平面向量典型题型大全完美

1、平面向量题型1.基本概念判断正误：向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何

2、向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。例1、下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_练习1、下列命题正确的有_（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共

3、线的单位向量是唯一的。（4）若，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（5）直角坐标平面上的轴、轴都是向量。（6）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（7）若与共线， 与共线，则与共线。（8）若，则。 （9）若，则。（10）若与不共线，则与都不是零向量。（11）若，则。 （12）若与均为非零向量，则。2.给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若，都是单位向量，则. （3）向量与向量相等. （4）若非零向量与是共线向量，则，四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）3、（福建理4文8）对于向量，a 、b、c和实

4、数，下列命题中真命题是A 若，则a0或b0 B 若，则0或a0C 若，则ab或ab D 若，则bc4、（浙江理7）若非零向量满足，则（） 5.（陕西卷15）关于平面向量有下列三个命题：若，则若，则非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）题型2.向量的线性运算向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。例2（1） 化简：_；_；_ （2）若正方形的边长为1，

5、则_（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_（5）若点是的外心，且，则的内角为_练习： 1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 。2.化简 =_; =_； _ 3.已知,则的最大值和最小值分别为 、 。4.已知的和向量，且，则 ， 。5.已知点C在线段AB上，且,则 ， 。6已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD7计算：（1） （2）8.已知求与垂直的单位向量的坐标。9与向量=（12，5）平行的单位向量为 （ ）A B C D10如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则下列等式中成立的

6、有_：11.(2009山东卷理)设P是ABC所在平面内的一点，则（）A. B. C. D.12.(05年卷二)已知点，设的平分线与相交于，那么有，其中等于（ ）A.2 B. C.-3 D.13.(2006年山东卷）设向量a=(1, 3),b=(2,4),c=(1,2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( )A.(2,6) B.(2,6) C.(2,6) D.(2,6)14.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， . 图215、已知是所在平面内一点为边中点且那么（） 题型3平面向量基本定理平面向量的基本定理：

7、如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。性质：向量中三终点共线存在实数使得且.例3（1） 若，则_（2） 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （3） 已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为（4） 已知中，点在边上，且，则的值是_（5）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_练习1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. 2.（2011全国一5）在中，若点满足，则=（ ）ABCD3如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量（ ）.

8、A BC D4.如图，ABCD是梯形，AB/CD，且，M、N分别是DC和AB的中点，已知，试用和表示和5、在中已知是边上一点若则（ ）A B C D6、在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（A） （B） （C） （D）题型4向量的坐标运算例4（1）已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（2）已知，则 （3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （4）设，且，则C、D的坐标分别是_练习1.已知，则点的坐标是 。2.（2011四川卷3）设平面向量，则( )（）（）（）（）3.【2012高考广东文3】若向量，则A. B. C. D. 4【2012高考

9、广东理3】若向量=（2,3），=（4,7），则=A（-2,-4） B (3,4) C (6,10) D (-6,-10)5.已知,向量与相等，求的值。6.已知是坐标原点，且，求的坐标。7.已知梯形的顶点坐标分别为，且，求点的坐标。题型5.求数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。平面向量数量积坐标表示：的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同

10、向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；例5（1） ABC中，则_（2） 已知，与的夹角为，则等于_（3） 已知，则等于_；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（5）已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值（6）下列命题中： ； ； ； 若，则或；若则；。其中正确的是_练习1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），（3），（4）。2.已知，求（1），（2）， 3.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,1)，b = (2,x).若a ·b

11、 = 1,则x =(A) 1 (B) (C) (D)14.（2011北京卷11）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 5. ABC中，,则6、设、是单位向量且·0则的最小值为 ( )（A） （B） （C） (D)7、设的三个内角向量若则=（ ）A B C D 题型6求向量的夹角非零向量，夹角的计算公式：； 例6（1） 已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（2） 已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（3）已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小练习1.已知，求与的夹角。2.已知，求与的夹角。3.已知平面向量满足且，则的夹角为 5.已知，（1）若与的夹角为

12、钝角，求的范围；（2）若与的夹角为锐角，求的范围。6若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ）A B C D7.向量、满足（）·（2+）=4，且|=2，|=4，则与夹角的余弦值等于 。8.（2009重庆卷理）已知，则向量与向量的夹角是（ ）ABCD9.（全国卷文）设非零向量、满足，则（A）150°B）120° （C）60° （D）30°10、（湖北文9）设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|1,则b为A.(2,14)B.(2,- ) C.(-2, ) D.(2,8)11、若向量与不共线且则向量与的夹角为（ ）A0 B

13、 C D题型7.求向量的模向量的模：。两点间的距离：若，则。例7、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_；1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。2.【2012高考重庆文6】设 ，向量且 ，则（A） （B） （C） （D）3.（2011上海卷5）若向量，满足且与的夹角为，则 4. 已知,点在线段的延长线上,且,求点的坐标5已知与，要使最小，则实数的值为_。6.已知向量，,则（A） (B) (C) 5 (D) 257已知向量，向量，则的最大值是 8.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |（A） （B）2 （C）4 （D）129.（全国卷理）

14、设、是单位向量，且·0，则的最小值为 ( D )（A） （B） （C） (D)10.（江西卷）已知向量，则的最大值为11.（全国II）已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若ab，求；（）求ab的最大值12、设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于13、. 已知是单位向量，.若向量满足A B C D题型8投影问题在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。例：已知，且，则向量在向量上的投影为_1 已知，的夹角，则向量在向量上的投影为 3关于且，有下列几种说法： ； ； 在方向上的投影等于在方向上的投影 ；其中正确的个数是 （ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个

15、 （D）1个5若=，=，则在上的投影为_。6、.已知点A（1，1）、B（1,2）、C（2,1）、D（3,4），则向量在方向上的投影为题型9.向量的平行与垂直向量平行(共线)的充要条件：0。向量垂直的充要条件： 例9(1) 若向量，当_时与共线且方向相同 （2）已知，且，则x_ （3）设，则k_时，A,B,C共线 （4)已知，若，则 （5）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （6）已知向量，且，则的坐标是_练习1.已知，当为何值时，（1）？（2）？2.（广东卷3）已知平面向量，且/，则（ ）A、 B、 C、 D、3.（2011海南卷5）已知平面向量=（1，3

16、），=（4，2），与垂直，则是（ ） A. 1 B. 1C. 2D. 24已知,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？5.已知，求证：三点共线。6如果，求证，三点共线 7.设是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值.8.已知向量，（1）求证： 2）是否存在不为0的实数和，使 ，且？如果存在，试确定与的关系；如果不存在，请说明理由10、【2012高考陕西文7】设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ） A B C .0 D.-111设，且，则锐角为（ ）A B C D12.（2011广东卷理）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值； （2）若，求

17、的值 13、平面向量，共线的充要条件是（ ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，14对于非零向量“”是“”的【 A 】A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件15.（宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为（A） （B） （C） （D）16.（江西卷）已知向量， ，若 则= 17.（江西卷理）已知向量，若，则= 18.（重庆卷）已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D219、. 在四边形中，,则该四边形的面积为（ ）A. B. C.5 D.10 20、已知点A B C D题型10平面向量与三

18、角形四心 四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。结论1为的重心；若，则其重心的坐标为结论2为的垂心；结论3设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；结论4为的外心。例10.若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_例11：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的

19、轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心例12：（全国卷理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ B ）A外心 B内心 C重心 D垂心例13：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上

20、一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 7（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知三个顶点，若，则为（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形AGEFCBD9 如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示。 10.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（ ）（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）

21、外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心11已知非零向量则ABC为（ ）A等边三角形B等腰非直角三角形C非等腰三角形D等腰直角三角形12. 点P满足, 当在(0, +)变化时, 动点P的轨迹一定过ABC的_心13.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学则科等于（A） （B） （C） (D) 14、（全国2理12）设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C) 4 (D) 3题型11建系法1、.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，

22、则+= _。2.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD3、若等边的边长为平面内一点满足则_4、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b，若b·c=0，则t=_.5、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_.6、已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为 7、设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为 8、设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则A. B. C. D.9、向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则_。10、在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB

23、的长为 .最新高考题集锦 1、2014·辽宁卷 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b0，b·c0，则a·c0，命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是()Apq Bpq C(p)(q) Dp(q)22014·新课标全国卷 已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为32014·四川卷 平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m() A2 B1 C1 D242014·重庆卷 已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()

24、A B0 C3 D.52014·福建卷 在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2) Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10) De1(2，3)，e2(2，3)6、2014·山东卷 已知向量a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数f(x)a·b，且yf(x)的图像过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图像向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图像，若yg(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间72014·陕西卷 设0<<，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _8、2014·陕西卷 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值92014·北京卷 已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_102014·湖北卷 设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_112014·江西