数列解答题练习题答案

1、参考答案1（1）；（2）；（3）不存在正整数，使，成等比数列【解析】试题分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求出数列的通项公式；（3）假设存在正整数, 使, , 成等比数列，由, , 成等比数列得：，化简，解出的值，与为正整数矛盾，故不存在正整数, 使, , 成等比数列试题解析：（1）解：，. 1分（2）解法1：由，得， 2分故. 3分，. 4分数列是首项为，公差为的等差数列. 5分. 6分当时， 8分又适合上式，. 9分解法2：由，得， 2分当时， 3分. 分. . 分 ，. 分数列从第2项开始是以为首项，公差为的等差数列 分 分适合上式，

2、. 9分解法3：由已知及（1）得，猜想. 2分下面用数学归纳法证明. 当，时，由已知，猜想成立. 3分 假设时，猜想成立，即， 4分由已知，得， 故. . 5分. 6分，. 7分. 8分故当时，猜想也成立.由知，猜想成立，即. 9分（3）解：由(2)知, .假设存在正整数, 使, , 成等比数列,则. 10分即. 11分 为正整数， . . .化简得 . 12分 , .解得, 与为正整数矛盾. 13分 不存在正整数, 使, , 成等比数列. 14分考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质；3、等差数列的前项和.2（1）；（2）最小项第4项，最小值23.【解析】试题分析：（1）等差数列基

3、本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.试题解析：解：（1）设公差为，则有，即或（舍），（2），当且仅当时取号，即时取号.考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式；3、基本不等式的应用.

4、3（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由条件可建立关于，的方程组，解得，进而得到的通项公式；（2）由条件可得，结合（1）可将其转化为关于的方程，从而求得的值.试题解析：（1）由条件，；（2）由（1）得，由. 考点： 1.等差数列的通项公式与前项和；2.等比数列的性质.4（）（）当时，有最大值49. 【解析】试题分析：（）由等比数列定义知数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此根据等比数列通项公式及求和公式得，（）先根据待定系数法求出等差数列的首项及公差：， 再根据等差数列求和公式得最后利用二次函数性质求其最值：当时，有最大值49.试题解析：（）由已知，是首项为1，公比为3的等比数列， 2分

5、所以， 4分所以. 6分（） , 8分, 10分 当时，有最大值49. 13分考点：等比数列及等差数列基本量5（1），（2）【解析】试题分析：首先利用和的关系求，令，求出，当时，把与相减整理得，发现数列时等比数列，求出；由于，说明数列是等差数列，公差，再由，求出首项，得出通项；第二步利用错位相减法求和；试题解析：（）由题意知，将代入得，当n2时，两式相减得（n2） 整理得：（n2）数列是为首项，2为公比的等比数列. ，为等差数列，公差为， 即 .（） 得，考点：等差数列通项公式和错位相减法求和；6（）；（）.【解析】试题分析：（）首先利用得到递推关系根据等比数列的定义知数列是以为首项，为公比的

6、等比数列，利用等比数列的公式求得其通项公式；（）根据（）所得结果及对数的运算法则可得，进而求得再利用裂项相消法求得的结果为，进而解得正整数的值.试题解析：（）时， （2分）时， （4分）是以为首项，为公比的等比数列， （6分）（） （8分） （11分） （12分）考点：1.等比数列的定义；2.对数运算；3.裂项相消法求和.7（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）考虑到当时，因此利用条件可以得到数列的一个递推公式以及的值，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，这是一个等差数列与一个等比数列乘积的形式，因此考虑用错位相减法求其前项和：，两式相减得，.试题解析：（1）当时， 2分当时， ，

7、，-得，； 4分数列是首项为，公比为的等比数列，； 6分 （2）， 7分 ，两式相减得， 11分. 12分 考点：1.数列的通项公式；2.错位相减法求数列的和.8（1），；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于数列为等差数列，所以通过，令和得到和的值，从而得到公差d，即代入到和的公式中即可得到；第二问，先利用等比中项解出k的值，而，得到数列的第一项和公比，从而得到的通项公式，代入中，利用错位相减法求，计算过程中利用求

8、和.试题解析：（1） ，又，故；又，故，得；等差数列的公差. 3分所以, . .5分（2）由已知有，故，即解得，或，又，故. 7分等比数列的公比为，首项为所以. . .9分所以. . .10分 12分. 14分考点：等差数列等比数列的通项公式、等差数列等比数列的前n项和公式、错位相减法.9（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）设出首项与公差，整理成关于的方程组，求解即得通项公式；（2）先根据,成等比数列，确定通项公式，根据项的正负进行讨论去掉绝对值符号进行求和.解题思路:求等差数列（等比数列）的通项公式的基本方法是利用基本量，利用方程思想进行求解.试题解析：（1）因为所以 .1分又因为或

9、.3分当时，d=3， .4分当时，d=-3， .5分所以或 .6分（2）因为成等比数列所以，因此 .7分设的前n项和为 当时，所以 .9分当时， .11分所以 .12分.考点：1.等差数列；2.等比数列；3.数列求和.10（1）见解析 ；（2）【解析】试题分析：利用（）即可获解，因，所以，则，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）利用（1）可得，所以，利用分组求和法可得试题解析：（1）当时， 1分当时， ， -得：，即 5分，又数列是以为首项，为公比的等比数列。 7分（2）由（1）得：， 9分代入得： 12分 14分 15分考点：数列及其求和11（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分

10、析：（1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明（，为常数；二是等差中项法，证明，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.试题解析：（1）由，得， （2分）两式相减，得，即， （4分）所以数列是等差数列. （5分）由，得，所以， （6分）

11、故. （8分）（2）因为， （11分）所以 （） （14分）考点：1、证明数列是等差数列；2、等差数列的通项公式；3、裂项求数列的和.12(1) ,A=(n)；(2)【解析】试题分析：(1)由a=-20，a=a4(n)确定数列为等差数列,并确定其首项与公差，从而由等差数列的通项公式与前 项和公式求得.(2)由（1）的结果知：所以可用拆项法求数列 的前 项和.试题解析：解：(1)数列an满足a=a4(n)，数列an是以公差为4，以a=-20为首项的等差数列故数列an的通项公式为a=(n)，数列an的前n项和A=(n)；(2)(n)，数列bn的前n项Sn为考点：1、等差数列；2、拆项法求特列数列的

12、前 项和.13（I），；（II）【解析】试题分析：（I）利用“若，则求得，进而求出公差，即可求得的通项公式；先解方程，求得，再求公比，进而求出的通项公式；（II）利用错位相减法求和.试题解析：（）， 1分， 2分. 3分，解得或，因为为递增数列，所以， 5分，数列，的通项公式分别为. 6分（）. 7分 ， , 得 . 11分考点：1.等差数列；2.等比数列；3.错位相减法.14（1）n1；（2）【解析】试题分析：（1），即 ，化简得，d0（舍去），得2，d1（n1）d2（n1）n1，即n1（2） ， 4，是以4为首项，2为公比的等比数列，考点：本题考查等差数列的前n项和公式，等差数列通项公式，

13、等比数列前n项和公式点评：解决本题的关键是熟练掌握等差数列通项公式和前n项和公式，等比数列前n项和公式15 ()，()，【解析】试题分析：已知数列是等差数列，数列是等比数列，依据等差数列和等比数列的通项公式，列出方程组求出等差数列的公差和等比数列的公比，从而写出两个数列的通项公式；第二步先写出等差数列的前n项和为，再把和代入，利用分组求和法分组求和，其中一组为裂项相消，另一组为等比数列求和；试题解析：()设数列的公差为d，数列的公比为q，则由得解得所以， ()由，得，则n为奇数，n为偶数，即n为奇数，n为偶数，考点：1.等差数列与等比数列通项公式与前项和公式；2.数列求和的基本方法；16（I）

14、，；（II）.【解析】试题分析：（I）根据等差数列的定义显然是以为首项，为公差的等差数列，进而根据等差数列的公式得到：，数列的通项公式根据时，得到，同时检验当时，是否成立，得到：；（II）根据（I）的结果，得到时，和时，利用裂项相消法求得.试题解析：（I）由题意数列an 是以3为首项,以2为公差的等数列, 3分当时，； 当时，对不成立所以，数列的通项公式: 6分（II）当时，当时， 8分仍然适合上式综上， 12分考点：1.等差数列的通项公式；2.裂项相消法数列求和.17（1）；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由，成等差数列，得，转化可得，即可得数列的通项公式；（2）先用错位相减法求出，

15、再算出，即可比较与的大小关系试题解析：（1）解：由题意得， 1分即，即. 2分 . 3分 公比. 4分 . 5分另解：由题意得， 1分. 2分化简得，解得， 4分. 5分（2）解：， 6分 ， 7分， 8分得， 10分 . 12分 . 14分考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的性质；3、数列求和.18（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）在等差数列中，知道首项，再利用等比中项的性质得到，利用等差数列的公式转化为首项和公差表示，进而联立求得中的首项和公差，求得其通项公式；（2）根据（1）得到数列的通项公式，再利用错位相减法求得的前项和.试题解析：（1），设公差为，则由成等比数列，得，

16、解得（舍去）或，所以数列的通项公式为 （2）， -得: 考点：1.等差数列公式；2.错位相减法求和.19（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得，再由等比数列可得，从而，因此数列的通项公式为；（2）由（1）可得，这是一个等比数列与一个等差数列的乘积，因此可以考虑用错位相减法来求数列的前项和：，.试题解析：（1）成等差数列，又等比数列，又，数列的通项公式为；（2），.考点：1.等差等比数列的通项公式与性质；2.错位相减法求数列的和.20（）; ，；（）【解析】试题分析：（）根据数列的递推公式，以及，即可求出，进而求出，利用，即可求出数列的通项公式；（）由（），得. 因为 ，所以

17、，解得 又因为，即可求出的取值范围 试题解析：（）解：由题意，得， 因为 ， 所以 ，解得 . 3分所以 当时，由， 5分得 . 7分验证知时，符合上式，所以，. 8分（）解：由（），得. 10分因为 ，所以 ， 解得 12分又因为，所以的取值范围是 13分.考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的性质；3.等比数列的性质. 21（）；（）【解析】试题分析：（）利用待定系数法即可，设的公差为，则，从而；由（）=，利用分组求和法即可求得数列的前项和试题解析：（）设的公差为，则，解得， 4分所以 5分（）= 2分 4分 6分 8分考点：数列的综合应用22（1）（2）见解析；（3）；（4）见解析【解

18、析】试题分析：（1）令 代入（2）利用构造（3）因为数列为等差数列，所以能求出，再利用迭加法求出 ；（4）先求出，利用裂项相消求出 试题解析：（1） 2分（2）由可得： 数列为等差数列，且首项 ，公差为 6分（3） 8分 10分（4）由（2）可知： 12分 14分考点：等差数列的证明，迭加法求通项，数列求和裂项相消23（1）；（2）【解析】试题分析：（1），当n=1时， 1分又当时， 3分所以 4分（2）， ， 6分 8分， 12分考点：本题考查求数列的通项公式，数列求和点评：解决本题的关键是（1）注意考虑n=1的情况；（2）数列求和的方法要掌握，错位相减法，注意计算24（）；（）【解析】试题

19、分析：（） 由等差数列满足知，所以. 因为成等比数列，所以，整理得，又因为数列公差不为0，所以. 2分联立解得. 4分所以. 6分（）因为，所以， 8分所以数列是以4为首项，8为公比的等比数列， 10分由等比数列前n项和公式得， . 12分考点：本题考查等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式，等比数列前n项和公式点评：解决本题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，等差数列前n项和公式，等比数列前n项和公式25（1）an=2·3n-1 ；（2）【解析】试题解析：（1）由题设知，Sn= 得Sn-1=（nN,n2）两式相减得：an= 即an=3an-1（nN,n2），又S1= 得a1=2所

20、以数列an是首项为2，公比为3的等比数列所以an=2·3n-1（2）由（1）知an+1=2·3n，an=2·3n-1因为an+1=an+（n+1）d ，所以所以令Tn=则Tn=得=所以考点：本题考查数列及求和点评：解决本题的关键是已知Sn求通项，再利用通项特征求和26（1）（2）【解析】试题分析：解决该题的关键是根据等差数列的通项公式，列出关于首项、公差、公比的方程组，从而得出相应数列的通项公式，关于第二问的求和问题，涉及到等差数列和等比数列的对应项和构成的新数列求和应用分组求和法.试题解析：（1）设公差为，公比为 （分）（2） （1分）考点：等差数列的通项公式，

21、等比数列的通项公式，分组求和法，等差数列的求和公式，等比数列的求和公式.27（）;（）【解析】试题分析：（）由可得,代入可得间的关系由可得代入上述间关系式,依次可得的值（）由（）知,由构造法可得是公比为2的等比数列从而可得由已知可得,由等比数列前项和公式可求得试题解析：（）由整理得 6分（）由所以 12分考点：1构造法求数列通项公式;2等比数列的定义,通项公式,前项和公式28（1）；（2）见解析【解析】试题分析： 设等差数列的公差为d，由题意得， .2分解得， 3分 .4分， .6分（2）由题意得： .9分=，= 12分考点：本题考查集等差数列通项公式，等差数列前n项和公式，数列求和点评：解决

22、本题的关键是利用等差数列通项公式求出首项和公差，掌握等差数列通项公式以及前n项和公式，以及裂项相消法求数列的和29（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用等差数列的公式，将转化为首项和公差之间的方程，进而求得的首项和公差，得到的通项公式，由，再检验时，与是否相等，进而求得的通项公式；（2）根据（1）得到数列的通项公式，利用错位相减法求得的前项和.试题解析：（1） 设等差数列公差为由，从而 （4分） （5分）又当时，有， （6分）当时，有 （8分）数列是等比数列，且； （10分） （2）由（1）知：， （11分） （12分） （2分） （13分）考点：1.等差数列；2.错位相减法对数列求和.30（1）；（2）；（3）或.【解析】试题分析：（1）根据等比数列的公式将化简整理得到：进而求得首项和公比，利用等比数列的公式，得到的通项公式；（2）根据（1）得到的数列的结果，代入得到数列的通项公式，可知数列是等差数列，进而利用等差数列的求和公式得到；（3）根据（2）得到的结果知：，按分类讨论的符号变化，进一步得到取得最大值时的值.试题解析：（1）， 又， 1分又与的等比中项为, 2分而 3分 5分（2） 7分是以为首项，为