沪科版5圆周角课件

1、一一. 复习引入复习引入:1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。两个量都分别相等。答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是间关系的一个结论，这个结论是什么？什么？探索1:我们知道我们知道：顶点在圆心的角叫：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角，当圆心角的顶点发生变化时当圆心角的顶

2、点发生变化时,我们得到我们得到以下三种情况以下三种情况:A.OBC.OBCA.OBCA圆内角圆外角圆周角圆周角探索探索考考你：考考你：你能仿照圆心角的定义，给下你能仿照圆心角的定义，给下 图中象图中象ACB ACB 这样的角下个定义吗？这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角什么叫做圆周角？什么叫做圆周角？ABCDEO二、概念二、概念辩一辩辩一辩 图中的图中的CDE是圆周角吗是圆周角吗?CDECDECDECDE练习一练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ 如图

3、是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图, ,人们可以通人们可以通过其中的圆弧形玻璃过其中的圆弧形玻璃AB AB 观看窗内的海洋动物观看窗内的海洋动物, ,同学甲站在同学甲站在圆心的圆心的O O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C，他们的视角（他们的视角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么关系？如果同学丙、）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置丁分别站在他靠墙的位置D D和和E E，他们的视角（，他们的视角（ ADB ADB 和和AEBAEB ）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视角相同吗？

4、甲OBA丙D乙C丁E深入探究深入探究视角视角AOB和和ACB有什么关系？有什么关系？即同弧所对的即同弧所对的圆心角圆心角和和圆周角圆周角的关系的关系 ADB和和AEB和和ACB相等吗？相等吗？即同弧所对的即同弧所对的圆周角圆周角之间的大小关系之间的大小关系玻璃窗甲（O）AB乙（C）丁（E）丙（D）类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角n在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,同弧或等弧所对的同弧或等弧所对的圆心角圆心角相等相等. .n在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,同弧或等弧所对的同弧或等弧所对的圆周角圆周角有什么有什么关系？关系？n 为了解决这个问题为了解决这个问题, ,我们先探究我们先探究同

5、弧同弧所对的所对的圆周角圆周角和和圆心角圆心角之间有的关系之间有的关系. .你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系在在O O任取一个圆周角任取一个圆周角BCABCA，将圆对折，使折痕经过圆心，将圆对折，使折痕经过圆心O O和和BCABCA的顶点的顶点C C。由于点。由于点C C的位置的取法可能不同，这时有三种情况：的位置的取法可能不同，这时有三种情况： （1） 折痕是圆周角的一条边，如图（折痕是圆周角的一条边，如图（1 1） （2） 折痕在圆周角的内部，折痕在圆周角的内部，如图（如图（2 2） （3） 折痕在圆周角的外部折痕在

6、圆周角的外部如图（如图（3 3） 圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系1.1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况： 当圆心当圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OABCA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21根据以上证明你能得到什么结论？根据以上证明你能得到什么结论？ AOBC(1)圆心在圆周角的一

7、边上证明：OA=OCBACCBOCBAC+C=2BACBAC= BOC12定理证明定理证明2.2.考虑第二种情况考虑第二种情况 当圆心当圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ? 能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC.ABC = AOC.21根据以上证明你又能得到什么结论？根据以上证明你又能得到什么结论？ABCDABD = AOD,ABD = AOD,CBD = COD,CBD =

8、COD,2121圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系AOCB(2)圆心在圆周角的内部证明：连结AO并延长交 O于D点DA= O12由（）得BA= BO1212BCBBCB+C1212)圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系3.3.考虑第二种情况考虑第二种情况 当圆心当圆心(O)(O)在圆周角在圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :ODABD = AOD,CBD = COD,ABD

9、= AOD,CBD = COD,2121ABC ABC = AOC.ABC = AOC.21根据以上证明你又能得到什么结论？根据以上证明你又能得到什么结论？()圆心在圆周角的外部证明：连结AO并延长交 O于D点DA= O12由（）得BA= BO1212BCBAOCBBC1212)三三.圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆同圆或等圆中，同弧同弧或等弧等弧所对的圆周角圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角圆心角的一半一半。思考：在同圆或等圆在同圆或等圆中，如果圆周圆周角角相等，所对的弧弧一定相等吗？定理归纳定理归纳.ABCDO弧等弧等角等角等结结 论：论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧在同圆或等圆中，

10、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半弧所对的圆心角的一半相等的相等的圆周角圆周角所对的所对的弧弧也也相等相等。圆周角定理圆周角定理考眼力考眼力如图,点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？1=42=73=65=835674281OCABD思思 考考如图，线段如图，线段ABAB是是OO的直径，点的直径，点C C是是OO上任意一上任意一点（除点点（除点A A、B B），那么，），那么，ACBACB就是直径就是直径ABAB所对所对的圆周角，想想看，的圆周角，想想看，ACBACB会是怎样的角？会

11、是怎样的角？O OC CB BA A9090的圆周角所对的弦是什么的圆周角所对的弦是什么? ? 半圆（或直径）所对的圆周半圆（或直径）所对的圆周角是直角角是直角; ; 90 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径推推 论论ABC1OC2C3定理定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半相等的圆周角所对的弧也相等。半相等的圆周角所对的弧也相等。定定 理理 半圆（或直径）所对的圆周半圆（或直径）所对的圆周角是直角角是直角; ; 90 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直

12、径推推 论论试金石：试金石：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数C3、如图、如图 AB是是 O的直径的直径, C ,D是圆上的两点是圆上的两点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD404.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径，的半径，且且AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.AOBC5 5 关注差异关注差异 分层练习分层练习 巩固提高巩固提高A层层（基础题基础题）在圆中一条弧所对的圆心角在圆中一条弧所对的圆心角 和圆周角分别为和圆周角分别为(2(2x x + 100) + 100)0

13、0和和(5(5x x 30) 30)0 0则这条弧所对的圆心角的度则这条弧所对的圆心角的度数为数为 、圆周角的度数、圆周角的度数为为 。5 5 关注差异关注差异 分层练习分层练习 巩固提高巩固提高B B层层（中等题中等题） 图图3 3中中ACAC为直径为直径, ,则则互余互余的圆周角共有的圆周角共有 （ ） A 4A 4对对 B 6B 6对对 C 8C 8对对 D 10D 10对对 如图如图4 4所示，所示，ADAD平分平分BACBAC，那么图中相似的三角，那么图中相似的三角形有形有 （ ） A 2A 2对对 B 3B 3对对 C 4C 4对对 D 6D 6对对图图3O12345678ABCD

14、E图图4A AB BC CD D5 5 关注差异关注差异 分层练习分层练习 巩固提高巩固提高C C层层（提高题提高题） 如图如图5，求，求12345= 。 如图如图6：已知弦：已知弦AB、CD相交于相交于P点，且点，且AOC=44、 BOD=46 求求 APC 的度数。的度数。0012345图图5OABCDP图图6例例1 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长86102222ACABBC又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：解：AB是直径，是直径，

15、ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.ACDBCD 四、例题四、例题OABCD求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO= AB,12以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB= 180= 90.12已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线

16、，12且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.练练 习习练习练习:如图如图 AB是是 O的直径的直径, C ,D是圆上的两是圆上的两点点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD403 3、ABAB、ACAC为为OO的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求BOCBOC的度数。的度数。BOC =140BOC =140 350700交流合作交流合作.ABC内接于 O ，BOC=80，则BAC等于( ).(A)80 (B) 40 (C) 140 (D) 40或140OCABOCAB交流合作交流合作已知:如图

17、,AB=AC=AD, BAC=40,则BDC的度数为( )（A）40 （B）30 （C）20 （D）不能确定 ABCD交流合作交流合作ODACBODACB15或 75 3在半径为1的O中，弦AB、AC分别是则BAC的度数为32和，交流合作交流合作4如图， O1、 O2相交于A、B两点，直线O1O2交两圆于C、DO1AO2=40，则CBD等于（ ）（A）110 （B）120（C）130 （D）140 O 1 B O 2 A C DA课堂反馈课堂反馈1如图，已知圆心角BOC100，则圆周角BAC的度数为（ ） A、100 B、130 C、50 D、802圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为( )A

18、、30 B、60 C、30或150 D、60或1203如图，A、B、C三点在 O上，AOC=100，则ABC等于( ) A、140 B、110 C、120 D、130C课堂反馈课堂反馈4.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1 3的两条弧，则劣弧所对的圆周角的度数为（ ）A、45B、90C、135D、2705已知：如图，ABC内接于 O，AD是 O的直径，ABC30，则CAD等于_。6 在 O中，一条弦的长度等于半径，则它所对的圆周角的度数为_。7 7半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3,那么这条弦所对的圆A周角的度数等于 .6060或120 30或150 8. 弦AB分圆为l 5两部分，则弦AB

19、所对的圆周角度数等于 9 已知：如图，AB 为 O的直径，BED=35，则ACD= 。10圆内接四边形相邻三个内角之比是3:1:6，则这个四边形的最大角的度数为 。ODABCE30或150 55 160 课堂反馈课堂反馈7 学以致用 作业适量 分层要求A A层层（基础题基础题） 如图如图9 9，已知，已知AB=AC=2cm,AB=AC=2cm, BDC=60 BDC=60，则，则ABC ABC 的周长的周长是是 。 如图如图1010：A A是是O O的圆周角，的圆周角，A A=40=40，求，求OBC OBC 的的度数。度数。ABCDO图图9ABCO图图1007 学以致用 作业适量 分层要求B

20、 B层层（中等题中等题） 在在OO中，中，BOC=100BOC=100o o，则，则弦弦BCBC所对的圆周角所对的圆周角是是 度。度。 如图如图1111，ADAD是是O O直径，直径，BC=CDBC=CD，A A=30=30，求求B B的度数。的度数。 ABCDO图图117 学以致用 作业适量 分层要求C C层层（提高题提高题） 如图如图1212，ABAB是是OO直径，点直径，点C C在圆上，在圆上，BACBAC的平的平分线交圆于点分线交圆于点E E，OEOE交交BCBC于点于点H H，已知，已知AC=6AC=6，AB=10AB=10，求求HEHE的长的长。ABCOHE图图127 学以致用 作

21、业适量 分层要求D D层层（课外延拓、承上启下课外延拓、承上启下） 如图如图1313：“世界杯世界杯”赛场上李赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图李带球冲到如图C C点时，邵、点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的郝也分别跟随冲到图中的D D点、点、E E点，李应点，李应把球传给谁好？把球传给谁好？请请你从数学角度帮忙合情说理、你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。分析说明。ABCDEO图图13球门球门1、在、在O中，中，CBD=30 ,BDC=20,求求A1、在、在O中，中，CBD=30 ,BDC=20,求求A

22、 2、如图，在、如图，在O中，中，AB为直径，为直径，CB = CF, 弦弦CGAB，交，交AB于于D，交，交BF于于E 求证：求证：BE=EC4 4、在、在OO中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x-30)，则，则x=x=_ _ _；3. 3. 如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D 为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_CAD=_；202025253 3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1 1：3 3的的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。 4 4、如图，、如图，BCBC为圆为圆O O的直径，的直径，F F是半圆上异于是半圆上异于B B、C C的一点，的一点，A A是是BFBF的中点的中点ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，BFBF交交ADAD于点于点E E。 （1 1）说明：）说明：BEBF=BDBC BEBF