全等三角形中辅助线地添加

1、实用标准文档全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二.知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接；(2)作平行线：过点作/；(3)作垂线(作高)：过点作!，垂足为；(4)作中线：取中点，连接；(5)延长并截取线段：延长使等于；(6)截取等长线段：在上截取，使等于；(7)作角平分线：作平分；作角等于已知角；(8)作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1)倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段)，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三

2、角形。(2)截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部 分等于另一条较短线段， 然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题("K'字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。(4)角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：

3、用旋转构造三角形全等。(6)构造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC边中线E方式1: 延长 AD到E,使DE=AD连接BE文案大全AE方式2:间接倍长，作 CF，AD于F,作B已AD的延长线于 E,连接BE方式3: 延长 MDiij N,使DN=MD连接CD(2)由 AB/BCDI 出由AB® BCD导出由 AB段 BCDI出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CDED=AE-CD(3)角分线，分两边，对称全等要

4、记全 角分线+垂线，等腰三角形必呈现(三线合一)(4)旋转:方法：延长其中一个补角的线段（延长CM E,使 ED=BM 连 AE延长 CB至ij F,使 FB=DN,连 AF )结论： MN=BM+DNC CMN =2ABAM AN分另I平分/ BMNf口 / DNM翻折:AN思路：分别将 AB林口 ADNA AMD AN为对称轴翻折，但一定要证明 M P、N三点共线.（/ B+/ D=1800且AB=AD（5）手拉手模型ABE ACF均为等边三角形结论：（1） ABFAAECC （2） / B0E=/ BAE=60 （“八字型”模型证明）；（3） OA平分/ EOF 拓展：D条件： ABCW

5、CDE匀为等边三角形结论：(1)、AD=BE (2)、/ACBhAOB (3)、 PC则等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、。0¥分/八0£(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7) , (8)需构造等边三角形证明)、ABD ACE匀为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD (2) BE! CDABE环口 ACH的为正方形结论：(1)、BD± CF (2)、BD=CF变形一：ABE丽 ACH的为正方形， AS! BC交FD于T,求证：T为FD的中点.SaBC =SaDF.方法一:方法1/E方法三:变形二：ABE林口 ACH的为正

6、方形，M为FD的中点，求证：AN!BC180360当以AB AC为边构造正多边形时，总有:Z1 = Z2=n四、典型例题:实用标准文档考点一：倍长中线（或类中线）法:核心母题已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是文案大全1、如图,练习: ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.2、如图, ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.3、如图，CE CB分另1是4 ABd4ADC的中线，且/ ACBhABC求证：CD=2CEAF=BC+FC.4、已知：如图，在正方形 ABCD中，E是BC

7、的中点，点F在CD上，/ FAE= / BAE.求证：5、如图，D是AB的中点，/ ACB=90，求证：2CD=AB.实用标准文档文案大全DE交 BC于 F,且 DF=EF 求证：BD=CE7、已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EE6、已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延长线上,DE=EC 过 D作 DF / BA交 AE于点 F, DF=AC.8、已知：如图，在 AABC中，AB#AC, D> E在BC上，且求证：AE平分/BAC 。9、以MBC的两边AB A腰分别向外作等腰Rt MBD和等腰Rt M

8、CE , -BAD =CAE =90：连接DE MN另J是BC DE勺中点.探究：AMf D的位置关系及数量关系.(1)如图 当 MBC为直角三角形时，AhMT DEE勺位置关系是 ,线段AM? DEE勺数量关系(2)将图中的等腰 Rt MBD绕点A沿逆时针方向旋转9 (0<九90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结 论是否发生改变？并说明理由.010、已知： ABC八口端两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC DA=DE联结EC取EC的中点 M联结 BM口 DM(1)如图1,如果点D E分别在边AC AB上，那么BM DM勺数量关系与位置关系是(2)将图1中的 ADE点A旋转到图

9、2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.变式1:已知：在 RtABC中,AB=BC在 RtADE中，AD=DE连结 EC,取EC的中点 M,连结 口风口 BM(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索 BM DM的关系并给予证明；(2)如果将图中的 AD遴点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不 成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图图变式:2 :已知： ABCADEtB是等腰直角三角形，/ AB(=/ADE90° ,点M是CE的中点，连接 BM (1)如图，点D在AEL匕连接DM并延长Dg BC于点

10、N,可探究得出BD与BM勺数量关系为 (2)如图，点D不在AB上，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由 变式3：四边形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形， NBEF =90，BE = EF ,连接DF , G为DF的中点，连接EG, CG , EC。EC(1)如图24-1 ,若点E在CB边的延长线上，直接写出 EG与GC的位置关系及 EC的值；GC(2)将图24-1中的ABEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；AB = 72,当 E, F, D 三(3)将图24-1中的iBE

11、F绕点B顺时针旋转a ( 0°< 90 口)，若BE = 1 ,点共线时，求DF的长及/ ABF的度数。备用图考点二：截长补短法：核心母题如图，AD/ BC, EA, EB分另I平分/ DAB, / CBA, CD±点E,求证：AB=AD+BC.练习: 如图a, ABC CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点线段AF和BE有怎样的大小关系 ？青证明你的结论;(2)G连接AF和BE.将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;、已知：如图,AABC是等边三角形，/ BDC = 120。,求证：AD = B

12、D CD .、已知四边形ABCD 中，AB= BC, /ABC =60。BD上一点，且/APD =120 °,求证：PA PD PC = BD2、在 ABC中，/BAC=60 , / C=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ实用标准文档3、如图，在ZABC中，/ABC =60。，AD, CE分另1J为/BAC,/ACB的平分线，求证： AC=AE+CD4、如图，在 ABC中，AB=AC D是 ABC外一点，且/ ABD=60 , / ACD=60 求证：BD+DC=AB5、已知：如图在 ABC中，A

13、B=AC D为 ABC外一点，/ ABD=60,/ ADB=90 - - /BDC 求证：AB=BDF DC2核心母题考点三：一线三等角问题（"K”字图）已知：如图，在 RtABC中，/ BAC=90 , AB=AC D是 BC边上一点，/ ADE=45 , AD=DE 求证：BD=EC.练习：1、已知：如图，在矩形 ABCD中，E、F分另1J是边BC、AB上 的点，且EF=ED, EF± ED.求证：AE平分 / BAD.文案大全实用标准文档2、两个全等的含30° , 60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E, A, C三点在一条直 线上，

14、连接BD,取BD的中点M,连接ME, MC 试判断 EMC的形状，并说明理由.文案大全3、如图，在AABC中,/ACB =90? AC = BC ,直线 MN 经过点 C,且 AD _L MN 于点 D, BE _L MN 于点E。(1)当直线 MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证： DE=AD+BE(2)当直线 MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证： DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问：DE, AD, BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并 加以证明。4、如图所示，AE± AB, BC± CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G

15、 C、H在同一直线上，如 按照图中所标 注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图 1,直线11/ 12/13 , 11与12之间的距离是1, 12与13之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形 ABC使三个顶点分别在直线 11、12、13上，并求出所画等腰直角三角形ABCW面积.liI2I3小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线li任取一点A,作ADL 12于点D,作/ DAH90。：在AH上截取AE=AD过点E作E9AE交13于点B,连接AB

16、,作/ BA(=90 ,交直线1 2于点C,连接BC即可得 到等腰直角三角形 ABC请你回答：图2中等腰直角三角形 ABC勺面积等于 .参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3,直线li/I2/l3, l i与12之间的距离是2, 12与13之间的距离是1,试画出一个等边三角形 ABC使 三个顶点分别在直线li、12、|3上，并直接写出所画等边三角形ABC勺面积(保留画图痕迹).li li12121313图3图3P (5,5 )处，两条直角边与坐标轴分别交于点AOA+0B的值或取值范围;7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在 和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上

17、运动时，试探究(2)点A在x轴正半轴上运动，点 B在y轴负半轴上时，试探究 OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。<09、已知：在平面直角坐标系中，等腰直角4ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且/ ACB=90 ° , AC=BC.(1)如图1,当A(0, -2), C(1, 0),点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动，点 A(0, a)在y轴正半轴上运动，点 B(m, n)在第 四象限时，作BD± y轴于点D,试判断a, m, n之间的关系，请证明你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在 MBC 中，A

18、B a AC , 求证：AB -AC >PB -PC .AD是/BAC的平分线.P是AD上任意一点.2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边./ B的角平分线交AC于D,过 C作CE与BD垂直且交BD 延长线于E,求证：BD=2CE.3、如图， ABC的边BC的中垂线 DF交ABAC的外角平分线 AD于D, F为垂足，DE! AB于E,且AB> AC求证: BE-AC=AE练习1、如图所示，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分线， P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB + PC与 AB +AC的大小，并说明理由.2、如图所示：/ ABC的平分线BF与 ABC中/ ACB的

19、相邻外角/ ACG的平分线CF相交于点F,过F作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.问：(1)写出图中的等腰三角形并说明理由.(2)若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的长.3、在 ABC 中，AB =2AC,AD 平分/BAC, E 是 AD 中点，连结 CE ,求证：BD = 2CE4、如图， ABC 中，/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、AD± BE 于 D,求证： (1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.实用标准文档A5、如图，在 ABC中，AB> AC, E为BC边的中点，AD为/ BAC的平分线，过 E作AD的平行线

20、，交 AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.G文案大全变式一：如图，在 MBC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F ,交AB 于 点G ,若BG =CF，求证：AD为ZBAC的角平分线.变式二：已知： ABC中，AD是 ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作 MIN/ AD,交 AC于点 N ,求证：AN+AB=NC.变式三：在 ABC, AD是ABC勺角平分线.(1)如图1,过C作CE/ AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连结 AF,求证：AF± AD(2)如图2, M为BC的中点，过 M作MIN/ AD交AC于点N,

21、若AB=4, AC=7,求NC的长.文案大全6、如图，已知 ABC中，AB= AC, Z A= 100° , / B的平分线交 AC于D,求证：AD+ BD= BC7、如图，在 ABC中，ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分线交 AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分 线上。8、如图1,在 ABC中，/ ACB=2Z B, / BAC的平分线 AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过点 H作直线l ±AO于H,分别交直线 AR AG BC于点N、E、M(1)当直线l经过点C时(如图2),证明：BN=CD(2)当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等

22、量关系，并加以证明;(3)请直接写出BZ CE CD之间的等量关系.9、如图所示，在 ABC中，/ ABC=3/ C, AD是/ BAC的平分线，BEX AD于F,求证：2BE=AC-AB变式：如图，已知在 MBC 中，/ABC =3/C , /1=/2, BE_LAE.求证： AC_AB=2BE10、如图所示，在 MBC 中，AD 平分 /BAC , AD=AB, CM _L AD 于 M ,求证 AB + AC = 2AM .变式一：如图/ 1=/2, B为 AC中点，CML FB于 M, AN FB于 N,求证： EF=2BM FB= ( FM+FNA变式二：如图，在 ODC中，2D=9

23、00, EC是/DCO的角平分线，且OE ± CE，过点E作EF _LOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明 文案大全实用标准文档变式三：如图所示，在 ABC中，AO AB, M为BC的中点，AD是/ BAC的平分线，若 CF，AD且交AD的延长线于一 ，、一 一 1 ， 一 一F,求证：MF (ACAB)。2A考点五：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题如图，在正方形ABCD43,E、F分别是BGCD力上的点，/EAF=45,求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD勺边BG CD上的点，若4ECF的周长是2,求/ E

24、AF的度数？变式二：如图，在正方形 ABCD43, E F分别是BG CDi上的点，/ EAQ=45 , AHL EF,求证：AH=AB.综合：在正方形 ABCD若 M N分别在边BC CD上移动，且满足 MN=BM+DN求证：./MAN45 -.CCMN =2AB .AM AN 分别平分 / BM阚 / DNM.练习1、如图，在四边形 ABCD43, AB=BCZ A=ZC=90° , / B=135° , K N分别是AR BC上的点，若 BKN的周长是AB的2倍，求/ KDN的度数?D2、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45° , / MAN绕点A顺时针

25、旋转，它的两边分别交CB、DC （或它文案大全实用标准文档们的延长线)于点Mk N.当/MAN绕点 A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN(1 )当/ MAN绕点A旋转到BMW DN时(如图2),线段BMk DN和MN之间有怎样的数量关系？写出 猜想，并加以证明；(2)当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接 写出你的猜想.文案大全3、如图，在四边形 ABCD43, AB=AD, / B+Z D=180° , E、F 分别是边 BG CD 上的点，且 2/EAF=Z BAD(1)求证：EF=BE+FD(2)如果E、F分别是边BC CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。55、如图所示，在五边形 ABCD即,AB=AE BC+DE=CD/ ABC吆AED=180求证：AD平分/ CDE.6、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=Z AED=90 ° , 求五边形 ABCDE 的面积.实用标准文档C7、如图1 .在四边形ABCD中.AB=AD, / B+Z D=180 ° , E、F分别是边BC、CD上的点，且/ BAD=2 / EAF.(1)求证：EF=BE+DF;(2)在(1)问中，若将4AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F