文科数学全国卷真题及答案

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合，则集合中的元素个数为 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）22、已知点，向量，则向量 （A） （B） （C） （D）3、已知复数满足，则（ ） （A） （B） （C） （D）4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 （A） （B） （C） （D）6、九章算术是我国古代内

2、容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛7、已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）8、函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ） （A） （B）（C）（D）9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ） （A） （B） （C）7 （D）81

3、0、已知函数 ，且，则 （A） （B）（C）（D）11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )（A） （B）（C）（D）12、设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列中为的前n项和，若，则 .14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则 .15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 16.已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 三、解答题17. （本小题满分12分）已知分

4、别是内角的对边，.（I）若，求 （II）若，且 求的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，（I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x

5、的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.（I）求k的取值范围；（II）若，其中O为坐标原点，求.21. （本小题满分12分）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB是O直径，AC是O切线，B

6、C交O与点E.（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；（II）若 ，求的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求的极坐标方程.（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 .（I）当 时求不等式 的解集；（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、 选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C

7、 （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三、 解答题17、解：（I）由题设及正弦定理可得=2ac.又a=b，可得cosB= 6分（II）由（I）知=2ac.因为B=，由勾股定理得.故，的c=a=.所以ABC的面积为1. 12分18、解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED. 5分 （II）设AB=，在菱形ABCD中，又ABC= ，可得AG=GC=，GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中，可的EG=.由BE平面ABCD,知EBG为

8、直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.故=2 9分 从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与 ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. 12分19、解：（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费的回归方程式类型.（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于,，所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于的回归方程为（）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值 9分（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 .所以当，即=46.24时

9、，取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 12分20、解：（I）由题设，可知直线的方程为.因为与C交于两点，所以.解得 .所以k的取值范围为. 5分（II）设.将代入方程，整理得.所以. . 由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.故圆心C在上，所以. 12分21、解：（I）的定义域为.当0时，没有零点；当时，因为单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，当b满足0b且b时，故当0时存在唯一零点. 6分（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，0；当时，0.故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，. 12分22、解：（I

10、）连接AE，由已知得，AEBC,ACAB.在RtAEC中，由已知得，DE=DC,故DEC=DCE.连结OE，则OBE=OEB.又OED+ABC=，所以DEC+OEB=，故OED=，DE是O的切线. 5分 （II）设CE=1，AE=，由已知得AB=，BE=.由射影定理可得，所以，即.可得，所以ACB=. 10分 23、解：（I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为. 5分 （II）将代入，得，解得.故，即由于的半径为1，所以的面积为. 10分 24、解：（I）当时，化为.当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当，不等式化为-+20，解得12.所以的解集为. 5分 （II）由题设可得

11、，所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为,ABC的面积为.由题设得6，故2.所以的取值范围为. 10分 2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）数学（文科）1 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，则（ ）A. B. C. D. （2） 若，则A. B. C. D. （3） 设，则A. B. C. D. 2（4）已知双曲线的离心率为2，则A. 2 B. C. D. 1（5） 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函

12、数（6） 设分别为的三边的中点，则A. B. C. D. （7） 在函数， ，,中，最小正周期为的所有函数为A. B. C. D. 8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )A. B. C. D.10. 已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，则（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（11） 设，满足约束条件且的最小值为7，则 （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3（12） 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值 范围是

13、（A） （B） （C） （D）第II 卷2、 填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_.（14） 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为_.（15）设函数则使得成立的的取值范围是_.（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高_.3、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分12分）已

14、知是递增的等差数列，是方程的根。（I）求的通项公式；（II）求数列的前项和.（18） （本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19(本题满分12分)如图，三棱柱

15、中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1） 证明：（2） 若,求三棱柱的高.20. （本小题满分12分）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（1） 求的轨迹方程；（2） 当时，求的方程及的面积21（12分）设函数，曲线处的切线斜率为0（1） 求b;（2） 若存在使得，求a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22） （本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（I）证明：；（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.（23）

16、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线，直线（为参数）（1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.（24） （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.文科数学试题答案一、选择题（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C （7）C （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A二、填空题（13） （14）A （15） （16）150三、解答题（17）解：（I）方程的两根为2,3，由题意得设数列的公差为d，则故从而

17、所以的通项公式为 6分（II）设的前n项和为由（I）知则两式相减得 所以 12分（18） 解：（I）（II）质量指标值的样本平均数为80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08 =100.质量指标值的样本方差为 =104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. 10分（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规

18、定. 12分（19） 解：（I） 连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故 6分（II） 作，垂足为D，连接AD.作，垂足为H. 由于，故平面AOD，所以.又，所以平面ABC. 因为，所以为等边三角形，又BC=1， 可得.由于 ，所以 由，且，得又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为故三棱柱的距离为.（20） 解：（I）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是. 6分（II）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，所以的面积为. 12分（21） 解：（I），由题设知，解得. 4分（II）的定义域为，由（1）知，（）若，则，故当时，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，解得.（ii）若，则，故当时，；当时，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（iii）若，则.综