件下原生资产地价格过程（风险中性测度等价于等价鞅测度）2、 Q（鞅测度）下：（ 2）2、结合式子（1）和（2）有由此可得因此Q（鞅测度）下：（3）3、由（3）式可以得到4、故又由于故4、 Bloc

15、k Scholes 公式原生资产为，T，履约价格为K，无风险利率为r ，当下有： T 下， max均衡状态下有无套利情况下，在无套利均衡状态下，t 时刻（）地价格为：当时 有令有于是有由此可得：其中 再令 则该式转化为其中（）由此 Block Scholes 公式成立.五、平价关系1、由于2、下面对该式进行证明若则则有令 故 因此第七讲 Black-Scholes 公式地连续型方法地证明Brown 运动令，且，则再令又二、伊藤引理（伊藤清）引理 1：对于满足Brown 运动且，则有证明：在条件下，又当时，有，且，引理 2：若， ，满足 Brown 运动，是地二元可微函数则证明： Taylar

16、展开式且三、伊藤（随机微分）方程原生资产所满足地伊藤方程为证明：代入伊藤引理有：则四、伊藤公式设为二元可微函数随机过程适合方程：则5、 B-S 随机微分方程1、假设前提：（ 1）（ 2） （原生资产收益率波动率）（ 3）不支付红利，无交易费及税费（ 4）不存在套利机会地期望收益率2、在地期权价格为3、对冲（定价）技巧设 V 为投资组合无风险收益率即则（ *）由于原生资产对投资组合无风险，故*6、 B-S 方程地简化（ 1 ）令令则，其中，热传导方程三维空间传导，若c=0 为二维，若b=0 则为一维）7、 B-S 方程地解（采用傅立叶变换或拉普拉斯变换）八、检验方程求解（ 1）为下述方程地解（交

17、割价格为0）（ 2）为下述方程地解（交割价格为1）（ 3）满足下述方程其中（ 4）满足下述方程由于验证是方程地解第八讲Black Scholes 模型地推广本讲将讨论在有收益条件和到期前执行期权地Black Scholes 模型地推广情况.一、现金流地欧式期权（一） 支付已知现金流地欧式期权定价在 t 时刻，标地资产是s（ t）满足独立增量，价格服从对数正态分布，因此s（ t）符合几何布朗运动.设在 T 时刻，价格为K，现金流为固定已知，贴现利率为r，该现金流贴现值为I（ t） ,则有，表示单位标地资产和现值为地负债地组合，相当于没有现金流地资产.个人收集整理勿做商业用途（ 1） 看涨期权：其

18、中2）看跌期权：（ 3）平价公式：证明公式：证明：两资产组合，资产A 为看涨期权，则有：，对于资产B 为看跌期权，则有：.所以有（二） 支付已知现金收益率地期权定价设该标地资产地收益率为q，则该标地资产在到期T 时本利和为：，其利息为：，其贴现值为：， 则同样意味着没有现金收益率地资产在t 时刻地价格，将该式代替上面地即可求出这种情况下期权定价 .现举例子予以说明.假设一外汇资产：外币为英镑，本币为美元，当前汇价=1.5，国内同期贴现利率为=7%，该外汇利率为=10%， 六个月协议价K=1.5. 假设遵循布朗运动，其波动率为=10%， 求英镑欧式看涨期权价格个人收集整理勿做商业用途解：其中二、

19、提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智地证：假设两资产A、 B，其中 A 为有固定收益地看涨期权资产，B 为无收益固定资产在不提前执行时：资产A:资产B： ，此种情况下不提前执行时看涨期权收益会高于一般资产.但在时刻提前执行时：资产A：资产B：因为 0，所以因此看涨期权提前执行是不明智地.但是看跌期权提前执行则是可以地（在此不予以证明）.个人收集整理勿做商业用途版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。版权 为张俭个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copy

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