几何证明——角平分线模型

1、几何证明1、已知如图， ABC中，BC AC2、如图，已知在 ABC中， B 60例3、如图，BD平分 ABC，角平分线模型【经典例题】AD平分 CAB ,ABC的角平分线（高级）100，求证:AB AD CD 。AD ,CE相交于点0 ,求证:ADB 45，AE BC，求 AED.AE CD AC 。例4、已知，如图 ABC中，AD为 ABC的角平分线，求证： AB DC AC BD .例5、如图，已知P为锐角 ABC内一点，过P分别作BC，AC，AB的垂线,为 ABC的平分线，MP的延长线交 AB于点N;如果PDPEPF，线。例6、如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB DC，ABC

2、AE，若 ACB 60，EBC 50，求 EAC的度数.例7、已知:ABC中，AB BC，AC的中点为M，MN(1)如图1，若 ABC 60，求证:BA BC垂足分别为D，E, F，BM求证：CN是 ACB的平分80，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AC交 ABC的角平分线于N .(2)如图2，若 ABC 120，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得岀的结论给予证明.【提升训练】1、在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB AC PB PC .2、如图，在 ABC中， A等于60 , BE平分 ABC,CD平分 ACB，求证：DH EH。

3、3、如图所示，在 ABC中，AD平分 BAC , AD AB, CM AD于M，求证：AB AC 2AM。4、已知|是 ABC内角平分线的交点,AI交对应边于D。求证:AIIDAAB ACBC5、（ 1）如图，BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AF BD，AG CE，垂足分别为F、1G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，求证：FG - AB BC AC 。2（2）若BD、CE分别是 ABC的内角平分线（如图（2）,过点A作AF BD，AG CE，垂足分别为F、G，连接FG，线段FG与 ABC三边有怎样的数量关系？；（3） 若BD为 ABC的内角平分线，CE为 ABC的外角

4、平分线（如图（3）,过点A作AF BD，AG CE，垂足分别为F、G，连接FG，则线段FG与 ABC三边又有怎样的数量关系？（i）A6、如图，已知BD , CE为ABC的角平分钱,F为DE的中点，点F到AC ,AB，BC的距离分别为FG a，FH b，FM c，若 c2(1 )求 a，b，c，m的值；（2）求证:1 2 2ab m21DG -(BC4CD)。7 已知如图， CD是Rt ABC斜边上的高,A的平分线交CD于H，交BCD的平分线于G ,求证：HF/BC 8 .如图，BD、CE为/ABC的两条内角平分线，K为ED的中点，KF丄AB于F, KG丄AC于G , KH丄BC于H ,求证：K

5、F+KG=KH9 已知 AC BC , ACB 90 , DCB 15 , BDCD , CE AD 于点E ,求证：BC 2CE .10 .( 1 )如图1 , BP为/ABC的角平分线,PM 丄 AB 于 M , PN 丄 BC 于 N , AB=30,BC=23，请补全图形，并求/ABP与ABPC的面积的比值;(2)如图2 ,分别以 ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形 ACE , CD与BE相交于点O ,判断/AOD 与ZAOE的数量关系，并证明;(3)在四边形 ABCD中，已知 BC=DC，且AB AD，对角线AC平分/BAD，请直接写岀/ B和/D的数量关系.

6、11 .( 1 )已知：如图 1 , Rt XBC 中，/ACB=90 °,zBAC=60 °, CD 平分/ACB，点 E 为 AB 中点，PE 丄 AB 交(直接写出结论，不需证明)CD的延长线于 P，猜想：/ PAC+ ZPBC=(2)已知：如图 2，Rt AABC 中，/ ACB=90 °，zBAC 工 45 °, CD 平分/ACB，点 E 为 AB 中点，PE 丄 AB 交 CD的延长线于P，( 1 )中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由.12 如图1，分别过线段 AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM /BN，ZMAB、/N

7、BA的角平分线交于点 C， 过点C的直线丨分别交AM、BN于点D、E.(1) 求证： ABC是直角三角形；(2) 在图1中，当直线丨丄AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；(3) 当直线丨绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图 2、3两种情况下，(2)中的三条线段之间又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.13 .如图，在Rt ABC 中，/ ACB=90 °, CD 丄 AB 于 D , AE 平分/ BAC，交 CD 于 K,交 BC 于 E, F 是 BE 上一点，且 BF=CE，求证：FK/AB .14 在 ABC 中，AD是ZBA

8、C的平分线.(1)如图,求证：涯些;s ACD AC(2)如图,若 BD=CD，求证：AB=AC ;(3)如图,.求BD的长.15 .如图，在ABC 中，/ ABC=90 °,D 为 BC 上一点，在 ADE 中，/ E= /C,/1=90 °丄/EDC 求证:(1 )/1= d ；(2) ED=BC+BD16 如图，一个直角三角形纸片的顶点A在ZMON的边0M上移动，移动过程中始终保持AB丄ON于点B, AC丄OM 于点A /MON 的角平分线 0P分别交AB、AC于D、E两点.(1 )点A在移动的过程中，线段 AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由.(2)点A在移动的过

9、程中，若射线ON上始终存在一点 F与点A关于0P所在的直线对称， 判断并说明以 A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？(3) 若/MON=45 °，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写岀结果即可不用证明.17 定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形 ABCD的准内点.图1图2图3图4P是四边形ABCD的准内点.(1)如图2，ZAFD与/DEC的角平分线FP, EP相交于点P.求证：点(2)分别画岀图3平行四边形和图 4梯形的准内点.(作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明

10、)(3)判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”任意凸四边形一定存在准内点()任意凸四边形一定只有一个准内点.( )若P是任意凸四边形 ABCD的准内点，则 PA+PB=PC+PD 或PA+PC=PB+PD .()18 如图，已知平行四边形 ABCD中，AE平分/ BAD交DC于E, DF丄BC于F,交AE于G,且AD=DF 过点D作DC的垂线，分别交 AE、AB于点M、N .(1 )若 M为AG中点，且 DM=2，求DE的长;(2)求证：AB=CF+DM .19 如图，在平行四边形 ABCD中，/ BAD、/ABC的平分线 AF、BG分别与线段 CD交于点F、G,AF与BG交于点E (1)求证：AF 丄 BG , DF=CG ;(2 )若 AB=10 , AD=6 , AF=8，求 FG 和 BG 的长度.20、平行四边形ABCD 中,BE、CF交于点G ,若FG3 , ABC的平分线交41 2BC。求证：BE4AD于点E3CF2。BCD的平分线交AD于点F ,21、如图，在 ABC中，D是 BAC外角平分线上一点，求证： AB AC DB DC。22 在