理科高三数学教案：三角函数

1、.理科高三数学教案：三角函数【】鉴于大家对查字典数学网非常关注，小编在此为大家搜集整理了此文理科高三数学教案：三角函数，供大家参考!本文题目：理科高三数学教案：三角函数高考导航考试要求 重难点击 命题展望1.理解任意角的概念和弧度制的概念，能进展弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sin x， y=cos x ， y=tan x的图象，理解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等，理解正切函数在- , 上的单调性.5.理解同

2、角三角函数的根本关系式：sin2x+cos2x=1 ， =tan x.6.理解函数y=Asinx+的物理意义，能画出函数y=Asinx+的图象，理解参数A，对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联络，能运用上述公式进展简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆.9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

3、一些与测量和几何计算有关的实际问题. 本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用;2.三角函数的图象与性质，y=Asinx+0的性质、图象及变换;3.用三角函数模型解决实际问题;4.以和、差、倍角公式为根据，进步推理、运算才能;5.正、余弦定理及应用.本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联络;2.灵敏运用三角公式化简、求值、证明; 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法;4.探究两角差的余弦公式;5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是根本初等函数，是描绘周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的根底知识之一

4、.在高考中主要考察对三角函数概念的理解;运用函数公式进展恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识如立体几何、解析几何、向量等相联络，考察考生的数学应用意识，表达以才能立意的高考命题原那么.知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一 象限角与终边一样的角【例1】假设是第二象限角，试分别确定2、 的终边所在的象限.【解析】因为是第二象限角，所以k 360+90因为2k 360+18022k 360+360kZ，故2是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.因为k 180+452当k=2nnZ时，n 360+452当k=2

5、n+1nZ时，n 360+2252所以2是第一或第三象限角 .【点拨】角所在象限，应纯熟地确定2所在象限.假如用1、2、3、4分别表示第一、二、三、四象限角，那么12、22、32、42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角其余略，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】假设角2的终边在x轴上方，那么角是A.第一象限角 B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由题意2k22k，kZ，得k当k是奇数时，是第三象限角.当k是偶数时，是第一象限角.应选C.题型二 弧长公式，面积公式的应用【例2】一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.1假设=60，R=10 c

6、m，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;2假设扇形的周长是一定值CC0，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这个最大值.【解析】1设弧长为l，弓形面积为S弓，因为=603，R=10 cm，所以l=103 cm，S弓=S扇-S=1210103-12102sin 60=503-32 cm2.2因为C=2R+l=2R+R，所以R=C2+，S扇=12R2=12C2+2=C22 2+4+4=C22 1+4+4C216，当且仅当=4时，即=2=-2舍去时，扇形的面积有最大值为C216.【点拨】用弧长公式l= | R与扇形面积公式S=12lR=12R2|时，的单位必须是弧度.【变式训练2】一扇形的面

7、积为定值S，当圆心角为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值?并求出最小值.【解析】因为S=12Rl，所以Rl=2S，所以周长C=l+2R22Rl=24S=4S，当且仅当l=2R时，C=4S，所以当=lR=2时，周长C有最小值4S.题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】1角的终边与函数y=2x的图象重合，求sin 2求满足sin x32的角x的集合.【解析】1由 交点为-55，-255或55，255 ，所以sin =255.2找终边：在y轴正半轴上找出点0，32，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，那么为角x的终边，并写出对应的角.画区域：画出角

8、x的终边所在位置的阴影部分.写集合：所求角x的集合是x|2k32k3，kZ.【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.【变式训练3】函数y=lg sin x+cos x-12的定义域为.【解析】所以函数的定义域为x|2k总结进步1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k3603的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2 同角三角函数的关系、诱导

9、公式典例精析题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】fx=1-x，4，那么fsin 2+f-sin 2=.【解析】fsin 2+f-sin 2=1-sin 2+1+sin 2=sin -cos 2+sin +cos 2=|sin -cos |+|sin +cos |.因为4，所以sin -cos 0，sin +cos 0.所以|sin -cos |+|sin +cos |=sin -cos -sin -cos =-2cos .题型二 三角函数式的求值问题【例2】向量a=sin ，cos -2sin ，b=1,2.1假设

10、ab，求tan 的值;2假设|a|=|b|，0，求 的值.【解析】1因为ab，所以2sin =cos -2sin ，于是4sin =cos ，故tan =14.2由|a|=|b|知，sin2+cos -2sin 2=5，所以1-2sin 2+4sin2=5.从而-2sin 2+21-cos 2=4，即sin 2+cos 2=-1，于是sin24=-22.又由0知，244，所以24=54或24=74.因此2或=34.【变式训练2】tan =12，那么2sin cos +cos2等于A.45 B.85 C.65 D.2【解析】原式=2sin cos +cos2sin2+cos2=2tan +11+

11、tan2=85.应选B.题型三 三角函数式的简单应用问题【例3】-21sin x-cos x的值;2sin32-x+cos32+x的值.【解析】1由得2sin xcos x=-2425，且sin x0所以sin x-cos x=-sin x-cos x2=-1-2sin xcos x=-1+2425=-75.2sin32-x+cos32+x=cos3x-sin3x=cos x-sin xcos2x+cos xsin x+sin2x=751-1225=91125.【点拨】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用根本关系式，再求sin xcos x取值符号.【变式训练3】化简1-cos4-

12、sin41-cos6-sin6.【解析】原式=1-cos2+sin22-2sin2cos21-cos2+sin2cos4+sin4-sin2cos2=2sin2cos21-cos2+sin22-3sin2cos2=23.总结进步1.对于同角三角函数根本关系式中同角的含义，只要是同一个角，那么根本关系式就成立，如：sin2-2+cos2-2=1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它提醒了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联络，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一 三角函数式的化简【例1】化简 0.【解析】因为0，所以022，所以

13、原式= =-cos .【点拨】先从角度统一入手，将化成2，然后再观察构造特征，如此题中sin22-cos22=-cos .【变式训练1】化简2cos4x-2cos2x+122tan4-xsin24+x.【解析】原式=122cos2x-122tan4-xcos24-x=cos22x4cos4-xsin4-x=cos22x2sin2-2x=12cos 2x.题型二 三角函数式的求值【例2】sin x2-2cos x2=0.1求tan x的值;2求cos 2x2cos4+xsin x的值.【解析】1由sin x2-2cos x2=0tan x2=2，所以tan x= =221-22=-43.2原式=

14、cos2x-sin2x222cos x-22sin xsin x=cos x-sin xcos x+sin xcos x-sin xsin x=cos x+sin xsin x=1tan x+1=-34+1=14.【变式训练2】2cos 5-sin 25sin 65= .【解析】原式=2cos30-25-sin 25cos 25=3cos 25cos 25=3.题型三 三角函数值求解【例3】tan-=12，tan =-17，且，0，求2-的值.【解析】因为tan 2-=2tan-1-tan2-=43，所以tan2-=tan2-+=tan2-+tan 1-tan 2-tan =1，又tan =t

15、an-+=tan-+tan 1-tan-tan =13，因为0，所以04，又，所以-2-0，所以2-=-34.【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.【变式训练3】假设与是两锐角，且sin+=2sin ，那么与的大小关系是A.= B.C. D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin =sin+1，所以sin 12，又是锐角，所以30.又当=30，=60时符合题意，应选B.方法二：因为2sin =sin+=sin cos +cos sin所以sin又因为、是锐角，所以，应选B.总结进步1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒

16、等变形的主要工具.1它可以解答三类基此题型：求值题，化简题，证明题;2对公式会正用、逆用、变形使用3掌握角的演变规律，如2=+-等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以到达求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例1】04，04，3sin =sin2+，4tan 2=1-tan22，求+的值.【解析】由4tan 2=1-tan22，得tan = =12.由3sin =sin2+得3sin+-=sin+，所以3sin+cos -3cos+sin =sin+cos +cos+sin ，即2sin+

17、cos =4cos+sin ，所以tan+=2 tan =1.又因为、0，4，所以+4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要擅长抓住条件与目的之间的构造联络，找到解题的打破口与方向.【变式训练1】假如tan+=35，tan4=14，那么tan4等于A.1318 B.1322 C.723 D.318【解析】因为4=+-4，所以tan4=tan+-4=tan+-tan41+tan+tan4=723.应选C.题型二 等式的证明【例2】求证：sin sin =sin2+sin -2co s+.【证明】证法一：右边=sin +-2cos+sin sin =sin+cos -cos+si

18、n sin=sin +-sin =sin sin =左边.证法二：sin2+sin -sin sin =sin2+-sin sin =2cos+sin sin =2cos+，所以sin2+sin -2cos+=sin sin .【点拨】证法一将2+写成+，使右端的角形式上一致，易于共同运算;证法二把握构造特征，用变更问题法证明，简捷而新颖.【变式训练2】5sin =3sin-2，求证：tan-+4tan =0.【证明】因为5sin =3sin-2，所以5sin-+=3sin-，所以5sin-cos +5cos-sin =3sin-cos -3cos-sin ，所以2sin-cos +8cos-

19、sin =0.即tan-+4tan =0.题型三 三角恒等变换的应用【例3】ABC是非直角三角形.1求证：tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;2假设AB且tan A=-2tan B，求证：tan C=sin 2B3-cos 2B;3在2的条件下，求tan C的最大值.【解析】1因为C=-A+B，所以tan C=-tanA+B=-tan A+tan B1-tan Atan B，所以tan C-tan Atan Btan C=-tan A-tan B，即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.2由1知tan C=-tan A+tan B1

20、-tan Atan B=tan B1+2tan2B=sin Bcos Bcos2B+2sin2B=sin 2B22-1+cos 2B2=sin 2B3-cos 2B.3由2知tan C=tan B1+2tan2B=12tan B+1tan B122=24，当且仅当2tan B=1tan B，即tan B=22时，等号成立.所以tan C的最大值为24.【点拨】纯熟掌握三角变换公式并灵敏地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目的意识.【变式训练3】在ABC中，tan B+tan C+3tan Btan C=3，3tan A+3tan B+1=tan Atan B，试判断ABC的形状.【解析

21、】由得tan B+tan C=31-tan Btan C，3tan A+tan B=-1-tan Atan B，即tan B+tan C1-tan Btan C=3，tan A+tan B1-tan Atan B=-33.所以tanB+C=3，tanA+B=-33.因为0又A+B+C=，故A=23，B=C=6.所以ABC是顶角为23的等腰三角形.总结进步三角恒等式的证明，一般考虑三个统一：统一角度，即化为同一个角的三角函数;统一名称，即化为同一种三角函数;统一构造形式.5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一 三角函数的周期性与奇偶性【例1】函数fx=2sin x4cos x4+3cos x

22、2.1求函数fx的最小正周期;2令gx=fx+3，判断gx的奇偶性.【解析】1fx=2sin x4cos x4+3cos x2=sin x2+3cos x2=2sinx2+3，所以fx的最小正周期T=2.2gx=fx+3=2sin12x+3=2sinx2+2=2cos x2.所以gx为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y=sin2x+sin xcos x的最小正周期T等于A.2 C.3【解析】y=1-cos 2x2+12sin 2x=2222sin 2x-22cos 2x+12=22sin2x-4+12，所以T=2.应选B.题型二 求函数的值域【

23、例2】求以下函数的值域：1fx=sin 2xsin x1-cos x;2fx=2cos3+x+2cos x.【解析】1fx=2sin xcos xsin x1-cos x=2cos x1-cos2x1-cos x=2cos2x+2cos x=2cos x+122-12，当cos x=1时，fxmax=4，但cos x1，所以fx4，当cos x=-12时，fxmin=-12，所以函数的值域为-12，4.2fx=2cos 3cos x-sin 3sin x+2cos x=3cos x-3sin x=23cosx+6，所以函数的值域为-23，23.【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，

24、详细问题详细分析，是打破这一难点的关键.【变式训练2】求y=sin x+cos x+sin xcos x的值域.【解析】令t=sin x+cos x，那么有t2=1+2sin xcos x，即sin xcos x=t2-12.所以y=ft=t+t2-12=12t+12-1.又t=sin x+cos x=2sinx+4，所以-22.故y=ft=12t+12-1-22，从而f-1f2，即-12+12.所以函数的值域为-1，2+12.题型三 三角函数的单调 性【例3】函数fx=sinx+0，|的部分图象如下图.1求，2设gx=fxfx-4，求函数gx的单调递增区间.【解析】1由图可知，T=44=，=

25、2T=2.又由f2=1知，sin=1，又f0=-1，所以sin =-1.因为|，所以2.2fx=sin2x-2=-cos 2x.所以gx=-cos 2x-cos2x-2=cos 2xsin 2x=12sin 4x.所以当2k22k2，即k8k8kZ时gx单调递增.故函数gx的单调增区间为k8，k8kZ.【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定的值，表达了数形结合的思想与方法.【变式训练3】使函数y=sin6-2xx0，为增函数的区间是A.0，3 B.12，712C.3，56 D.5【解析】利用复合函数单调性同增异减的原那么断定，选C.总结进步1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.

26、2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因此特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先断定函数定义域的对称性.5.6 函数y=Asinx+ 的图象和性质典例精析题型一 五点法作函数图象【例1】设函数fx=sin x+3cos x0的周期为.1求它的振幅、初相;2用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象;3说明函数fx的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到.【解析】1fx=sin x+3cos x=212sin x+32cos x=2sinx+3，又因为T=，所以2

27、=，即=2，所以fx=2sin2x+3，所以函数fx=sin x+3cos x0的振幅为2，初相为3.2列出下表，并描点画出图象如下图.3把y=sin x图象上的所有点向左平移3个单位，得到y=sinx+3的图象，再把y=sinx+3的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12纵坐标不变，得到y=sin2x+3的图象，然后把y=sin2x+3的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，即可得到y=2sin2x+3的图象.【点拨】用五点法作图，先将原函数化为y=Asinx+0，0形式，再令x+=0，32，2求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五

28、个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如下图，那么A.k=12，=12，6B.k=12，=12，3C.k=12，=2，6D.k=-2，=12，3【解析】此题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k=12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T=483=4，故=12.将点53，0代入解析式y=2sin12x+，得123+，kZ，所以-56，kZ.结合各选项可知，选项A正确.题型二 三角函数的单调性与值域【例2】函数fx=sin2x+3sin xsinx+2+2c

29、os2x，xR0在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.1求的值;2假设将函数fx的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，求函数gx的最大值及单调递减区间.【解析】1fx=32sin 2x+12cos 2x+32=sin2x+6+32.令2x+2，将x=6代入可得=1.2由1得fx=sin2x+6+32，经过题设的变化得到函数gx=sin12x-6+32，当x=4k，kZ时，函数gx获得最大值52.令2k26+32，即4k3，4kkZ为函数的单调递减区间.【点拨】此题考察三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训

30、练2】假设将函数y=2sin3x+的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点3，0对称，那么|的最小值是A.3 C.2 D.34【解析】将函数y=2sin3x+的图象向右平移4个单位后得到y=2sin3x-=2sin3x-3的图象.因为该函数的图象关于点3，0对称，所以2sin33-3=2sin=0，故有=kZ，解得-4kZ.当k=0时，|获得最小值4，应选A.题型三 三角函数的综合应用【例3】函数y=fx=Asin2x+0，0,02的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的间隔 为2，并过点1,2.1求2求f1+f2+f2 008.【解析】1y=Asin2x+=A2-A2cos2x+2，因为y=fx

31、的最大值为2，又A0，所以A2+A2=2，所以A=2，又因为其图象相邻两对称轴间的间隔 为2，0，所以122=2，所以4.所以fx=22-22cos2x+2=1-cos2x+2，因为y=fx过点1,2，所以cos=-1.所以=2kkZ，解得+4kZ，又因为02，所以4.2方法一：因为4，所以y=1-cos2=1+sin 2x，所以f1+f2+f3+f4=2+1+0+1=4，又因为y=fx的周期为4,2 008=4502.所以f1+f2+f2 008=4502=2 008.方法二：因为fx=2sin2，所以f1+f3=2sin2+2sin23=2，f2+f4=2sin2+2sin2=2，所以f1

32、+f2+f3+f4=4，又因为y=fx的周期为4,2 008=4502.所以f1+f2+f2 008=4502=2 008.【点拨】函数y=Acosx+的对称轴由x+，可得x=k，两相邻对称轴间的间隔 为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】函数fx=Acos2 x+2A0，0的最大值为6，其相邻两条对称轴间的间隔 为4，那么f2+f4+f6+f20=.【解析】fx=Acos2x+2=A1+cos 2x2+2=Acos 2x2+A2+2，那么由题意知A+2=6，2=8，所以A=4，8，所以fx=2cos 4x+4，所以f2=4，f4=2，f6

33、=4，f8=6，f10=4，观察周期性规律可知f2+f4+f20=24+2+4+6+4+2=38.总结进步1.用五点法作y=Asinx+的图象，关键是五个点的选取，一般令x+=0，32，2，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，假设要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整x+的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决y=Asinx+的有关性质时，应将x+视为一个整体x后再与根本函数y=sin x的性质对应求解.5.7 正

34、弦定理和余弦定理典例精析题型一 利用正、余弦定理解三角形【例1】在ABC中，AB=2，BC=1，cos C=34.1求sin A的值;2求 的值.【解析】1由cos C=34得sin C=74.所以sin A=BC sin CAB=1742=148.2由1知，cos A=528.所以cos B=-cosA+C=-cos Acos C+sin Asin C=-15232+7232=-24.所以 = + = +=-1+12cos B=-1-12=-32.【点拨】在解三角形时，要注意灵敏应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在ABC中，a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a

35、2+b2-c24，那么C= .【解析】S=a2+b2-c24=12absin C.所以sin C=a2+b2-c22ab=cos C.所以tan C=1，又0，所以4.题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A=sin3+Bsin3-B+sin2B.1求角A的值;2假设 =12，a=27，求b，c其中b【解析】1因为sin2A=32cos B+12sin B32cos B-12sin B+sin2B=34cos2 B-14sin2B+sin2B=34，所以sin A=32.又A为锐角，所以A=3.2由

36、=12可得cbcos A=12.由 1知A=3，所以cb=24.由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A，将a=27及代入得c2+b2=52.+2，得c+b2=100，所以c+b=10.因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根.又b【点拨】本小题考察两角和与差的正弦公式，同角三角函数的根本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考察综合运算求解才能.【变式训练2】在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足2a-ccos B=bcos C.1求角B的大小;2假设b=7，a+c=4，求ABC的面积.【解析】1在ABC中，由正弦定理得a

37、=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C，代入2a-ccos B=bcos C，整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin C cos B，即2sin Acos B=sinB+C=sin A，在ABC中，sin A0,2cos B=1，因为B是三角形的内角，所以B=60.2在ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=a+c2-2ac-2ac cos B，将b=7，a+c=4代入整理，得ac=3.故SABC=12acsin B=32sin 60=334.题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】2019陕西如下图，A，B是海面上位于东西方向相

38、距53+3海里的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距203海里的C点的救 援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，那么该救援船到达D点需要多长时间?【解析】由题意知AB=53+3海里，DBA=90-60=30，DAB=90-45=45，所以ADB=180-45+30=105.在DAB中，由正弦定理得DBsinDAB=ABsinADB，所以DB= = =533+13+12=103海里.又DBC=DBA+ABC=30+90-60=60，BC=203海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD BC cos

39、DBC=300+1 200-210320312=900，所以CD=30海里，那么需要的时间t=3030=1小时.所以，救援船到达D点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的根本步骤是：1根据题意，抽象地构造出三角形;2确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系;3选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;4给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，该岛周围n km范围内包括边界有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件 时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在A

40、BM中，根据正弦定理得BMsin90-=msin-，解得BM=mcos sin-，要使船 没有触礁危险需要BMsin90=mcos cos sin-n.所以与的关系满足mcos cos nsin-时，船没有触礁危险.总结进步1.正弦定理、余弦定理表达了三角形中角与边存在的一种内在联络，如证明两内角AB与sin Asin B是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形如因式分解、配方求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否那么会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8

41、 三角函数的综合应用典例精析题型一 利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场，使矩形的一个顶点P在 上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP，过P作PMAB于M.设PAM=，02，那么PM=90sin ，AM=90cos ，所以PQ=100-90cos ，PR=100-90sin ，于是S四边形PQCR=PQPR=100-90cos 100-90sin =8 100sin cos

42、-9 000sin +cos +10 000.设t=sin +cos ，那么12，sin cos =t2-12.S四边形PQCR=8 100t2-12-9 000t+10 000=4 050t-1092+950 12.当t=2时，S四边形PQCRmax=14 050-9 0002 m2;当t=109时，S四边形PQCRmin=950 m2.【点拨】同时含有sin cos ，sin cos 的函数求最值时，可设sin cos =t，把sin cos 用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.【变式训练1】假设0A.4xsin 3x B.4xC.4xsin 3x D.

43、与x的值有关【解析】令fx=4x-sin 3x，那么fx=4-3cos 3x.因为fx=4-3cos 3x0，所以fx为增函数.又0f0=0，即得4x-sin 3x0.所以4xsin 3x.应选A.题型二 函数y=Asinx+模型的应用【例2】某海滨浴场的海浪高度y米是时间t024，单位：小时的函数，记作y=ft.下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y=ft的曲线可近似地看成是函数y=Acos t+b.1根据以上数据，求出函数y=Acos t+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;2根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请根据1的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：0

44、0之间，有多少时间可供冲浪者进展运动?【解析】1由表中数据知，周期T=12，所以=212=6.由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，由t=3，y=1.0，得b=1.0，所以A=0.5，b=1，所以振幅为12.所以y=12cos 6t+1.2由题知，当y1时才可对冲浪者开放，所以12cos 1，所以cos 0，所以2k26t+2，即12k-3因为024，故可令中k分别为0,1,2，得03或9故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y=Asinx+模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变 式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的间隔 为d mP在水面下那么d为负数，那么dm与时间ts之间满足关系式：d=Asint+kA0，0，-2，且当点P从水面上浮现时开场计算时间，有以下四个结论：A=10;=2k=5.其