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文档简介
1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容:全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二.知识要点:1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段:连接;(2)作平行线:过点作/;(3)作垂线(作高):过点作!,垂足为;(4)作中线:取中点,连接;(5)延长并截取线段:延长使等于;(6)截取等长线段:在上截取,使等于;(7)作角平分线:作平分;作角等于已知角;(8)作一个角等于已知角:作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法:(1)倍长中线(或类中线)法:若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。(2)
2、截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。截长:在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;补短:将一条较短线段延长,延长部 分等于另一条较短线段, 然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题("K'字图、弦图、三垂图):两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。(4)角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法:用旋转构造三
3、角形全等。(6)构造特殊三角形:主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型:(1) ABC中AD是BC边中线19方式1: 延长AD到E,使DE=AD连接BEE方式2:间接倍长,作CHAD于F,作BEX AD的延长线于E,连接BEN方式3: 延长 MDiij N,使DN=MD连接CD(2)由 AB段 BCDI出由 AB/BCDI 出BC=BE+ED=AB+CD由AB® BCD导出ED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分线,分两边,对称全等要记全 角分线+垂线,等
4、腰三角形必呈现(三线合一)(4)旋转:方法:延长其中一个补角的线段(延长C E,使ED=BM 连AE或延长 CB至iJ F,使FB=DN,连AF )结论: MN=BM+DNC CMN =2ABAM AN分另I平分/ BMNf口 / DNM翻折:N0 .思路:分别将 AB林口 ADNA AMD AN为对称轴翻折,但一定要证明 M P、N三点共线.(/ B+/ D=180且AB=AD(5)手拉手模型ABE ACF均为等边三角形结论:(1) ABFAAE(C (2) Z B0E=Z BAE=60 (“八字型”模型证明);(3) OA平分/ EOF 拓展:D条件: ABCCDE匀为等边三角形结论:(1
5、)、AD=BE (2)、/ACBh AOB (3)、 PCQ等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、。0¥分/八0£(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7) , (8)需构造等边三角形证明)、ABD ACE匀为等腰直角三角形结论:(1)、BE=CD (2) BE! CD 四、典型例题:考点一:倍长中线(或类中线)法: 核心母题 已知,如图 ABC中,AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是 练习:1、如图, ABC中,E、F分别在 AB AC上,DEI DF, D是中点,试比较 BE+CF与EF的大小.2、如图, ABC中,BD=DC=
6、ACE是DC的中点,求证: AD平分/ BAE.3、如图,CE CB分另1是4 ABd4ADC的中线,且/ ACBhABC求证:CD=2CE4、已知:如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F 在 CD上,/ FAE=Z BAE,求证:AF=BC+FC.5、如图,D是AB的中点,/ ACB=90,求证:2CD=AB.DE交 BC于 F,且 DF=EF 求证:BD=CE6、已知在 ABC中,AB=AC D在AB上,E在AC的延长线上,A7、已知在 ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且 BE=AC延长BE交AC于F,求证:AF=EE8、已知:如图,在 AABC中,AB#AC, D
7、> E在BC上,且DE=EC过D作DF BA交AE于点F, DF=AC.求证:AE平分ZBAC 。考点二:截长补短法:核心母题如图,AD/ BC, EA, EB分另I平分/ DAB, / CBA, CD±点E,求证:AB=AD+BC.练习:1、如图a, ABCD CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.线段AF和BE有怎样的大小关系 ?青证明你的结论;(2)将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度,得到图 b, (1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;、已知:如图, AABC是等边三角形, /BDC =120 口,求证:AD = BD+CD.、已
8、知四边形ABCD中,AB=BC, /ABC =60口。, P为四边形 ABCD的对角线 BD上一点,且ZAPD =120口,求证:PA + PD+PC = BD2、在 ABC中,/BAC=60 , / C=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求证:AB+BP=BQ+AQ3、如图,在 MBC 中,/ABC =60。,AD, CE分另为 /BAC,/ACB 的平分线,求证:AC=AE+CD4、如图,在 ABC中,AB=AC D是 ABC外一点,且/ ABD=60 , / ACD=60 求证:BD+DC=AB5、已知:如图在 ABC中,AB=
9、AC D为 ABC外一点,A ABD=60 , / ADB=90 - / BDC 求证:AB=BDF DC2考点三:一线三等角问题(“K”字图)1、已知:如图,在 RtABC中,/ BAC=90 , AB=AC D是 BC边上一点,/ ADE=45 , AD=DE 求证:BD=EC.角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E, A, C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME, MC 试判断 EMC的形状,并说明理由.3、如图,在AABC 中,NACB =90 三 AC =BC ,直线MN经过点C,且AD _L MN于点D, BE 1 MN于点E。(1)当直线 MN绕点C旋转到图(1
10、)的位置时,求证: DE=AD+BE(2)当直线 MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证: DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问:DE, AD, BE有怎样的等量关系?请写出等量关系,并 加以证明。N4、如图所示,AE± AB, BC± CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G C、H在同一直线上,如 按照图中所标 注的数据及符号,则图中实线所围成的图形面积是?5、如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时,试探究P (5,5 )处,两条直角边与坐标轴分别交于点OA+0B的
11、值或取值范围;(2)点A在x轴正半轴上运动,点 B在y轴负半轴上时,试探究 OA-OB的值或取值范围,直接写出结果。6、已知:在平面直角坐标系中,等腰直角4ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上,且/ ACB=90 ° , AC=BC.(1)如图1,当A(0, -2), C(1, 0),点B在第四象限时,先写出点B的坐标,并说明理由.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动,点 A(0, a)在y轴正半轴上运动,点 B(m, n)在第 四象限时,作BD± y轴于点D,试判断a, m, n之间的关系,请证明你的结论.考点四:角平分线、中垂线法核心母题1、在 MBC中,AB >
12、AC , AD是/BAC的平分线. P是AD上任意一点.求证:ABAC>PBPC.2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边./ B的角平分线交AC于D,过 C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证:BD=2CE.3、如图, ABC的边BC的中垂线 DF交ABAC的外角平分线 AD于D, F为垂足,DE! AB于E,且AB> AC求证: BE-AC=AE练习1、如图所示,在 MBC中,AD是/BAC的外角平分线, P是AD上异于点A的任意一点,试比较 PB + PC与 AB +AC的大小,并说明理由.2、如图所示:/ ABC的平分线BF与 ABC中/ ACB的相邻外角/ ACG的
13、平分线CF相交于点F,过F 作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.问:(1)写出图中的等腰三角形并说明理由.(2)若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的长.3、在 ABC 中,AB =2AC,AD 平分 NBAC, E 是 AD 中点,连结 CE ,求证:BD = 2CE4、如图, ABC 中,/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、AD± BE 于 D,求证: (1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如图,在 ABC中,AB> AC, E为BC边的中点,AD为/ BAC的平分线,过 E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于
14、G.求证:BF=CG.变式一:如图,在 AABC中,AD交BC于点D ,点E是BC中点,EF II AD交CA的延长线于点 F ,交AB 于 点G ,若BG =CF,求证:AD为ZBAC的角平分线.变式二:已知:4ABC中,AD是 ABC的角平分线,M为BC的中点,过点M作 MN AD,交AC于点N,求证:AN+AB=NC.变式三:在 ABC, AD是ABC勺角平分线.(1)如图1,过C作C日AD交BA延长线于点 E,若F为CE的中点,连结 AF,求证:AF± AD(2)如图2, 求NC的长.M为BC的中点,过 M作MIN/ AD交AC于点N,若AB=4, AC=7,C6、如图,已知
15、 ABC中,AB= AC, / A= 100° , / B的平分线交 求证:AD+ BD= BC7、如图,在 ABC中,ADL BC于D, CD= AB+ BD, / B的平分线交 AC于点E,求证:点 E恰好在BC的垂直平分 线上。8、如图1,在ABC中,/ ACB=2Z B,/BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l ±AO于H,分别交直线 AR AG BC于点N、E、M(1)当直线l经过点C时(如图2),证明:BN=CD(2)当M是BC中点时,写出 CE和CD之间的等量关系,并加以证明;(3)请直接写出BZ CE CD之间的等量关系.9、如图
16、所示,在 ABC中,/ ABC=3/ C, AD是/ BAC的平分线,BEX AD于F,求证:2BE=AC-AB变式:如图,已知在 MBC中,/ABC=3/C, /1=/2,BE_LAE.求证: ACAB=2BE10、如图所示,在 MBC中,AD平分ZBAC , AD =AB ,CM _L AD 于 M ,求证 AB + AC = 2AM .A考点五:角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题如图,在正方形 ABCM, E、F分别是BC CD力上的点,/ EAF=45 ,求证:EF=BE+DF.变式一:如图,E、F分别是边长为1的正方形ABCD勺边BC CD上的点,若4ECF的周长是2
17、,求/ EAF的度数?变式二:如图,在正方形ABCD43, E F 分别是 BC CDi上的点,/ EAQ=45 , AHL EF,求证:AH=AB.综合:在正方形 ABCDK 若 M N分别在边BC CD上移动,且满足 MN=BMDN 求证:./MAN45.CMN =2AB从乂 an分别平分/ BM阚/ DNM.练习1、如图,在四边形 ABCD43, AB=BCZ A=ZC=90° , / B=135° , K N分别是AR BC上的点,若 BKN的周长是AB的2倍,求/ KDN的度数?BrI)求证:AD平分/ CDE.2、如图所示,在五边形 ABCD即,AB=AE BC+DE=C>D/ ABC吆 AED=1803、如图,已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=Z AED=90 ° , 求五边形 ABCDE 的面积.4、如图1 .在四边形 ABCD中.AB=AD, Z B+Z D=180 ° , E、F分别是边BC、CD上的点,且/ BAD=2 / EAF.(1)求证:EF
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