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文档简介

1、利用几何画板探索轨迹的教学研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下,从学生生活和社会经验中,选择和确定研究专题,仿照科学研究的方法和过程,主动地获取知识,并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题,以小组学习为主要形式,学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动,问题是它的重要载体,整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践,注重体验,关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。下面通过对一个数学问题的探索,谈谈我的一点体会。教师:求曲线的方程、通过方程研究曲线的性

2、质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题:怎样探索点的轨迹。问题是数学的心脏,思维从问题开始。我们先看一个具体的例子:如图1,过椭圆()的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。轨迹1 过原点O作弦AB的垂线,垂足为M,求点M的轨迹方程。 图1 图2几何画板演示:拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮,跟踪点M,得到点M的轨迹是一个小圆。如图2“怎样求出这个小圆的方程?”学生:按一般思路,假设弦AB所在直线的斜率为k,则AB的垂线的斜率为,列出这两条直线的方程,联立这两个方程解出交点(即垂足)M的坐标,最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。哇!好复杂。学

3、生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕,既不动手,也不说话。教师:“你为什么不动手做?”学生:“我在想这个轨迹是一个圆,而且是以OF1为直径的圆,是不是有什么简单的方法做出来。噢,我知道了。一般的解题思路很容易想出来,但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法:因为OMAB ,所以|OM|2 +|F1M|2 = |OF1|2,若设点M的坐标为(x ,y),点F1的坐标为(c,0),则x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2,即。这就是所求的轨迹方程。”“啊!这么简单?”同学们都惊讶起来。马上又有一个学生说:“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的

4、坐标有关,而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点O与F1,过这两点作两条互相垂直的直线,求交点的轨迹方程。这当然很容易解得。”教师:“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时,一定要注意设法找出动点所满足的几何条件,寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下:轨迹2 如图3,求弦AB中点P的轨迹方程。”“猜猜看,点P的轨迹是什么?”不少学生已经利用几何画板演示了出来:几何画板演示:拖动主动点A,得到点P的轨迹是一个小椭圆,并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即半焦距。如图4。“真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程?”教师

5、在下面观察学生的解法,却发现不少学生 图3对这类问题无从下手。教师:“根据求轨迹方程的一般步骤,求哪一点的轨迹方程,就应该假设该点的坐标为(x,y),因此先设P点坐标为(x,y)。要建立点P的坐标(x,y)满足的方程,观察图形,这里有四个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、P、F1,其中点F1是定点,A、B、P都是动点,但点A是主动点,引起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。”“点P与A、B两点的坐标的关系怎样?”学生:“根据中点坐标公式得到,。”“如何将A、B、P、F1这四点的坐标联系起来?”“利用直线的斜率。”“直

6、线AB的斜率怎样表示?”“有,还有。”“如何得到?”“”“A、B两点在哪?满足什么方程?” 图4“在椭圆上。满足,。”“知道怎样求了吗?”学生很快得到下列解法(经过整理):设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则,因为点A、B都在椭圆上,则 ,两式相减得 ,于是有 ,化简得 , 此即为所求的轨迹方程。教师:“以上解法是很典型的。这里设点A、B的坐标,但并不需要求出,只是利用A、B的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有?”一学生:“因为直线AB经过点F1,可以设直线AB的方程为y=k(x+c),与椭圆方程联

7、立解方程组得出A、B两点的坐标”另一学生:“不必解出A、B的坐标,将直线AB的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A、B的横坐标x1,x2,正好可以利用韦达定理得到,将点A、B的横坐标都表示为直线AB的斜率k的函数,消去参数k就行了。”教师:“很好。请同学们将解法写出来。”以下是学生的另一种解法(经整理):解法二:假设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x+c),代入椭圆方程得 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),则,=, 由得,代入y=k(x+c)得,整理得 , 即为所求的方程。学生:“我改变原椭圆的长轴或短轴的长,所求轨迹的形状也随着改

8、变了,但这两个椭圆的形状仍然十分相似,也不知有没有必然的联系?”学生:“与的比例正好等于,哇!我发现这两个椭圆的离心率是一样的!因此它们的形状相同。”教师:“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。刚才所探索的都是弦AB上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹?请大家根据这个椭圆及弦AB,自行发现问题,提出问题和解决问题。”学生们立即投入到探索中。一位学生:轨迹3 “在弦AB上任意取一点Q,跟踪点Q,动画哇!怎么点Q的轨迹是这样的?”不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕,几何画板演示:在弦AB上任取一点Q,跟踪点Q,拖动主

9、动点A,取到如下几何图形(如图57所示): 图5 图6 图7“呀!这是什么图形?”“怎么会有这样的图形?”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。”“该给这个轨迹起个什么名字呢?”学生们发出惊叹。拖动点Q,发现点Q的轨迹也发生变化。当点Q接近中点P时,点Q的轨迹图形接近于中点P的轨迹小椭圆(如图6),而当点Q接近于点A或B时,轨迹图形就接近于大椭圆(如图7)。轨迹4 “老师,我发现,如果将弦AB的两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来,则这两条直线A2A与A1B的交点C好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。“老师,点Q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线,其轨迹方程一定

10、很复杂。点C的轨迹这么简单,那么应该可以求出其方程吧。”教师:“试试看吧。”采取常规方法“交轨法”求解:设直线AA2、BA1的方程分别为y = k1(xa),y = k2(x+a),将AA2的方程代入椭圆方程整理得,此方程的两根是A、A2的横坐标x1与a,故可求得A(x1,y1)点坐标为, 图8同理可求得B(x2,y2)点坐标为 。由A、F1、B三点共线可得,即 ,将A、B两点坐标代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0,将,代入上式得,分解因式得 ,因为直线AA2、BA1的交点在椭圆外,所以,故 , 即 。即为

11、直线AA2、BA1的交点的轨迹方程,而这就是椭圆的准线方程。“同样的道理,直线A2B与A1A的交点D也在准线上。”“老师,不管C、D两点在左准线上怎样运动,CF1D是一个定值。如图9所示。”又一个学生发现了一个结论。同学们利用上个问题的解决方法,很快证明了出来。 教师:“很高兴看到你们能探索出这么多 图9结论出来。利用几何画板,你们还能探索出什么结论吗?如果是圆、椭圆等常见轨迹,请同学们课后尽量给出证明。”轨迹5 “老师,如图10作OAB的重心G,其轨迹也是一个椭圆。”一位学生说。(以下是学生课后提供的解答过程:设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x,y),AB中点为M(x0,y0),则

12、,由,得,此即为直线AB的斜率k, 图10又 , , 整理得. 故OAB重心G的轨迹方程为:。)下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线:轨迹6 “OAB的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线(如图11所示)。”轨迹7 “OAB的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图12所示)。” 图11 图12轨迹8 “OAB的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图13所示)。”轨迹9 “OAB中,过点A作OB的垂线,垂足的轨迹是两叶花卉形(如图14所示)。” 图13 图14轨迹10 “老师,如图15作ABF2的重心G,其轨迹也是一个椭圆。”(以下是学生课后的解答:设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x,y),则由F2(c,

13、0)与G(x,y)可得AB中点M的坐标为,因为 ,所以 ,整理得 ,即 。此即为ABF2的重心G的轨迹方程。) 图15又是几条奇妙的曲线:轨迹11 “ABF2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线(如图16所示)。”轨迹12 “ABF2的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图17所示)。”轨迹13 “ABF2的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图18所示)。”轨迹14 “ABF2中,过点A作BF2的垂线,垂足的轨迹是两叶花卉形(如图19所示)。” 图16 图17 图18 图19轨迹1518 “延长AF2交椭圆于另一点C,联BF2 ,ABC的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一不知名的曲线(如图2023所示)

14、。” 图20 图21 图22 图23“老师,椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线,它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线与抛物线中是不是也具有相似的结论?”“问得好。同学们探讨一下这位同学提出的问题。”以下是学生经过探索得出下面的结论(限于篇幅,本文略去解题过程):轨迹19 如图24,过双曲线的右焦点F2作弦AB,则弦AB的中点M的轨 图24迹是以OF2为实轴即实半轴长为的双曲线,其方程为,其解答过程与椭圆相似,这里略去。并且此双曲线与原双曲线的离心率相同。若在弦AB上任取一点P,则点P的轨迹图形如图2526,并且当点P 图25接近中点M时,P点轨迹接近中点M的轨迹双曲线;当点P接近点A或B时,P

15、点轨迹接近原双曲线。轨迹20 如图27,OAB的重心G的轨迹是一双曲线,其方程为 。轨迹21 如图28,ABF1的重心的轨迹是一双曲线,其方程为 图26 图27 图28轨迹21 如图28,ABF1的重心的轨迹是一双曲线,其方程为 。轨迹22 如图29,过抛物线的焦点F作弦AB, 则弦AB的中点M的轨迹是以F为顶点的抛物线,其方程为.图29 图30 图31如图3031,若在弦AB上任取一点P,则点P的轨迹并且当点P接近中点M时,P点轨迹接近中点M的轨迹抛物线,当点P接近点A或B时,P点轨迹接近原抛物线轨迹23 如图32,OAB的重心G的轨迹是一条抛物线,其方程为 。轨迹24 如图33,K是抛物线

16、的准线与x轴的交点,KAB的重心的轨迹是一条抛物图32 图33 图34线,其方程为 。如图34,通过探索还可得到抛物线有关的一些性质: 如 以AB为直径的圆与准线相切; 连接OA、OB两条直线,分别交抛物线的准线于M、N两点,则MFN=,并且AM、BN都垂直于准线。教师:“今天的问题同学们研究得很好。几何画板可以称这数学实验室。通过这个实验室,同学们可以学会怎样去探索、发现问题和解决问题。象上面的轨迹问题,找到了主动点与被动点之间的关系,问题就不难解。下面的这个问题,同学们课后去加以研究,下周将你们研究的结果展示出来:问题 如图35所示,过椭圆的左顶点A1作两条互相垂直的弦A1A、A1B。对于

17、弦AB提出一些问题并加以解决。例如:弦AB是否经过一个定点;弦AB上中点的轨迹问题;过A1或O点作弦AB的垂线,垂足的轨迹问题;A1AB的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题;A2AB的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题更一般的问题:如果在椭圆上取其它点M,过点M作两条互相垂直的弦MA、MB。对弦AB提出一些问题并加以解决。同样,对双曲线、抛物线也提出类似的问题。有关结果在下周展示出来。”课后对学生进行了调查。以下是一些学生的感受:“今天这堂课收获很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然问题,通过几何画板的动态显示,现在弄清楚了。”“今天这堂课真有意思。通过几何画板这个工具,不仅掌握了如何研究问题, 图35同时也知道了如何去发现问题。”“通过这堂课,我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。”“我觉得老师要我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识,而且让我们知道了知识的产生过程。” 记得我国著名数学教育家张奠宙教授说过,在

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