重点难点突破(导数的综合应用)

1、重点难点突破（导数的综合应用）重点难点突破（选修模块）专题一导数及其应用第2讲导教的综合应用（建议用时：70分钟）一、选择题1 .已知函数xG0, +°°）,若凡1）+520恒成立，则实数m的取值范围是（）.A. y- +°°）B.停,+8）C. （ 8, 2D. （ 8, 2）解析-4x ,由，（x）>。，得 x>4 或 kvO.於）在（0,4）上递减，在（4 , + 8）上递增，二当xG0 , + 8）时，段）mm =fi4）. 17要使於）+ 520恒成立，只需/（4） + 50恒成立即可，代入解之得后守 答案A2 .下面四个图象中，有

2、一个是函数人丫） = * + 4/+（42l）x+l（4£R）的导函数解析,*/ （x） = A2 + 2ax + a2 - 1 ,（x）的图象开口向上，则，排除.若图象不过原点，则/（X）的图象为，此时a = 0 ,f（- 1） = |；若图象过原点，则/"（X）的图象为,此时“2-1=0,又对称轴工二-a>0 , ：.a= - 1 ,答案D3 .函数兀0的定义域是R/0）=2,对任意xGR,/（%）+/ （x）>l,则不等式ev-/（A-）>er + 1的解集为（）.A.aIx>0B.Mr<0C.xlv< 1,或心>1D. xx

3、< L 或0<x< 1解析 构造函数 g（x）二 /於）-因为 g' （x） = e".於）+ e" （x） - e* = e'g） +f « - ev>ev - M = 0 ,所以g（x） = e'於）-e'为R上的增函数.又因为g（0） =e°-JlO） - e° = 1 r所以原不等式转化为gQAg（O）,解得x>0.答案A4. （2013新课标全国II卷）已知函数/（幻=第3+,+公+的下列结论中错误的是 （）.A. 3x0eR, f（xo）=0B.函数丁=/5）的图象是中心

4、对称图形C.若xo是贝x）的极小值点，则兀0在区间（一8,沏）上单调递减D.若刖是4丫）的极值点，则/ （刖）=0解析 若c =。，则有的）=0 ,所以A正确.函数外）的解析式可以通过配方 的方法化为形如（X + 。3 + +机）+ h的形式,通过平移函数图象，函数的解 析式可以化为），=r+心的形式,这是一个奇函数,其图象关于坐标原点对 称，故函数./U）的图象是中心对称图形,所以B正确；由三次函数的图象可 知，若X。是7U）的极小值点，则极大值点在即的左侧，所以函数在区间（-8 , X0 ）单调递减是错误的，D正确选C.答案C1/18/8重点难点突破(导数的综合应用)5 .已知/(x)是定

5、义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足M" (x)+/U)W0,对 任意的0<。<江 则必有().A. af(b)bf(a)B. bf(a)af(b)C.如日仙)D. bfib)f(a)解析 因为 xf' (x) -fix) , /U)N0 ,所N用,孚w。，则函数”在(0 , + 8)上单调递减. 人由于0<a<b ,则等,即a艮b)Wbf0 .答案A x26 .(2013.辽宁卷)设函数於)满足引(的+20(幻=号/(2)=? 则x>0时，於) 人O().A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值乂有极小值D.既无极大值也

6、无极小值eAeA - 2r7(x)解析 由 x2/" (x) + 2a/U)=三，得/ (x)二一,v) = e'-2A-y(A-),xev (x - 2)eA>0,则屋(X)二-2%亍 Q)-4.嗔 x) = eX-2;=一.令 g'。)=0,得 x 人人=2.当 x > 2 时，g' (x) > 0 ； 0 < x v 2 时，g' (x) < 0 ,.gQ)在 x = 2 时有最小 值g(2) = e2 - 8/(2) = 0 f从而当x > 0时J'力。,则於)在(0 , + 8)上是增 函数,所以函

7、数/无极大值，也无极小值.答案D7. (2013湖北卷)已知a为常数，函数“0=x(lnx工)有两个极值点xi,X2(xiO2),).1/18/8重点难点突破(导数的综合应用)a. /(xi)>o, /(x2)>18. /(xi)<0, f(X2)<-c.於1)>0,於2)<一；D.f(X2)>解析f (x) = In a - 2ax+ 1 ,依题意知/ (x)=0有两个不等实根xi , xi.即函数g(x) = In x + 1与函数h(x) = lax有两个不同交点xi , %2 ,如图由直线y 二x 是曲线 g(x) = hi x+ 1 的切线，

8、可知，0<2t/<l ,且 0<xivl<V2.ae|。, g).由 0<xl ,彳导/3) = xi(ln x - «xi)<0 ,当 Xi<v<V2 时，/ (x)>0 ,当 x>xi 时， r (x)vo , ,於2)41)=->-；,故选 D.答案D8. (2013安徽卷)若函数有极值点xi，M，且/01)=不，则 关于x的方程3(/)2+2如>)+=0的不同实根个数是().A. 3B. 4C. 5D. 6解析 因为函数ZW=A-3 + ov2 + bx + c有两个极值点Al , A-2 ,可知关于导函

9、数 的方程/(X)=3a-2 + 2or + b有两个不等的实根Xi , X2 ,则方程3(/W)2 + 2af(x) + = 0有两个不等的实根，即/=加或於)二.,原方程根的个数就是这两 个方程,") = r和/)="的不等实根的个数之和，若492，作尸川，尸也 与f(x)= x3 + ax2 + bx + c有三个不同交点如图1.1/18/8重点难点突破(导数的综合应用)即方程3(/U)2 + 2af(x) + b = 0有三个不同的实根.若X1>X2 ,如图2同理方程3如)2 + 2矶r) + b = 0有三个不同实根.答案A二、填空题9. (2014.温州模

10、拟)关于x的方程X33/一。=。有三个不同的实数解.，则实数 的取值范围是.解析 由题意知使函数,/U)=X3 - 3a2-a的极大值大于。且极小值小于0即 可，又(x)= 3x2 - 6x = 3x(x - 2),令 f (x) = 0 ,得 xi = 0 , x2 = 2.当 v 0 时, (x) >。；当 0Vx < 2 时 J' (x) v 0 ；当 x > 2 时 J' (x) > 0 ,所以当 x = 0时，危)取得极大值,即於)极大值=旭)=-a ；当x = 2时,心)取得极小值f-a> 0 ,即於)极小值=/(2)= - 4 - a

11、 ,所以彳解得-4 v a < 0.-4 - a < 0 ,答案(-4,0)10.若函数f(x)= -%+4x31n x在3-1上不单调，则/的取值范围是.3- x2 + 4x - 3 (x - 1 )(x - 3)解析 对/“)求导，得 / (x)= -x + 4-： =-7,由r a)=o得函数/a)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间 (f,/ + 1)内，函数.")在区间h f+ 1上就不单调，所以/V1V/ + 1或心V/+ 1 , 解得0</<1或2<心.答案(0,1) U (2,3)11 .已知函数/(x)=x一二，以工)=

12、/-2ax+4,若任意xi £0,1,存在M£1,2, 人I 1使/3)2g(X2),则实数”的取值范围是.解析 由于/=1 +>0 ,因此函数/3)在0,1上单调递增，所以X (X+1)-£0,1时 J(x)min =f(0) = - L根据题意可知存在x£l,2，使得gQ)、2 - 2ax则要使y 5.景ExWl,2+ 4W - 1 ,即 x2 - 2cix + 5<0 ,即心；+ y;能成立，令 h(x)=心力在1,2能成立，只需使oN/?(x)min，又函数/(%) = ； +QQ上单调递减(可利用导数判断),所以/(x)min二九(

13、2) = ,故只需咨.!78+9一夕三' 解答题12 .某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6uvll),年销售为万件，若 已知要一与卜一刻2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.(1)求年销售利润y关于售价a-的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.解(1)设零一"=6一部 售价为10元时,年销量为28万件， 争-28二40乎，解得k=2.(21Y , 5857 , = 2,一 卜 + = 2v + 21x+ 18.，y=(-2x2+21x+ 18)(工-6)= 2?+33/一 108%- 108(6<<11).(2)y/ =

14、一6+66%一108 二 6(一11工+18)= -6(x-2)(x-9).令)，=0，得x=2(舍去)或x=9,显然，当x£(6,9)时，< >0：当工£(9/1耐，)，'<0.六函数yuZr'+BBx2-108%-108在(6,9)上是单调递增，在(9,11)上是单调1/18/8重点难点突破(导数的综合应用)递减.当卢9时，y取最大值,且户耽=135,，售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.13. （2014全国大纲卷）函数f（x）=ax+3a2+3x（a0）.（1）讨论Ax）的单调性；（2）若夫x）在区间（1,2）是增函数

15、，求。的取值范围.解（1斤 a）=3"+6x+3, /。）=0 的判别式4=36（14）.若“21,则，（x）20,且/ （x）=0,当且仅当=1,工=-1,故此时凡0 在R上是增函数.由于a¥0,故当avl时，/' （x）=0有两个根.1 +,/1 a 1 yl 1 aX , X2=.aa若Ov"l,则当x£（8,或+8）时，r （x）o,故/分别在（一8, X2）, （Xl，+8）是增函数；当 X £（X2, XI）时，f （A）0,故/（X）在。2, Xl）是减函数.若a0,则当工£（一8,a）或（X2, +8）时，/

16、（x）vo,故/（x）分别在（一8, XI）,（冷，+8）是减函数；当工£（工1，&）时, f （A）0, 故/（X）在（内，心）是增函数.（2）当 40, co 时，f （a-）=367x2+6a + 30,故当。0时，/U）在区间（1,2）是增函数.当时，/（、）在区间（1,2）是增函数当且仅当/' （1）20且/ （2）与0,解得一生 WavO.综上，4的取值范围是一3，0）U（0, +°°）.14. （2014新课标全国II卷）已知函数/（幻=2 -3f+ax+2,曲线y=/（x）在点（0,2） 处的切线与x轴交点的横坐标为-2.求。；（2

17、）证明：当kvl时，曲线），=/（x）与直线丫二履一2只有一个交点.解 f (x) = 3/-6x+a, f (Q)=a.曲线)，=/口)在点(0,2)处的切线方程为)，=ox+2.2由题设得一，二一2,所以。=1.(2)证明由(1)知，力=2 - 3/+工+2.设 gQ)=/U)乙+2=炉一3r+(1 攵*+4.由题设知1T>0.当 xWO 时，gf (x) = 3x2-6x+l->0, g(x)单调递增，双一1)=攵一1<0, g(0)=4,所以 g(x)=O 在(一8, 0有唯一实根.当 a>0 时，令 /?(幻=£* 一 3炉+4,则 g(x)=力+(

18、1 k)x>h(x).-a)=3/-6x=3x(x-2),力在(0,2)单调递减,在(2, + 8)单调递增，所 以 gQ)>/?(x)2 万(2)=0.所以双工)二0在(0, +8)没有实根.综上，g(x)=O在R有唯一实根，即曲线y=/U)与直线y=H2只有一个交 点.15. (2013新课标全国II卷)已知函数f(x)=exn(x+m).(1)设x=0是入、)的极值点，求?，并讨论JU)的单调性；(2)当?W2时，证明外)>0.解一(%)=一一,由x=0是段)的极值点,得，(0)=0,所以?=1, 人 I /r 4于是Ax)=eA-ln(x+l),定义域为1, a)=&J*T函数/' (x)=e、一q7在(一 1, +8)上单调递增， 人 I 1且f (0)=0,因此当xw (1,0)时，户a)<o；当 x£(0, +8)时，f (x)>0.所以/U)在(- 1,0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增.(2)证明 当?<2,(一，+8)时，in(x+?)Wln(x+2),故只需证明当?=2 时，