例析中考数学中的规律探索性试题

1、例析中考数学中的规律探索性试题浙江 袁亚平新课程标准指出，数学学习不仅包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程规律探究型问题，正是新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想，发展学生的直觉思维能力和合情推理能力的好材料，它不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露学生在解题过程中的思维品质；还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况，较直观的反映出学生的数学素养，体现了素质教育的要求因此，规律探索性问题成了近几年中考数学试题的热点，本文例举2005年中考数学中的规律探究型试题加以归类简析，供参考一、 数式的规律探索例1瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公

2、式，从而打开了光谱奥妙的大门请你按这种规律写出第七个数据是简析：本题以光谱数据为背景，向学生渗透了光谱理论的知识，体现了数学试题的教育功能解题的关键是从特殊数据中探求这一系列分数的变化规律，经观察分子都是完全平方数，第n项的分子是，然后比较分母与分子的关系，可以发现分母比分子小4，所以光谱数据可表示为：由此可以推断：第7个数是例2有若干个数，依次记为若，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则简析：根据题目对的定义，可求得，通过观察、归纳、猜想、合情推理可知中3个循环一次，因此可得本题考查了倒数的概念、实数的运算等基础知识和对数学语言的阅读理解能力、推理能力等例3如果记，并且

3、表示当时的值，即；表示当时的值，即；那么_（结果用含n的代数式表示，n表示正整数）简析：本题把记作，向学生渗透了高中数学中的函数表达方式解题时在理解的基础上，通过对特殊情况下的计算、观察、归纳、猜想可得1(k表示正整数)，故，考查了学生对整体思想的运用练习：1.一组按规律排列的数：， 请你推断第9个数是_2已知： 1+2+1422，1+2+3+2+1932，1+2+3+4+3+2+11642，那么1+2+3+3+2+1_.（用含n的代数式表示）二、 数列的规律探索 例4下面是一个有规律排列的数表：上面数表中第9行，第7列的数是 简析：根据数表中反映的规律：每个数的分子与行数相同，分母与列数相同

4、，故第9行，第7列的数是例4如图1是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，是相邻两行的前四个数（如图1所示）那么当时，简析：本题是以我国古代的杨辉三角为背景的规律探索型试题，考查了学生对类比方法的运用解题时，根据数列的排列规律，类比杨辉三角中数的变化规律，经观察、归纳、推理知每行的第一个数及最后一个数与行数相同，而其他数分别是上面两个数的和（如图2），因此，当时，则29，所以，9，37练习：3已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成下列形式：第1行 1第2行 2 3第3行 4 5 6第4行 7 8 9 10第5行 11 12 13 14 15 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第

5、5个数等于 4观察下列数表： 1234第一行 2345第二行 3456第三行 4567第四行 第第第第 一二三四 列列列列 根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_，第n行（n为正整数）与第n列的交叉点上的数应为_三、 图案的规律探索例5用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子_枚（用含有n的代数式表示）简析：本题用黑白棋子摆设如正方形图案，情境自然亲切，一定程度上激发了学生的解题欲望解题的关键是通过对特殊情形的观察、归纳、推理得：第n个图案中，总的棋子为枚，黑棋子为枚，故第n个图案需要用白色棋子为枚例6观察下面图形我们可以发现

6、：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有_个正方形简析：本题是以数正方形个数为载体的计数问题，解题的关键是找到正方形个数的变化规律，计数时做到不重复又不能遗漏，考查了学生分类讨论的数学思想第1个图中1个正方形；第2个图中有1个大正方形和4个小正方形，即514；第3个图中有1个大正方形和4个由4个小正方形组成的正方形和9个小正方形，即14149，由此得出第n个图中正方形的个数为 ，故第5个图形共有55个练习：5如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，

7、则在第个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含的代数式表示）.四、 几何图形性质的规律探索例7 如图，ABC中，ACB90º，B30º，AC1，过点C作于，过点作于，过点作于，这样继续下去，线段（为正整数）等于（）ABCD简析：本题从学生熟悉的30º角的直角三角形出发，作出斜边上的高，得到一系列相似的直角三角形，去探求的长，目的在于引导学生经历特例观察、合情猜想、归纳总结等有价值的探究活动，体现了新课程理念下突出几何的直观性和实验性解题的关键是运用30º角的直角三角形的边之间的关系解：ACB90º，B30ºAC1故答案为D练习：6设四

8、边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去···（1） 记正方形ABCD的边长为1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，···，求出，的值（2） 根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式五、 操作与规律探索例8一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位简析：本题把操作实践与规律探

9、索结合在一起，通过操作实践提取信息探索发现规律合情归纳猜想证明应用的模式来解决问题，有利于培养学生科学的思考方法解题的关键是通过对开始的特殊情形的分析，得出跳蚤每跳两次相当于往原来的位置左移1个单位，因此，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，有50个2次，故落点处离O点的距离是50个单位例9如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心此时，M是线段PQ的中点如图，在直角坐标系中，ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）点列P1、P2、P3、中的相邻两点都关于ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称

10、，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，对称中心分别是A、B，O，A，B，O，且这些对称中心依次循环已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标 简析：本题把规律探索与网格有机地结合在一起，利用网格的特征，避免了机械计算解题的关键是理解对称、对称中心，通过动手操作，作出符合题意的P1、P2、P3、P4、P5、P6（如右图），即可求出P2（1，1）、P7（1，1），可以发现每六个循环一次，所以可得P100的坐标为（1，3）考查了学生的阅读理解能力、探索发现能力、归纳推理能力等综

11、合能力练习：7如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是_（用含n的代数式表示）8已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB

12、上，且AE=1. 将PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.图1（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.图2（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之

13、间的关系（请用含k的代数式表示n）.六、 阅读与规律探索例10阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+100？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+，其中是正整数现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+？观察下面三个特殊的等式将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4读完这段材料，请你思考后回答：（只需写出结果，不必写中间的过程）简析：本题属于类比型研究性试题，试题把阅读理解和探索猜想嫁接在一起，考查学生从具体、特殊的情形出发去探究一般规律的能力阅读材料不仅提供了具体事例，更重要的是为发现规

14、律设计了可借鉴的过程，通过阅读材料所提供的思想方法，去解决类似的问题这类问题的考查，有利于培养学生的阅读理解能力、探索发现能力、归纳概括能力、类比猜想能力，有利于促进学生学习方式的改变答案为 343400 (或) 练习：9下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形 (图)仔细观察图形可知： 图有1块黑色的瓷砖，可表示为 图有3块黑色的瓷砖，可表示为 图有6块黑色的瓷砖，可表示为 实践与探索： （1）请在图的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图） （2）第10个图形有_块黑色的瓷砖；（直接填写结果） 第n 个图形有 _块黑色的瓷砖（用含n的代数式表示）七、 计算器探索规律例1

15、1用计算器计算，根据你发现的规律，判断与（n为大于1的整数）的值的大小关系为（）(A) PQ (B)PQ (C)PQ (D)与n的取值有关简析：计算器已成为当今人们广泛使用的计算工具，它能使我们从繁杂的运算中解放出来将计算器的使用融合于规律的探索，增加了计算器应用的趣味性和挑战性，使学生体会到计算器在数学学习中的重要作用解题关键是通过计算器的计算，得后一个比前一个小，所以可推出PQ，故答案为A练习：10用计算器探索：按一定规律排列的一组数：，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选_个数八、 以“形”解“数”，探索规律例12在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图

16、1所示的几何图形（1）请你利用这个几何图形求的值为_（2）请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形简析：几何图形具有直观、形象、简明、清楚，包含的信息量多等特点，利用几何图形探求代数算式的变化规律，很好地体现了数形结合的数学思想，以“形”解“数”，直观简捷 解题的关键是找到“数”与 “形”之间的联系，结合图形可知(1)1，（2）略练习：11观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：猜想并写出与第n个图形相对应的等式以上几例，我们可以看出探究型试题的素材之丰富，题型之多彩，设计之巧妙，相对于传统试题来说是一种突破，是一种创造解决这类问题，通常从简单情况入手，通过操作、观察、分析推理、拾级而上，获得几种简单情况具有确定性的结论，然后通过对这隐含