浅谈达朗贝尔判别法

1、浅谈达朗贝尔判别法郑媛媛（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要：通过学习了达朗贝尔判别法及其推论，我们了解到达朗贝尔判别法在判别正项级数的敛散性中是非常简便适用的。但这种判别法仍存在着一些弊端，给我们在学习中造成了许多不便，为了便于我们今后的学习，本文简单的介绍和研究了几种达朗贝尔判别法的推广方法，主要解决了达朗贝尔判别法在=1失效的情况下敛散性的判别。文中提到的方法，不但使用简便，具有广泛的适用性，而且更为精细。为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。关键词：正项级数 敛散性 TALK ABOUT J.DALEMBERTS PRINCIPLEZheng Yuanyuan(D

2、epartment of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract :The study of the DAlembert Discrimination Act and its corollary,We understand that dAlembert Discrimination in the series Conwergence Divergence is very simple application.This Criterion there are still some drawbacks

3、to the study,we created a lot of inconvenience.In order to facilitate our future study,this brief introduction and study of several dAlembert Criterion promotional measures,mainly to solve the DAlemberts Test=failure in the case of convergence and divergence of discremination.The article mentions th

4、e method not only easy to use,with broad applicability,but more subtly.For the positive series fugitive convicted of a more powerful tool.Key words :positive series ; conbergence anddivergence.引言判别敛散性是无穷级数与无穷积分理论的首要课题，而正项级数的敛散性判别尤为重要。我们已经在教材中学习了几种判别正项级数敛散性的判别法其中达朗贝尔判别法的推论比值判别法和根值判别法用起来较比较判别法方便，其原因是它

5、只靠级数自身的特征来检测，而比较判别法却须去寻找一个恰当的比较对象然而，从比值判别法和根值判别法的证明可以看出，它们实质上还是把所讨论的级数同某一几何级数作比较这两种方法在实际应用时，都会遇到失效的情况为什么会出现这种情况呢?这实质上是，把所有级数和收敛的几何级数相比，它的项比几何级数的项数值 大，而和发散的几何级数相比，它的项又比几何级数的项数值小这也就是说，要想检验所论级数的敛散性，几何级数这把尺子的精密度不够。人们发现p级数是比几何级数更精密的一把“尺子”，而级数： 又比p级数更为精密，称为对数尺子。仿照建立比值判别法的办法，人们将所论级数同一把比一把更精密的“尺子相比较，建立了一个比一

6、个适应范围更大但使用更加繁难的正项级数敛散性判别方法，如拉贝判别法，高斯判别法，等等但是，如此建立的判别方法，无论适应范围多大，仍然会有失效的情况发生我们在做题当中发现了达朗贝尔比值判别法是正项级数敛散性判定中使用最简便的方法之一，所以经常使用,但由于精确度不够,当=1时，判别发失效.给我们带来了很多不便。例如：级数和，都有= =1, =1.但前者发散而后者收敛。近年来，为了改进达朗贝尔比值判别法，进行了种种研究。如双比值判别法的提出，本文简单例举出了比值判别法的几种推广，是众多定理成为其特殊情况，而且使用简便，为正项级数敛散性的判定提供了更有力的工具。一.预备知识引理1：对于P级数,当<

7、;P1时发散；当P >1时收。对于级数,级数发散，且满足=1+ o（）级数发散，且满足=1+级数收敛，且满足=1+2：设级数和都是正项级数且存在自然数，使当n时，有 ,则有(i)若收敛，则也收敛；(ii)若发散，则也发散。引理3：设有正项级数=+ , （）其中>,=,若是自然数列的一个子列，规定=，记=,=,.,又得到正项级数=(+)+(+)+ （）即对级数（）适当添加括号得到级数（）.级数（），（）有相同的敛散性，且在它们收敛时有相同的和。引理4：给定两个正项级数（）和（），若从某项起（如<时）,不等式,成立，则级数（）收敛蕴涵级数（）收敛;级数（）发散蕴涵级数（）发散。引

8、理5：设是正项级数，单调递减，则存在1，+)上的单调递减的连续可微函数，使得= （=. .）6：若函数在1，+)非负，连续，递减，则级数与无穷积分同时收敛或同时发散。7：设是定义在，+）上的正值连续函数，函数在，+）严格递增，连续可导且， ，+),若=，则（i）.当<1.，无穷积分收敛；（ii）.当>1，无穷积分发散；（iii）.当=1，无穷积分可能收敛，也可能发散。引理8：（达朗贝尔判别法或称比式判别）设为正项级数，且存在某正整数及常数q (<q <1).(i).若对一切>，成立不等式q,则级数收敛；(ii).若对一切>，成立不等式1,则级数发散。二.推广

9、方法（一）.定理1：设是正项级数且满足=1-+o(),则有（i）.若>1,则级数收敛；（ii）.若1，则级数发散。证明：(i).当时，有=1+o()，另一方面，若令=,这里>，且1+<，那么=1+ o（）,从而= + o（）, ()即对充分大的，有<由引理1知级数=收敛，故再由引理2知收敛。（ii）.同理，当时，有=1+o()，另一方面，若令=,这里>，且<1<1，那么=1 + o()从而=+ o(), ()即对充分大的，有由引理1知级数=发散，故再由引理2知发散。举例应用例：设>，讨论级数的敛散性。解:因为=(1+ o（）)=1+ o（）=1+

10、 o()由结论知，于x>时收敛;于x时发散。综合达朗贝尔判别法及定理1可得（二）.定理2：设是正项级数且满足=+ o(),则有（i）.若<1或=1，>1,则级数收敛；（ii）.若>1或=1，1,则级数发散。证明：可由朗贝尔判别法及定理1证得。举例应用例：判定级数的敛散性。分析：本题应用达朗贝尔判别法失效，因为出现=1，用定理2可判断出收敛性。解：=.因为=1，此时达朗贝尔判别法失效，但由定理2有=1-+由结论知道=>1，故此级数收敛。（三）.定理3：对于正项级数及，若有的一个子列，<,使 (<)则（i）. 若级数收敛，则级数收敛；（ii）. 若级数发散

11、，则级数发散。证明：因为 (<)取M=max,，对于任何自然数>，存在唯一的,使=+ (0)，于是= , 且+<,若+>，存在唯一的，使+=+(0)于是=, 且+<+注意到<依次下去，必可在有限步，不妨设到第步时，有+于是=M所以当级数收敛时，级数收敛；当级数发散时，级数也发散。推论：对正项级数，若=,=则（i）. 当=max,<,级数收敛；（ii）.当=min,>,级数发散。举例应用例：证明级数收敛。证明：因为=.=.=.( )=.=.()（四）.定理4：对于正项级数及，存在，对于任何>，都存在<，使得则有（i）. 若级数收敛，则级

12、数收敛；（ii）. 若级数发散，则级数发散。证明：一个级数增加，减少，改变有限项不改变其敛散性，不妨设对自然数，均有<，使即对自然数，存在<，使得依次下去，便得其中：>>>>>1，所以当级数收敛时，级数收敛；当级数发散时，级数也发散。：给定正项级数及，若存在正数，当>时有则（i）. 若级数收敛，则级数收敛；（ii）. 若级数发散，则级数发散。举例应用例：证明级数发散。证明:因为=级数发散，由推论知级数发散。（五）.定理5：对于正项级数（1），若存在自然数，（i）. 若，>， (<1)（）则（1）收敛；（ii）.若，>，1（）则（

13、1）发散。证明：当=1，由达朗贝尔判别法命题成立。以下考虑的情形，设,记=，=. 得到正项级数（），（i）.若，>，（）成立，则q （）因为m=m()=m(+1）同样，= m（）；所以=取定自然数，使>，则对>K，因为1K，所以>，由（），当=+1, =+,=+时，q，代入上式q= q,即>K，（<1）,由达朗贝尔判别法级数（）收敛，再由引理3级数（1）收敛。（ii）.若，>，（）成立，仿上可证K，>K, 1，由达朗贝尔判别法级数（）发散，再由引理3级数（1）发散。推论1：对于正项级数（1），若= =则 当<，（1）收敛;当>，（1）

14、发散，当=，就得到的定理1。推论2：设m，对于正项级数（1），若=1。且= ,则当<，（1）收敛;当>，（1）发散。举例应用例：对于P级数（>），因为=1不能用达朗贝尔判别法其敛散性，m=当>1，<，由推论，级数收敛。（六）.定理6：给定正项级数，若=（=, 11）,则当<时,收敛；当>时，发散。证明：当<时，取>，使得+=<,由=，知：>，N，n,有<则有<+=<,又<<。所以,>1，使得<<<,令=，则收敛，且=所以，当n >时，有>所以>>，由引

15、理4可知，收敛。当>时，取>，>，由=.知:>，N，>,有<，则有>>.令=，则=发散，且=<.所以>>，由引理4知。发散。推论：给定正项级数，若=1，且=存在，则当<时收敛；>时，发散。举例应用例：给定正项级数，若=，则当<< 1时，=;当>1时，=+（=,11）证明：由=,知>，N，n，有<即<<+=<*<即<<若<<1，取>，使得+<1，则<1，所以=.同理=.若>1，取>，使得>1，则>1.

16、所以=+.同理=+由此例题可以看出，凡是能用达朗贝尔判别法进行判别的问题，用定理6也一定可行。可见，定理6优于达朗贝尔判别法，（七）.定理7：设为正项级数，单调减少， 满足 x，（x 1，+)且单调递增的整系数多项式。如果（i）.存在满足引理5的函数，使为单调函数.（ii）= .则有（）当<1，级数收敛；（）当> 1，级数发散；（）当=1，级数可能收敛，也可能发散。证明：由引理5及条件（i）.存在，+)上的单调递减可微函数，使得 = （=.）=L.结合引理6，引理7即得。举例应用例：正项级数，取=，显然=满足定理条件，因=>1故根据定理结论，此级数发散。值得注意的是，此例用达

17、朗贝尔判别法失效。（八）.定理8：设是1，+) 上递减正值连续函数，是1，+)上连续可微函数，且 >x，若= （）则当<<1时，级数收敛；当>1时，级数发散。证明：因为在1，+)上单调递减，由积分判别法与同敛态，由于 >，所以可取单调递增序列：= c（c1）, =()， =(),且=+.当<<1时，取实数，使得<<1,由于有（）式，故>1.当x>时，有<，即<。于是时,有<即<,<,固定，使，则=+<+=<=常数故收敛，从而级数收敛。当>1时，存在>1，当x>时，>，于是当>时，>>固定，使>，有>(), ()故发散，从而级数发散。举例应用例：判断级数的敛散性。解：因为=1 (+)所以，达朗贝尔判别法失效，利用定理8，令= ，= =>1级数发散。三.结束语综上可见，文中所述定理及其推论是方便可行的，并完善了达朗