数学数列多选题专项训练知识点及练习题附解析

1、n-；(n N),数列an的前n项和为Sn,ann 1、数列多选题一，一._an 1已知数列an满足an0,anA.C.S2019 a20202019D.S2019a20202019答案：BC【分析】根据递推公式，得到，令, 到，求出，可得C正确，【详解】得至LD错.可判断 A错，B正确；根据求和公式，得由可知，即，当时，则，即得到，故选项,所以，则解析：BC【分析】B正确；无法计算，故A错;根据递推公式,得到anan 1n 1人 ,1,令n 1 ,得到a1 一 ,可判断A错，B正确;ana2根据求和公式,得到Snan 1，求出 S2019 a20202019,可得C正确,D错.4 an 1由

2、an2an-可知1an 12ann 1ann 1一，即anan1时，则a11一,即得到a1a2 a2B正确;an 1a1无法计算，故A错;a1a2ana?a2an 1anan 10 n, aan 1所以Snan 1n ,则 S2019a20202019,故选项C正确，选项D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法，形如 an 1 an f n的数列，求通项时，常用累加法求解;一一. . an 1(2)累乘法，形如 f n的数列，求通项时，常用累乘法求解; an构造法，形如an 1 pan项时，常需要构造成等比数列求解;N+)的数列，求通Sn Sn i,n

3、 2j求解.ai,n 12.若数列an满足an 112an,。 an二212an 1, an2，a113 -,则数列an中的项的值可能为5()A. 1B.4C.一5D.(4)已知an与Sn的关系求通项时，一般可根据 an答案：ABC利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】 数列满足，依次取代入计算得, ,因此继续下去会循环解析：ABC【分析】3利用数列 an满足的递推关系及a1-,依次取n 1,2,3,4代入af算a2,a3.a4,a5,能得5到数列an是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果-112

4、an，0an 23数列an满足an 1,“ 一，依次取n 1,2,3,4.代入计算得,152an1,二an12a22 al1a32a22 八 4-，3 一 一一，a4 2a3 ，a5 2a4 1 一 a1，因此继续下去会55512 3 4, , ,5 5 5 5循环，数列 an是周期为4的周期数列，所有可能取值为:故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题3.已知数列an的前n项和为Sn Sn下列说法正确的是()A.数列an的前n项和为Sn 4nC.数列an为递增数列答案：AD八一、10,且满足玛3同0(n 2),ai %,则B .数列国的通项公式为an14n(

5、n 1)D.数列【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项 公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即 D正确;解析：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求Sn ,最后根据和项与通项关系得an.-an4S1S0(n 2), Sn Sn1 4Sn1Sn 0c c 11Sn 0SnSm因此数列2为以工 4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即 D正确; SnS114n，即A正确;1，,、c所以 M 4 4( n 1) 4n Sn Sn当 n 2 时 an S

6、n Sn1114n 4(n 1)14n(n 1)所以an1 ,n 4n(n 1),即B, C不正确;2故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题4 .已知等差数列 an的公差d 0,前n项和为Sn,若0 §2,则下列结论中正确的有 ()A. a1 :d17:2B, S18 0C.当 d0时，a6ai40D.当 d 0 时，a6ai4答案：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A;利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项 B;利用等差数列的性质即可判断选项 C;由可得且，即可判断选项

7、 D,进而得出正确选项解析：ABC【分析】因为an是等差数列，由S6§2可得a9ai00 ,利用通项转化为a1和d即可判断选B；利用等差数列的性质项A；利用前n项和公式以及等差数列的性质即可判断选项a6ai4a9* d d即可判断选项c；由d0可彳导asud 0且a60,ai40即可判断选项 D,进而得出正确选项因为an是等差数列，前n项和为Sn,由& §2得:§2S6a?a8 a9胡加ai20 ,即 3 a9a)0对于选项A：由a9而 0得 2a1 17d 0,可得 a1：d17:2 ,故选项a正确;对于选项B:S18”一a史8-18a9a0- 0 ,故

8、选项 B正确；22对于选项c：a6州 a9 aa§ &° dd,若d 0,则a6&4 d 0,故选项c正确；对于选项D：当d 0时，a6 a14 d 0 ,则a6a4,因为d 0 ,所以a6 0 ,a140 ,所以注&4 ,故选项D不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由0 §2得出a9 &0 0,熟记等差数列的前n项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.5 .已知递减的等差数列an的前n项和为Sn, S5$7,则()B. S6最大D. &10a. a60C §30答案：ABD【分析】转化条

9、件为，进而可得，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，故 A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误解析：ABD【分析】转化条件为a6 a7 0,进而可得a6 0, a7 0,再结合等差数列的性质及前 n项和公 式逐项判断即可得解.【详解】因为& 所以& & 0,即a6 a7 0,因为数列an递减，所以a6 a7,则为 0 , a? 0 ,故A正确；所以S6最大，故B正确；所以 S13 a1 a13一13 13a7 0,故 C 错误；2所以a1 a11 n iia6 0,故 D正确.2故选：ABD.11-、6

10、.已知数列 an的刖n项和为Sn,刖n项积为工，且f-一 1,则（）e 1 e 1A.当数列an为等差数列时，S20210B.当数列an为等差数列时，S20210C.当数列an为等比数列时，T20210D.当数列an为等比数列时，T20210答案：AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，所以是奇函数，且在上单调递减，所以, 所以当数列为等差数列时，；解析：AC【分析】a3_a2019e、111变形为-ea3121ea20191利用函数单调性可得a320190,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由ea

11、3a2019 e可得一 tea31ea20191xe-x-e 10,所以f函数，且在R上单调递减，所以a20190,所以当数列an为等差数列时，S20212021 a3220190;当数列an故 T2021为等比数列时，且a3,司。门 , a2019同号，所以2021a1011 ,a2019均大于零,a10110.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题7.定义n 1a12a22 an必将切H n 为数列an的优值” .已知某数列an的优值" H n2n，前n项和为S ,则（）A.数列an为等差数列B.数列a为等比数列S2020

12、 2023C. 20202答案：ACD. S4, S6成等差数列【分析】由题意可知，即，则时，可求解出，易知是等差数列，则 A正确，然后利用 等差数列的前n项和公式求出，判断C, D的正误.【详解】解：由,所以时，得时，即时，当时，由解析：AC【分析】 n 1由题意可知Hna12a22an2n，即a12a22n1an n2n，则 n2n时，2n1ann 2nn 12n 1n 12n 1,可求解出小 n 1,易知an是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前 n项和公式求出Sn ,判断C, D的正误.解：由H nn 1a1 2a2 2 an得 a1 2a2 2n 1an n 2n,所以 n 2

13、时，a1 2a2 2n 2an 1 n 1 2n 1 ,n 1nn 1得 n 2 时，2ann 2 n 1 2即 n 2 时，an n 1 ,当n 1时，由知现 2 ,满足an n 1 .所以数列an是首项为2,公差为1的等差数列，故 A正确，B错,所以Sn，所以怒2023 一2一,故c正确.S414, 0 27,故 D错,S2 5,；故选：AC.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般8.首项为正数，公差不为0的等差数列 an ,其前n项和为Sn,现有下列4个命题中正确的有（）A.若 S10 0,则& S80;B.若S4 S12,则使Sn 0

14、的最大的n为15C.若S5 0, S16 0,则Sn中S8最大D.若 S7 S8,则 S8 S9答案：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案【详解】A选项，若，则，那么.故A不正确；B选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A选项，若S1010al"d20,则 24 9d 0,那么S2S82a1 d8a128d10a1 29d16d0 .故A不正确;B选项，若S4§2,则 asa6金a124 a8a§0,又因为a0,

15、所以前8项为正,从第9项开始为负,因为S1616 ala168 a8a90,所以使Sn0的最大的n为15.故B正确;C选项，若S1515 & a1515a80, S1616 a1a160,则 Sn中S8最大.故C正确;D选项，若故选：BC【点睛】S7S8,则出0 ,而& & a9,不能判断a9正负情况.故d不正确.本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式，属于常考题型9.在下列四个式子确定数列an是等差数列的条件是（）A. ankn b（ k, b为常数,*_I.一 n N ) ； B. a 2 an d( d 为常数,C. an*2 2an 1an 0 n

16、ND. an的前n项和Sn n2 n 1*N ).AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列 ,故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.【详解】A选项中an kn b （k, b为常数，n N*）,数列 an的关系式符合一次函数的形 式，所以是等差数列，故正确，B选项中an 2 an d （d为常数，nN）,不符合从第二项起，相邻项的差为同一个 常数，故错误； *C选项中an 2 2an 1 an 0 n N ,对于数列 a

17、n符合等差中项的形式，所以是等差 数列，故正确；22D选项an的前n项和Sn n n 1（ n N ）,不符合Sn An Bn,所以an不 为等差数列.故错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.10.等差数列an的前n项和为Sn, ai 5a3 0 ,则下列结论一定正确的是（）A. aio 0B.当n 9或10时，Sn取最大值C. a9 a11D. S6 §3答案：AD【分析】由求出，即，由此表示出、，可判断 C、D两选项；当时，有最小值， 故B错误.【详解】解：，故正确A.由，当时，有最小值，故B错误.,所以，故C错误.,故D正确.解析：AD【分析】aii