平面向量与解三角形

1、第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.锐角ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2csin B=b,则角C的大小为A.6B.3C.2D.23解析:由正弦定理得2sin B=bc=sinBsinC,sin C=12,C=6.答案:A2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是A.uvB.vwC.w=u-3vD.对任一向量AB,存在实数a,b,使AB=au+bv解析:因为u·v=0,所以uv,显然wv,因为u与

2、v不共线,所以对任意向量AB,存在实数a,b,使AB=au+bv.答案:C3.在ABC中,B=3,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是A.2B.3C.5D.6解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-3ac,化简得b=6.答案:D4.在ABC中,AB=4,ABC=30°,D是边BC上的一点,且AD·AB=AD·AC,则AD·AB等于A.4B.0C.4D.8解析:由AD·AB=AD·AC,得AD·(AB-AC)=AD·CB=0,即ADCB,所以|AD|=2,B

3、AD=60°,所以AD·AB=4×2×12=4.答案:C5.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为A.32B.22C.12D.-12解析:cos C=a2+b2-c22ab=a2+b24ab2ab4ab=12,当且仅当a=b时等号成立.答案:C6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若OA与OB在OC方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为A.5a-4b=3B.4a-3b=5C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析:由OA与OB在OC方向上的投影相同,可得

4、OA·OC=OB·OC(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3), 即 4a+3=8+3b,4a-3b=5.答案:B7.在ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin B+asin A=csin C,c2+b2-a2=3bc,则B等于A. 3B.23C. 6D.4解析:因为c2+b2-a2=3bc,所以cos A=c2+b2-a22bc=32,所以cos A=32,A=6,因为bsin B+asin A=csin C,所以b2+a2=c2,所以C=2,B=3.答案:A8. 已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y&

5、gt;0,若ab,则log2(x-1)+log2y等于A.1B.2C.3D.4解析:ab,则x-14=2y,(x-1)y=8,log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3.答案:C9.在ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin Acos B,则ABC是A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C=a2+b2-c22ab=12,所以C=3,因为sin C=2sin Acos B,所以c=2a·a2+c2-b22ac,得a=b,所以A

6、BC是等边三角形.答案:B10.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=22,则AE·BF的值是A.3B.2C.32D.22解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=2,BC=2,点E为BC的中点,所以B(2,0),D(0,2),C(2,2),E(2,1),设F(x,2),则AF=(x,2),AB=(2,0),所以AF·AB=2x=22,所以x=12,AE=(2,1),BF=(12-2,2),所以AE·BF=2(12-2)+2=22.答案:D11.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC

7、的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于A.34B.43C.-43D.-34解析:因为2S=(a+b)2-c2,所以absin C=a2+b2-c2+2ab=2abcos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因为sin2C+cos2C=1,所以sin C=45,cos C=-35,tan C=-43.答案:C12.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量OA=a,OB=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若OC=a+b,且01,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是解析:设点C的坐标为(x,y),由题意知x=3+,y=+3,解得=3x-y8,=3y-x8,代入

8、01,解得y3x,yx,3y-x8.答案:A第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b), 则向量a与b的夹角的大小是 . 解析:因为a(a-b),所以a·a-a·b=0,cos<a,b>=12,<a,b>=3.答案:314.在ABC中,B=30°,AB=23,AC=2,则ABC的面积为. 解析:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,4=12+BC2-43×32BC,BC2-6BC+8=0,BC=

9、2或BC=4.当BC=2时,S=12·AB·BC·sin B=12×23×2×12=3,当BC=4时,S=12AB·BC·sin B=12×23×4×12=23.答案:3或2315.在ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则ABC外接圆的面积为. 解析:记ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=3,所以AC=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=7,又2R=ACsinB=7sin60°,即R=733,故

10、ABC的外接圆的面积是R2=493.答案:49316.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且AOB=23,MN是一条直径,点C在圆内且满足OC=OA+(1-)OB(0<<1),则CM·CN的最小值为. 解析:因为OC=OA+(1-)OB(0<<1),所以C在线段AB上,因为CM·CN=(OM-OC)·(ON-OC)=OC2-(OM+ON)·OC+OM·ON=OC2-4,所以当OCAB时取得最小值,(CM·CN)min=1-4=-3.答案:-3三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文

11、字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)·(2a-b)=61.(1)求a·b的值;(2)求向量a与b的夹角.解析:(1)由(2a+3b)·(2a-b)=61,得4a2+4a·b-3b2=61.又|a|=4,|b|=3,可得a·b=6.6分(2)设向量a与b的夹角为,则cos =a·b|a|b|=64×3=12,可知向量a与b的夹角为60°.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2

12、+1)b,y=-1ka+1tb.(1)若xy,求k的最大值;(2)是否存在k,t,使xy?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(-1k-2t,-2k+1t).(1)若xy,则x·y=0,即(-2t2-1)(-1k-2t)+(t2+3)(-2k+1t)=0,整理得,k=tt2+1=1t+1t12,当且仅当t=1t,即t=1时取等号,kmax=12.6分(2)假设存在正实数k,t,使xy,则(-2t2-1)(-2k+1t)-(t2+3)(-1k-2t)=0,化简得t2+1k+1t=0,即t3+t+

13、k=0.因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使xy.12分19.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-12c=acos C.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积为23,且2abcos C-bc=a2+c2,求a.解析:(1)根据正弦定理可知,b-12c=acos C可化为sin B-12sin C=sin Acos C,因为sin B=sin(A+C),所以sin(A+C)-12sin C=sin Acos C,整理可得cos Asin C=12sin C,即cos A=12,因为0<A<,所以A=3.6分(2)因

14、为2abcos C-bc=a2+c2,所以2ab·a2+b2-c22ab-bc=a2+c2,即a2+b2-c2-bc=a2+c2,得b2-2c2-bc=0,b=2c,因为SABC=23=12bcsin A=34bc,得bc=8,所以解得b=4,c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×4×2×12=12,所以a=23.12分20.(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+tanAtanB=2cb.(1)求角A;(2)若m=(0,-1),n=(cos B,2cos2C2),试求|m+n|的最小值.解析:(

15、1)1+tanAtanB=2cb1+sinAcosBsinBcosA=2sinCsinB,即sinBcosA+sinAcosBsinBcosA=2sinCsinB,所以sin(A+B)sinBcosA=2sinCsinB,cos A=12.因为0<A<,所以A=3.6分(2)m+n=(cos B,2cos2C2-1)=(cos B,cos C),所以|m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2(23-B)=1-12sin(2B-6).因为A=3,所以B+C=23,B(0,23).从而-6<2B-6<76.当sin(2B-6)=1,即B=3时,|m+n|2取

16、得最小值12.所以,|m+n|min=22.12分21.(本小题满分12分)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)BA·BC=cCB·CA.(1)求角B的大小;(2)若BA-BC=6, 求ABC面积的最大值.解析:由题意(2a-c)cos B=bcos C,根据正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),即2sin Acos B=sin A,cos B=22,所以B=4.6分(2)因为BA-BC=6,所以CA|=6,即b2=6,根

17、据余弦定理b2=6=a2+c2-2ac,有基本不等式可知6=a2+c2-2ac2ac-2ac,即ac3(2+2),所以SABC的最大值为12acsin B=3(2+2)2×22=3(22+2)4,即当a=c时,ABC的面积的最大值为3(2+1)2.12分22.(本小题满分12分)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+(其中cos =52626,0<<90°),且与点A相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由.解析:(1)由题知AB=402,AC=1013,BAC=,0<<90°,cos =52626,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos =(402)2+(1013)2-2×402×1013×52626=500,所以BC=105,所以船的行驶速度为10523=155(海里/小时).6分(2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于Q,在ABC中,由余弦定理得cos B