圆锥曲线专题复习与训练经典好

1、学习必备欢迎下载高考数学专题复圆锥曲线专题复习与训练常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练【高考命题特点】圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。1 .从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。2 .从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方 程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。3 .从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能 力。分析问题和解决问题的能力及运算能力。-、圆锥曲线的常用性质22.关于椭圆x2+4=1 （a>b>0）的补充性质（常在解题中遇到）： a b_ .

2、.2b2 经过焦点Fi或F2的椭圆的弦AB,当AB，x轴时，|AB|最短，且ABmin=a 过焦点的直线交椭圆于P、Q两点，点M是后由上一定点，则当PQx轴时，AMPQ 的面积最大。 设右（左）准线与x轴交于点E,过E点的直线与椭圆交于P, Q两点，点P'与点P关于x轴对称，则直线PQ 一定过椭圆的右（左）焦点F。一般地，设P、Q是椭圆上两动点，直线 PQ交x轴于点E（x1 ,0），点P与点P关于x轴对称，直线PQ交x轴于点F（x2 ,0）,则x1x2 = a2为定值。 设点P是椭圆右（左）准线上任一点（不在x轴上），A、A2是椭圆的左、右顶点，直线AiP , A2P与椭圆分别交于M、

3、N两点，则直线MN 一定过椭圆的右（左）焦点。 反之，过椭圆右（左）焦点 F的直线交椭圆于M、N两点，则直线AM、an的交点p在椭圆的右（左）准线上。设A、A是椭圆的左、右顶点，Bi、B2是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于顶b 、点的任一点，则 kpA1 1 kPA2 - kpB1，kpB2 = - -2为7E值。a般地，设过椭圆中心的直线交椭圆于 M、N两点，P是椭圆上异于M、N一一.b2 2.双曲线 勺一4=1 （a >0, b>0）的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）： a b、一的任一点，则kpM ,kpN = - -2为7E值。a 存在以坐标原点O为圆心的圆，使得圆的任一

4、切线与椭圆交于 p, Q两点，满足2, 2OpOQ,且圆的方程为x2 + y2=-a2；反之，若OpOQ,则。点到直线 a bpq的距离为定值,ab ° ,a2 b2.当kpQ = ±色时，|PQ取得最大值Ja2+ b2 ;当kpQ = 0或PQ，x轴时，|PQ|取得最小值a2ab a2 b2平行于渐近线（斜率为士b）的任一条直线与双曲线有唯一交点 a 设ABCD是椭圆的内接矩形，则矩形 ABCD的最大面积为2ab.已知点p在椭圆上，设-ipF2- ,则焦点三角形呻2的面积S = b2ta6。,若直线只与双曲若斜率为k的直线与双曲线的两支各交于一点， 则-线的同一支相交于两

5、点，则k <-2或k>-（在 > 0的前提下，反之也成立）. aa。_ a 2b2双曲线上任一点到两条渐近线的距离的乘积为定值E2b2.当焦点弦AB，x轴时，|AB =2匕 是同一支上所有焦点弦中的最短者。a ,在焦点三角形lPH中，设工,则焦点三角形pFiF2的面积S=濯设P是双曲线右(左)支上任一点，则PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右(左)顶点。2 222双曲线2 - 2-2 =1 (a > 0, b > 0 )和4 一二=1(a>0, b > 0)称为共钝双曲线 a bb a共钝双曲线的性质：渐近线相同； 二+工=1ei e23 .抛物

6、线的常用性质(常在解题中遇到)： A, O, B1三点共线；A, O, B三点共线以AB为直径的圆与直线l相切。以ABi为直径的圆过焦点F oA(x1 , y1) , B(x2 , y2),则 x1x2 = m2 , y1y2 = -2pm (定值)。(抛物线的切线)设A(x, y,), B(x2 , 丫2)(22<0)是抛物线x2 = 2py(pA0)上两动点，分别过A、B两点作抛物线的切线相交于点 M（x0 , y0）,则有: 切线AM、BM的方程分别为：y =2XiX2、y x 2pp2旦O2p切线的交点坐标为:xix2x0 =2x- y 02Px1x2M -122x1x2 

7、9;直线AB的斜率为：kAB= 。ABp若直线AB与y轴交于点P（0 , a）,贝U M (x0 , -a)。二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。1 .求圆锥曲线的标准方程先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于 a、b、c的 方程组），求出待定参数。在解方程（组）求 a, b时，要注意考题中经常出现 的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察一一猜想一一验证，得 出a, b的值。2 .求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找 a、b、c之间的等量关系，

8、求出c的值。在椭圆中，有：e=-=ji- j ;在双曲线中，有：e=，= 1 1+ - 1。aa v la，a N 'a，能求出b,也就求得了离心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。 a求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找a、b、c之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线 中 几个常用的不等关系： 圆锥曲线上点的坐标的范围； 在椭圆中，有 / F1BF2之/ F1PF2 ,（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点） a-c<|PFi |<a + c （i = 1 ,2）;在双曲线中，有|PF| >|AF| （其

9、中F为焦点，P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。 如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。3 .在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小），通常用向量法。例如， 已知直线与圆锥曲线交于 A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关T T系，只需确定jAPB的大小，通过计算PA-PB,确定其符号。4 .证明定点，定值，定直线问题可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探 求，然后证明当参数变化时，结论成立。证明直线过定点，有两种思路

10、： 求出满足条件的动直线方程（只含一个参 数），再根据方程求出定点；先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设 动直线与 x轴交于点（m , 0）,把坐标表示出来，表示式中，往往会含有 x1+x2, X1X2 （或y1 + y2,必丫2）,用所求得的结果代入，就可得出坐标为定值。证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的 性质，将问题进行转化。5 .直线与圆锥曲线的位置关系问题这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题处理问题的基本方法有两种：（1）联立方程法：解题步骤是：先设交点A（x1, yi）, B（X2, 丫

11、2）,再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线方程构成方程组，消元，求X1 + X2, X1X2,（或必+ 丫2, VivQ,令2>0 （如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步），再根据 问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。（2）点差法：设交点为A（xi, y） Bfe y2）及AB的中点M（%, y0），将A、B 两点的坐标代人圆锥曲线方程，作差变形，可得："” = f（xo, y。），即kAB=f优，y。），¥ -x2再由题设条件，求中点坐标 M（x。，y。），根据问题的条件和要求列式。值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这

12、种的策略，若直线过x轴上的定点P（a, 0）,则直线方程可设为ky=x-a （此直线不 包括x轴），联立方程，消去x,得到关于y的方程，求出y + y2, yy2备用。有 时，还要根据y1十y2, y1y2,求出x1十x2, x1x2。若直线过y轴上的定点Q（0, b）, 则直线方程可设为y = kx + b （此直线不包括y轴），联立方程，消去v。对于直线y = kx + m,无特殊交代时，通常注意分两种情况：直线的斜率存在，消元后，注意0 >0;直线的斜率不存在，即直线为x=t（l R）。在涉及到弦的中点及斜率时，求参数（如直线的斜率 k）的取值范围，通常采 用点差法。6 .最值问题

13、这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距 离）、面积、坐标（或截距）、向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：（1）利用基本不等式；（2）考察函数的单调性；（3）利用导数法；（4）利用判别式法。在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基 本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次 方程，禾1J用之0。7 .求参数的取值范围问题这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变

14、量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。具体解法如下：(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。(2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径： 已知不等式(含基本不等式)；直线与圆锥曲线相交时，有 0>0;点与 圆锥曲线(以椭圆最为多见)的位置关系； 圆锥曲线(特别是椭圆)上点的坐 标的范围。(3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作 为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。(4)利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件

15、，并进行巧妙的构思。(5)结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数0简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如 最值、范围等问题。(6)构造一个二次方程，利用判别式之0。8 .求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点 条件立式T坐标代换T化简方程T查漏除杂。此外还有定义法(主要是利用圆锥 曲线的定义)，相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常 从几何角

16、度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所 满足的条件，而是给出了与动点相关的点所满足的条件， 先设动点坐标为(x, y), 再把相关点的坐标用动点的坐标来表示，根据相关点的条件列式，此即为相关点 法；参数法是求轨迹方程常用的方法，合理引入参数(通常是相关点的坐标)列 式，消去参数得到关于x , y的方程，要求所列方程的数目要比引入的参数多一个， 才能消去所有参数。三.圆锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例：解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用X#X2, X1X2或yi+y2, y

17、iy2来表示，往往又是打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的坐标表示：设斜率为k的直线l与圆锥曲线C交于两点A(x1, y1), B(x2, y2),联立方程， 可求出 x1+x2, x1x2,以及 乂 + 丫2， NN2。(1)弦AB的中点：弦AB的中点坐标可表示为 M (f,仍铲)(2)弦AB的垂直平分线过定点P(a , b)或IpaI=IpbI :弦AB的垂直平分线方程为：y-之口2 = -fx-立兹。2 k I 2 J弦AB的垂直平分线过定点P(a , b),则有：,yy 1 'k + X2b -= 一 一 a 2 八 2)(3)点M(%, y0)与以AB为直径的圆的位置关

18、系， 判断MA MB的符号：2AMB为锐角点在圆外MA MB=o =T TMA MB o =T/AMB为直角NAMB为钝角点在圆上，点在圆内其中 MA MB =Xi-xoX2-xoyi- yoy2-yo22=x1x2 - x0(xi x2) xo丫2 - yo(yi 2 y。(4)垂直问题：如 MA，MB ,则有：MA MB = (x1 x0 M x2 x0)+( y1 - y0 乂 y2 y0 )= 0(5) A、B两点关于直线y=mx+n对称:1 y1+y2x1十x2,(其中k为直线AB的斜率)1 2 二 m X1 X2一 Xc k2若CD垂直平分AB,则圆心G是CD的中点，且有|gaI

19、=CD L2 n2 2关于圆锥曲线上两点关于某条直线对称的问题，一般涉及到弦的斜率和中点，所以常采用 点差法”，用点差法处理问题时，对于不同的圆锥曲线，有不同的表示2222方法：当圆锥曲线分别为椭圆抛物线y2 = 2px三十七=1、双曲线等-4=1、a ba b时，k的表示式有以下三种形式：卜二"2二-耳，二二无 (椭圆)；k = Y二女=b2，三斗 (双曲线)；x1 -x2a y1 y2x1 -x2 a y< V2k ="二臣=上一(抛物线)X - x2 y1 y2(6)弦长问题:当直线AB:y = kx + b时：AB| =。1 + k2 |x1 - x2| =，

20、1 + k2x1 + x2 )2 - 4x1x2当直线 AB:x= ky+a时：|ab| = -1 十 k2 |y1 - y2| =。1 + k2y1 + y2 )2 - 4yly2(7)三角形的面积：(d是点到直线AB的距离)MNW _*2|或$ =其中M、N为x轴上两定点,MN为定长(8)三点共线问题:遇三点共线问题，常利用斜率相等列方程。设 M(X0, y0),若 A, M, B 共线，则 0a - b =一 II = 0X1 - X0X2 - X0利用直线方程将y1, y2换成x1, x2 (或将x1, x2换成y1, y2),通分后令分子为0,可使所得方程中仅含有为十X2, x/2

21、(或仅含有y1 + y2, y1y2)。(9) 4abc为正三角形：点C在AB的垂直平分线上，且满足 CM =3|AB|,其中M为AB的中点。由点C在AB的垂直平分线上可得：yc -之口* 1 2 = - -2 kXcX1 + X22又 CM "J Xc -x1x22v - y1y2yC2、2,I AB =小1+ k2，("飞)2-4济,yy2yc -2这样就把问题与韦达定理联系起来了。【高考真题、模拟题解析】【例11 (2010安徽)椭圆E经过点A (2, 3),对称轴为坐标轴，焦点 尸1下2在*轴上，离心率e= 12(1)求椭圆E的方程；(2)求DF1AF2的角平分线所

22、在直线的方程。22【解】(1)设椭圆E的方程为与+当=1 (a>b>0) a b由 e =1,即=,a = 2c ,得：b2 = a2 c2 = 3c2,： 2 a 222椭圆方程形式“ 2 y 2 = 14c2 3c213将A (2 , 3)代入上式，得：三+w = 1 ,解得：c = 2 , c c22椭圆E的方程为.土+上=116 12(I2)由(I)知片(-2 ,0) , F2(2 , 0),设n F1AF2的角平分线所在直线的方向向量为 a ,AAF1 AF2-3), AF2=(0, -3),贝Ua=九1(九 > 0)。易知 AF1 = (-4 ,IAF1I Ml所

23、以昆J_4, _3,是/J),l AF1 l '55) |AF2|w 、1 -AF1 + _AF2 -/ 4、8故 a 二八 I1= f,f 。IIAFiI IAFzIJ ' 55 >所以/ F1AF2的角平分线所在直线的斜率为k = 2, 故所求直线为：y - 3 = 2(x - 2), 即2x - y - 1 = 0【注】若OC平分 AOB,则【例2】(2010北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-亚，0) , (四 , 0),离zj6心率是工-，直线y = t与椭圆C交于不同的两点M、N ,以线段MN为直径 3作圆P,圆心为P。(1)求椭圆C的方程;(2)若圆P

24、与x轴相切，求圆心P的坐标;(3)设Q(x , y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.c 60.【解】(1)因为一=,且 c = J2 ,所以 a = V3 , b = JO- c = 1 a 32所以椭圆C的方程为上+y2=1.3y = t(2)由题意知 p(0 ,t ) (-1<t <1).由 Jx23 y2=1得：x= - 3(1-t2)所以圆P的半径为j3(1-t2)。由已知得：<3(1- t2) = t解得t = ±3.所以点P的坐标是(0 ±近 2< ,2 J(3)由(II)知，圆 P 的方程 x2 + (y-1)2 = 3(1-

25、12)。因为点 Q(x , y)在圆 P 上，所以 y = t±3(1-t2) - x2 > t +,3(1-t2)设1 =cose ,日三(0 ,),则t + J3(1-12) = cos9 + V3sin9 = 2sin# +；)1当9=一,即1 = 一，且x=0, y取取大值2.32【注】对于形如 y = x +mV'1 - x2 (0 < x < 1)的函数，可采用三角代换法求最值，令x = cos日(0 < 9 < ),贝U y = co s + m si n =，M + 1 sin(+中，)于是有：2ymax = Jm2 T 0【例3

26、】(2010江西)如图，已知抛物线Ci： x2 + by =22xy+ $= 1(a>b >0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率；(2)设点q (3 , b),又M、N为Ci与C2不在 y轴上的两个交点，若DQMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程.【解】(1)因为抛物线Ci经过椭圆Q的两个焦点F1(-c, 0) , F2(c, 0), 所以 c2 + b ? 0 b2 ,即 c2 = b2,由a2 = b2 + c2 = 2c2,所以椭圆C2的离心率=叵.222y = 1 b22(2)由(1)可知：a2 = 2b2,所以椭圆C2的方程为：J +2b2b2=122得：2y

27、 - by- b = 0解得：y = -£或y=b (舍去)，所以x = ? -yb ,日”/® b' ja b即 Mb , , N b ,I 22)2 22)所以MN的重心坐标为(1,0),因为重心在C1上，所以12 + b? 0 b2 ,得：b = 1,所以a2 = 2.X2c所以抛物线C1的方程为：x + y = 1 ,椭圆C2的方程为：+ y = 1.【注】联立椭圆方程与其它方程时，为方便运算起见，通常要简化椭圆方程。如已知离心率或者已知a、b、c中的一个，则椭圆方程可化为只含一个参数的方程。22【例4】(2010辽宁)设F1, F2分别为椭圆©0

28、+4=1 (a >b> 0)的左、右焦点， a b过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60° , F1到直线l的距离为2 . 3 .(1)求椭圆C的焦距；uuu uuu(2)如果AF2 = 2F2B ,求椭圆C的方程.【解】(1)设焦距为2c,直线l的方程为丫 = 瓜x - c由已知可得：Fi到直线l的距离为d = 也(-£ -c)l = 2V3 ? c 2. 2所以椭圆C的焦距为4.(2)设A区, y) B%, 丫2)22由(1)知：椭圆C的方程可化为十夫=1，b2 4 b2直线l的方程为y = ,3(x - 2).联立'y =V3

29、(x-2),x2y2十 = 1、b2+4b2,消去 X,得：(4b2 12)y2 4 3b2y - 3b4 = 0I J3b2由韦达定理得:卜1 + 丫2=年6川川川b2 3l 丫2=后吟“川I"4b2 12uuu uuu因为AF2= 2F2B ,所以-y1 = 2y2从中消去y1、y2 ,求得：b2=522故椭圆C的方程为上+匕=1.95【注】题目中的向量条件往往转化为坐标之间的关系。【例5】已知直线x+ ky3 = 0所经过白定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O: x2 + y2=1,直线l: m x+ n y

30、=1.试证明：当点P(m, n)在椭 圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长 L的取值范围.【解】(1)由x+ky3=0得，(x 3) +ky = 0,所以直线过定点(3, 0),x2 y2即F (3, 0).设椭圆C的万程为于+b2=1(a>b>0),a= 5,则 aa+c=8解得：< b = 4,c=3.la2=b2 + c2,故所求椭圆C的方程为22+1二1.m2 n2(2)因为点P (m, n)在椭圆C上运动，所以云+16=1.从而圆心O到直线l的距离19<1.25m2+ 16d 1_1tm2 + n2 ymi2+16(125m2)所以直

31、线l与圆O恒相交.直线l被圆O截得的弦长为L=2/r2-d2 =2,1-1 =2m2+ n21-T25m2+16由于0尚2 w 25而L关于m 2递增，所以*15 <56,即Le哼,明即直线l被圆。截得的弦长的取值范围是 呼，喳.【例6】(湖北高考题)已知A(- 2 , 0) , B(2 , 0)是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异 于点A、B的动点，且DAPB的最大面积为26。(1)求椭圆C的方程。(2)直线AP与椭圆在B点处的切线交于点D,当点P运动时，试判断直线PF (F为椭圆C的右焦点)与以线段BD为直径的圆的位置关系，证明你 的结论。(3)设椭圆C的右准线为l ,直线AP与准线l交

32、于点M,直线BM与椭圆C交于点Q,试判断点B与以PQ为直径的圆的位置关系，并证明你的结论。22闻椭圆C的方程为：O1(2)由(1)得：F(1 , 0)。设直线 AP 的方程为：y = k(x + 2),则有：D(2 , 4k)。半径为r = 2 k于是以BD为直径的圆E的圆心为E(2 , 2k), 'y = k(x + 2)联立22xy =143,消去 x,得：(3 + 4k2)x2 +16k2x+ 16k2- 12= 0,由韦达定理得：(-2)?xP216k2- 12亏，所以 xP 二3+ 4k2P6- 8k23 4k2 '从而有：yP = k(xP + 2)=12k 2 ,

33、即 P 3+ 4k26-8k2 12k 、 3+4k2 , 3+4k2/1若xP = 1 ,则有k = ? 2 ,圆E的圆心为E(2 , ±1),半径r = 1 ,显然有直线PF与以BD为直径的圆E相切。1右xP 1 1,即k贝- > 则有kPF12k3+ 4k26- 8k2 - 3+ 4k24k2 ，1- 4k2所以直线PF的方程为y =1- 4k2(x- 1)。于是圆心E到直线PF的距离为4k 2 - 2k1 - 4k21+ 一= 2k + 8k3216k4 + 8k2 + 12k(1+ 4k2)4k2 + 121kl = r4k2所以直线PF与以BD为直径的圆E相切。综上

34、，当点P运动时，直线PF与以BD为直径的圆E相切。(3)由(1)知：椭圆的右准线为x= 4,所以M(4 , 6k)由(2)知：P6-8k212k、，又 B(2 , 0)于是BP =-16k212k '2 ,23 十 4k23 + 4k2 Juuir,BM = (2 , 6k),所以BP BM =-32k272k240k23 4k2 3 4k2 3 4k2> 0,所以DPBM为锐角,从而DPBQ为钝角，故点B在以PQ为直径的圆的内部。【注】在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系，常采用向量法22x y 【例7】(2011杭州三模)已知A, B是椭圆C：=十七=1(a > b >

35、; 0)的左，右顶点， a bB(2 ,0),过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M, N,交直线x = 4于点巳且直线PA, PF, PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2, RQ的中垂线交x轴于T点(1)求椭圆C的方程;V。V。(2)求三角形MNT的面积的最大值【解】(1)由已知：b = 2,设 P (4, y。)，则 kPA = & , kPF6又由已知：2kpF = kpA + kpB,即 2y。= y。y。4-c 6所以椭圆C的方程为(2)因为点Q、R在椭圆上，所以即 kRQ =2(Vq Vr)所以线段2xQVQ =1Vq - Vr3 XqXrxR

36、yR =1xQ 一 xR,由已知，线段QR的中点坐标为1 ,QR的中垂线方程为，y-也Vr2(Vq Vr)4 VqVrVqVr(x-1)，1 1得：x =一，所以RQ的中垂线交x轴的交点为T 一 , 01V2设 M (xyj , N (X2, y2),则 Snt=-ItfI|v1-设直线MN :x=my + 1与椭圆联立可得:(3 m24) y26my - 9 = 0I V1 - V2 |2 =36m236(3m2 4) 2 3m2 4144m2 1(3m2 4)2.一 2. 一令t = m+1之1,则y - y22= 1442(3t 1)2= 14419t 6t=f (1)= 1。从而V1

37、- V221max =144 16 = 9,故($皿丁max3 3:988一一1函数f(t)=9t+1在区间1 , +叼上单调递减，所以f(t)min2+ y =1.如图【例8】(2011山东U文22)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：所示，斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆*yD-3C于A, B两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).(1)求m2 + k2的最小值;(2)若OG2=OD ?OE ,求证：直线l过定点；试问点B, G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由【解】(1)由题意:设直线l :

38、 y = kx + n(n00),y = kx + n由x22, 消去 y,得：(1 + 3k2)x2 + 6knx+3n2-3=0,+ y = 1.3设 A(xi,y)、B(x2,y2),AB 的中点 E(xo,yo),则由韦达定理得：为e黑2,-3kn.3knn即 x0 = 1 3k2，y0=kx0 n = 1 3k2 k "K，所以中点E的坐标为E(-3knZ21 3k22)，1 3k21m因为O、E、D三点在同一直线上，所以 丘=Kod ,即一看；二一， 3k3 1_221. 2解得m 所以巾2 + /=?十/之2,当且仅当k=1时取等号, kk即m2 + k2的最小值为2.

39、m(2)由题意知：m > 0,直线OD的万程为y= -x,3m厂一 3x所以由1 y2得交点G的纵坐标为Ng =x y2 =1 3n易知：yE = Ei7， yD=m， I 3k2因为 |OG|2=|OE| OD|,所以有：券3=m'W3k m 31 3k1又由（I）知:m - k ,所以k = n ,于是直线l的方程为l : y = kx + k ,即有l: y = k（x + 1）,所以直线l过定点（-1,0）.=yG °假设点B, G能关于x轴对称。则有xB = xG , yB那么MBG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上,由（i）知:G（-3 m23,

40、 m2.),所以,3又因为直线l过定点（-1 , 0）,所以直线l的斜率为一三一 m23二k,又因为k =,所以有：Jm2 + m解得m2 = 1 ,2从而有n= 1 ,由于m > 0 ,所以k = 1,m = 1, E(-3, 1)4 4从而AB的中垂线方程为2x + 2y + 1 = 0, 1 c-3 1、所以&ABG外接圆的圆心为（一或0）,G（万，）,圆的半径为1、225所求圆的万程为（x-2）y = 4综上所述，点B、G能关于x轴对称,1、22此时aabg的外接圆的方程为他一鼻）+ y54.22【例9】（2。1。山东U理21）如图，已知椭圆、+=1叱b。）的离心率为*以

41、该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 E,F2为顶点的三角形的周长为4«万十1）, 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P为该双曲线上异于项点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为 A、B和C、D.（1）求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线PFi、PF2的斜率分别为ki、k2, 证明：k1，k2 = 1;(3)是否存在常数九，使得AB + CD =九AB CD恒成立？若存在，求九的值；若不存在，请说明理由【解】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意知：-=,2a + 2c =4(点+1) a 2所以 a = 2 J2 , c = 2。又 a2 = b2 + c2,因止匕 b = 2.

42、22故椭圆的标准方程为x . y -18422由题意设等轴双曲线的标准方程为 22 -当=1 (m> 0), m m因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=222因此双曲线的标准方程为X -y =144(2)设 A(X1,w) , B(X2,y2) , P,),则 K,卜2=0X0 2X0 - 2因为点P在双曲线x2-y2=4上，所以x2-y；=4。因止匕卜水2=0汉=4 = 1。即 2 = 1。X0 2 X0 - 2 X。- 4(3)由于PF1的方程为y = K(X + 2),将其代入椭圆方程得（2k； 1）x2 -8k12X 8k2 - 8 = 0由违达定理得X1，X2 =8kf8

43、kf - 82, X1X2 22k" 12 k" 1所以 |AB 产 1kl2 （用 x2）2-4为“ =1 k222 _2_4'照8=4$.学； 2k2+12kl2 + 1同理可得CD |=4 22kI.则= 1_ i'2k2j1+ 2k222 1| AB| |CD | 4V 2 I k12 + 1k；+ 1又 kR =1,所以 1 1_ 一1 = 1_ 一 |AB| |CD | 4V2 k12+12k； 1 k21k121& '2k12+1 + k12+2 ) 31 2年2 13 2故 |AB | |CD 卜 | AB| |CD |8因此

44、，存在九=还，使|AB| + |CD卜Z|AB|，|CD|恒成立。82【例10】(2012预测题 原创题)已知椭圆C:上+y2 = 1,过椭圆的右焦点F的直线2与椭圆交于M、N两点(不与左、右顶点重合)，A、A2分别是椭圆C的左、 右顶点,(1)证明：直线A1M、A2N的交点在椭圆C的右准线l上。(2)设椭圆C的右准线l与x轴交于点D,求ADMN的面积的最大值，并求出当ADMN面积最大时/ DMN的正切值。【解】由已知：F (1, 0),右准线l的方程为：x = 2x - 1 - ky联立x222 y则有：y1y2设直线MN的方程为x -1 - ky ,且设M (为，y1) , N(x2 ,

45、y?),消去 x,得：(k2+2)y2 + 2ky-1 = 0, 1- 2k-1 ， V1 V2 = -2。k2 21 2 k2 2(1)设直线AM、A2N与右准线i分别交于p、q两点，则Vp 二(22)y=(22)y1x12ky1 12 '二(2 - 2)y2 =(2 - 2) y2Qx2 - 2ky2 1 - 2(22)y1(2- 2)y22 2kyy2 - 2(y v2)ky1 12ky2 T 2(ky1 12)( ky2 1- 2)2 2k J- 2:2k2 k2 2(kyi12)( ky2 1 - 2)=0,所以yP = yQ，即点p与点Q重合故直线AM、A2N的交点在椭圆右

46、准线上(2)由已知：D (2,0).S7mn=；lFD| |乂 -丫2|="乂+丫2)2-4乂y2令 Jk2 +1 =t (t 2 1),1 ，-2k 2 + 4 叵 Jk2； 12ak2十21+k2 + 2k2+2则smn =W2=。函数f(t) = t+1在1 ,+叼上单调递增, t 1 t 1tt-2所以 f(t)min = f(1)=2,故(S如mn 岛=3。当ADMN面积最大时，t = 1,即k = 0,止匕时MN 1 x轴,所以 tan - DMN = J2 .ImfI V2【例11】（2009湖南卷）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点

47、的四边形是一个面积为 8的正方形（记为Q）.（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交 于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求 直线l的斜率k的取值范围。22、 一一 . x y【解】（1）依题意，设椭圆C的方程为下+ *=1（a>bA。），焦距为2c, a b2212由题设条件知，a2 = 8,b=c,所以b =-a =4.22故椭圆C的方程为千+孑=1.84（2）椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标（-4,0）,显然直线i的斜率k存在，所以直线i的方程为y = k(x+4)如图，设点m, n的坐标分别为(

48、Xi,yi),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0, y。)，y = k(x + 4),联立 x2 y2 ,消去 y 得：(1 + 2k2)x2 十 16k2x + 32k2 -8= 0.十=i、84则有 二(16k2)2 - 4(1 2k2)(32 k2 - 8)0解得一立k匹.22216k2又由韦达定理可得：x1 + x2 = r ,1 2k2x1 x28k4k从而外"( 4) = 12k2于是有：x0=一2-=一不去2,8k2八因为x0 = 一不7叫所以点G不可能在y轴的右边， 又直线F1B2 , F1B1方程分别为y= x+2,y=-x-2,所以点G在正方形Q内(包括边界

49、)的充要条件为2,4k8k2,.yo - xo + 2，1 +2k2 . 1 +2k2,2k + 2k - 1 e 0, G即41 2亦即42yo - xo - 2. 4k 8k22k2 - 2k - 1 - 0.2.1 2k21 2k2解得一旦IwkE道二1,此时也成立. 22.3-1 3 -1故k的取值范围是-,.【例12】C :(20092 上2 ab2的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直2BS与直线门罟分别交于M、N两点。(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN的长度的最小值;(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存 在这样的点T,使得ATSB1的面积为5 ?若存在，

50、确定点T的个数，若不存在，说明理由【解】(1)由已知得，椭圆c的左顶点为A(-2,0)，上顶点为D(0,1),. a=2,b=12故椭圆C的方程为土 + y2 = 14(2)直线AS的斜率k显然存在，且k> 0,故可设直线AS的方程为y=k(x + 2),从而 M(?163k)y = k(x + 2)联立 jx22 .消去 y 得：(1 + 4k2)x2 + 16k2x + 16k2 -4 = 07 y n1设 S(Xi,必),则(-2),为_ 216k -41 4k2得Xi2-8k221 4k24k21 4k210N(3 3故 |MN |83即k：1时等号成立, 48|MN|取最小值g

51、1 .°、10o Q. 2 人y (x-2) x-2 8k 4k4k3即 s("47，ciN，又B(2,0)由 io 得:1X=31一点16k13 3k16k1当且仅当丁工,3 3k1(3)由(H)可知，当|MN|取最小值时，k = 4 64 一 4,. 2此时BS的方程为x + y -2 = 0,s(6,)|BS卜工5 55要使椭圆C上存在点T,使得ATSB的面积等于，只须T到直线BS的距 5离等于 叵,所以T在平行于BS且与BS距离等于 走 的直线l上。 44设直线l :x + y + t = 0 则由上3=变解得t = -9或1 = -？24223 -5 -即直线 l

52、： x+y=0 或 x+y_ = 0。223人y - = 0 2y2 = 15x2 * - 12x + 5= 0,y2 = 1有两个交点3. . .一 x因为 = 44>0,所以直线x+y- = 0与椭圆一 十24【例13】(2010广东T 20)已知双曲线y2 = 1的左、右分别为 A，2,点2.4 y =1联立(1)求直线A1P与直线A2Q的交点E的轨迹方程。= 5x2 - 20x+21= 0,! x 十 y - (2)若过点H (0, h) (h > 1)的两条直线11、12与(1)中的轨迹都只有 = 025x因为 2 -20 < 0 ,所以直线x + y - = 0与

53、椭圆一+ y = 1没有交点24综上，满足条件的点T存在，且有两个一个交点，且11，12，求h的值【解】(1)由已知：A(-/, 0) , A(T2 , 0)，设 e (x，y)直线A1P的方程为：y ='(x + V2)川IIIIH x12直线AQ的方程为：丫 = ,1产他-血)川|修 x1 - 22父得：y2 = -y1 (X2- 2)。x1 - 222由已知：y12=1,即 x12-2 = 2y12, 故有：x-+y2 = 12112因为P(x1 , y1)、Q(x1 , - y1)是双曲线上两个不同的动点，所以P(x , y1)、Q(x1 , -y1)不与双曲线的左右顶点重合，所以xfQ, 又当x = 0时，直线AE与直线AE分别与双曲线的两条渐近线平行，止匕时P、Q不可能在双曲线上，所以 x# 0。2故E点的