椭圆的定义标准方程及其性质

1、椭圆的定义、标准方程及其性质考纲传真1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、 顶点、离心率）.3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用.【知识通关】1 .椭圆的定义（1）平面内与两个定点Fi, F2的距离的和等于宣娄匚（大于|FiF2|）的点的轨迹叫做椭 圆.这两个定点叫做椭圆的焦点一两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.（2）集合 P = M|MFi|十|MF2|=2a, |FiF2|=2c,其中 a, c为常数且 a>0, c>0.当2a>|FiF2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a=

2、|FiF2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2a<|FiF2|时，M点的轨迹不存在.2 .椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2 y2蔡+b2=1(a>b>0)y2 x2 3+b2=1(a>b>0)图形T玲rr性质范围a<x< a b<y< bb< x< b a< y< a对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原点顶点A1(-a, 0), A2(a,0), B1(0, -b), B2(0, b)A1(0, -a), A2(0, a), B1( b, 0), B2(b, 0)离心率e= X，且 eC(0, 1) aa, b,

3、c的关系c2= a2 b2常用结论1点P（x。，yo）和椭圆的位置关系 x2 y0 ,（1）点P（x。, y。）在椭圆内? 尹祥<1.点P（x。，y。）在椭圆上？ +岸=1.点P(x0, y0)在椭圆外？孑+ jy2> 1.2 .焦点三角形椭圆上的点P(xo, yo)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形.门=|PFi|, r2= x2 y2|PF2|, / FiPF2= 0, ZXPF1F2的面积为 S,则在椭圆孑 +1(a>b>0)中：(1)当门=r2时，即点P的位置为短轴端点时，8最大； c 9. . 一(2)S= b2tan 2 = c|y0|,当|y0|=b时

4、，即点P的包置为短轴环点时，S取取大值， 最大值为be(3)a c< |PF 1|< a+ c.3 .椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长， a2= b2 + c2.4 .已知过焦点F1的弦AB,则4ABF2的周长为4a.5 .椭圆中点弦的斜率公式x2 y2若M(xo, y。)是椭圆/+=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有.b2bx0kAB kOM = 2,即 kAB = 2 .aa y06.弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB| =、1 + k2 |x1-x2|=yj 1 + k2 x1 + x2 2 4x1x

5、2=、卜+2|y1 y2|= q 1+ y1 + y2 2 4y1y2(k 为直线斜率).【基础自测】1 .判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打"x”)平面内与两个定点F1, F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+ 2c(其中a为椭圆的 长半轴长，c为椭圆的半焦距).()椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)关于x, y的方程mx2+ny2=1(m>0, n>0, mwn)表示的曲线是椭圆.()答案(1)x (2)V (3)x ， ，一 x2 v2A. (8 0)2 .椭圆16+ 25= 1的焦

6、点坐标为() (0,均C. (=9,0)D. (0,为)B3.已知动点M到两个定点A(2, 0), B(2, 0)的距离之和为6,则动点M的轨迹 方程为()x22y2 x2a. §+y =1B- 9+石=1C.9 + x2=1D.x9 + =14.若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是1+加-2-c.B.C、一x2 y25.椭圆C: 25+16= 1的左、右焦点分别为F1, F2,过F2的直线父椭圆C于A,B两点，则 F1AB的周长为.20【题型突破】椭圆的定义及其应用I题型1|【例 1】(1)已知两圆 C1： (x4)2+y2=169, C2: (x +

7、4)2 + y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为（）a. 64-48-1848+641c. 48-鲁1D * + 武=64 48，一 x2 y2（2）F1, F2是椭圆§+宁=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/ AFiF2 = 45 ,则 AF1F2的面积为（）A. 7B.4D.7.52(1)D (2)C方法总结1.椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是判定平面内动点的轨迹是 否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长 、面积、弦长、最值和离心率等 2.椭圆的定义式必须满足2a> |FiF2|.*赊填习(I)如图所示，一圆形纸片的圆

8、心为 o, f是圆内一定一T、点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使 M与F重合，然后抹平 彳< 纸片，折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是()° JA.椭圆B,双曲线C.抛物线D.圆x2 V2(2019徐州,K拟)已知Fi, F2是椭圆C: +$=1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF11PF2,若PF1F2的面积为9,则b =.A (2)3椭圆的标准方程I题型2|【例2】(1)在4ABC中，A( 4, 0), B(4, 0), ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是()x2y2V2x2A.-+ V9=1(yw0)B.会+ e = 1(了

9、 0)259259x2y2y2x2C.京+ 9 = 1(y金0)D.存 + § = 1(yw 0)3 5 .一已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点一2 5，«3,，5), 则椭圆方程为.过点(43,一响, 且与椭圆：y|+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为259y2 x2 彳(1)A (2)10+ 6 = 1方法总结1求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.2利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形焦点位置，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2+ny2=1 m>0, n>0, mwn的形式.x2 v2BBES3

10、 (1)已知椭圆C:孑+ /=1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为害,过F2的直线l交C于A, B两点，若 AFiB的周长为4y3,则C 3x2 cB. w+v2= 13的方程为（）x2 v2 >A. 3+2 = 1八 xf V2 dC. 12+ 8 = 1_ x2D三+二1(2)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为()x2 v2x22 dA. y+短=18.5+/=1x2 v2v2 x2c. 4+/1d. 4+2=12设F1, F2分别是椭圆E: x2+ b2= 1(0<b&

11、lt;1)的左、右焦点，过点F1的直线 交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2，x轴，则椭圆E的方程为.(1)A (2)C (3)x2 + 3v2=1椭圆的几何性质I题型3|?考法1求离心率或范围 , r 、“一#1 、l isx2 V2.，一 八 r 1【例3】(1)(2019深圳,K拟)设椭圆C:/V2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 为F1, F2, P是C上的点，PF21F1F2, /PFF2= 30°,则C的离心率为(A.D.C.2(2017全国卷1)设人，B是椭圆C:万十= 1长轴的两个端点，若 C上存在 点M满足/ AMB = 120&#

12、176;,则m的取值范围是()A. (0,1U9, +00)B. (0,6U9, +00)C. (0,1U4, +oo)D. (0, V3U4, +oo)D (2)A?考法2与椭圆几何性质有关的范围问题x2 V2【例4】(2019合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆彳+专，、一1=1的离心率e=1, F, A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF PA的最大值为.4方法总结1求椭圆离心率的方法，直接求出a, c的值，利用离心率公式直 接求解.，列出含有a, b, c的齐次方程 或不等式，借助于b2=a2 c2消去b, 转化为含有e的方程 或不等式 求解.2利用椭圆几何性质求值或范围的思路 ，求解与椭圆几何性质有关的参数问题 时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时， 要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.般踪缰习(1)(2018全国卷H)已知F1, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一 点.若PF11PF2,且/ PF2F1 = 60°,则C的离心率为()A. 1一当B. 2-小D. V3-1, ，一，一 x2 V2若点O和点F分别为椭圆1+,=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为()A. 2B. 3C