利用导数求曲线地切线和公切线

1、利用导数求曲线的切线和公切线一 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1.(1) 求在点 p (1,0 )处的切线 5 的方程：求过点Q (2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线12的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二有关切线的条数【例2】.(2014 ?北京)已知函数f (x) =2x 3 - 3x .(I)求f (x)在区间-2, 1上的最大值；(U)若过点P (1 , t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切，求t的取值范围;(川)问过占 A (- 1,2 ), B( 2 ,10 ), C(0 , 2 )分别存在几条直线与曲 线y=f (x)相切？(只需写出结

2、论)或x=令 f' () =0 得，x=【解答】解：(1)由 f (x) =2x 3 - 3x 得 f ' x) =6x 2 -，f (-2) = - 10 , f (-(1) = - 1 ,f(x)在区间-2 , 1上的最大值为 :.(U)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点则 yo=23XI-3 O-3,o,且切线斜率为k=62 O切线方程为y - yo=6 - yo= (6-3)( 1 - xo),即 4+t+3=0，设 g (则“过点P (1 , t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”3 个不同的零点”.T g ' X) =12x 2 -

3、 12x=12x(x - 1)(xo, yo),x) =4x 3 - 6x 2 +t+3 ,等价于“ g (x) 有'g (0) =t+3 是g (x)的极大值，g (1 ) =t+1是g (x)的极小值.g (0)>0 且 g (1 )v0,即3vtv 1 ,当过点过点P (1，t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(3 , 1).(川)过点A ( 1 , 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切;过点B (2 , 10 )存在2条直线与曲线y=f (x)相切;过点C (0 , 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【例3】已知函数f (x) =lnax

4、 (a工0 , a R),吕G)二竺.z(I)当a=3时，解关于x的不等式：1+e f (x)+g (x)>0；(U)若f (x) >g (x) (x >1)恒成立，求实数a的取值范围；(川)当a=1时，记h (x) =f (x) g (x)，过点(1, 1 )是否存在函 数y=h (x)图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由.【解答】解：(I )当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x +1+3K-I->03k>0(n)viiy . 令上*等价于，解得X ”丄，故解集为对x >1恒成立，所以可得h (x)在区间1 , + %)上单调递减, 故

5、h (x )在x=1处取到最大值，故lna >h (1) =0，可得a=1 ,故a的取值范围为：1 , + %)x0-l(川)假设存在这样的切线，设切点 T (xo， 丁 ),Ko2盘訂 一1_耳口_(X n -1 J Z切线方程：y+仁 6-1)，将点T坐标代入得：lnxg+1 ?、吋力5即1 衍1=0,°切川设g(x)二血十色吕-1,则# &)沁晋切x XXx >0 , :g (x)在区间(0 , 1 ),( 2 , + X)上是增函数，在区间(1 , 2) 上是减函数，故 g (x)极大=g (1) =1 > 0，故 g (x)极，小=g (2) =l

6、n2+ 当 > 0 ,4又 g (丄)=li丄+12 - 6 -仁-ln4 - 3 V 0 ,由g (x)在其定义域上的单调性知：g (x) =0仅在(丁，1)内有且仅有一根, 方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条.【作业1】.(2017 ?莆田一模)已知函数f (x) =2x 3 - 3x+1 , g (x) =kx+1-Inx .(1)设函数h(i) =g(K)?x<l当kV0时，讨论h(x)零点的个数;两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+辽心/比的取值范围是.粹= a+fttosxcsin x = a+c2 cosf

7、jr + >) = a+cos(x+)令耳+炉=C 则叫十学=即巧十卩二g. /Xx) = e? + cos由題总，存在xrXj e /?使得广(孔)厂(兀)三一1，SPtfl+cosffJta + cosJs'l,即关fp的二次方程，4似)詢+炖$£口 +迢cvs+l = 0(*)<j实根所W A = (cosq + cegF-4g胡8$蛊一420n(cos-cos0$ 24所闵cos优一co迪|M2, 乂|co昭co迢卜2, fff叫co昭-co昭| = 2所以cos妍=1心冷角=一1此时方税广)变为(？ =o=>a=o则a 2b . 3c 2b3c ,

8、：b2+c2=1 , 设b sin ,a cos ,/ . 2b 3c .5 sin( ),故a+妙心c -眄苗,【例5.已知函数f (x) =lnx - a (x - 1 ) , g (x) =e x，其中e为自然对数 的底数.(I)设工(0,十 8),求函数 t (x )在m , m+1(m > 0) 上i的最小值；(n)过原点分别作曲线y=f (x)与y=g (x)的切线l1, l2，已知两切线的斜 率互为倒数，求证：a=0或1.cc【解答(I)解：t(£二匚 疋(6 +8), F (工)二”巳 异Kf令 t' (x) > 0 得 x > 1，令 t&

9、#39; (x )v 0 得 x V 1 ,所以，函数t (x )在(0 , 1)上是减函数，在(1 , + X)上是增函数，T1L当m >1 时，t (x)在m , m+1 (m >0)上是增函数，.£)11屮二土(10)二"ID当0 V m V 1时，函数t (x )在m , 1上是减函数，在1 , m+1上是增函数，-t (X) min =t ( 1 ) =e .l11e，-切线11的方程为1y=ke,设li与曲线y=f (x)的切点为(xi, yi),1 1 丫1W (土 1 1(U)设12的方程为y=k 2X,切点为(X2, y2),则二, °

10、;X2=1 , y2=e /-k2=e .由题意知，切线li的斜率11旳二l-Wa=e又 yi=lnx i - a (xi - 1)，消去 y i,a后整理得“宀士吉,1 1a=一芷I e令，则：Y PV _ Z5 (x)在(0 , i )上单调递减，在(i , + %)上单调递增，若 xi ( 0 , i ),T珀(右)二-2+亡-4)，皿二-E 1)而1 1，在(-,De单调递)减-1 ”Jd-X1 eee若 xi ( i , + ),vm (x)在(i , + x)上单调递增，且 m (e) =0 ,'xi=e，-1 a=-=oe综上，a=0或日2 1« 7ee【作业2

11、】.(20i7 ?黄山二模)已知函数f (x) = (ax2+x - i) ex+f (0)(i )讨论函数f (x)的单调性；(2) 若 g (x) =e -xf (x) +lnx , h (x) =e x，过 O (0 , 0)分别作曲线 y=g(x)与y=h (x)的切线li, 12，且li与12关于x轴对称，求证:e+2四. 求公切线的方程2 2【例6】.(2018?安阳一模)已知函数f+ , g (x) =3eInx，其C X中e为自然对数的底数.(I)讨论函数f (x)的单调性.【解答】解：(I)由门' IeJ2 e巾33一已(x)- e2 "2Iex,得令 f&

12、#39; () =0，得且 x 却 时，f ' ( ) V 0 ；当 K>-'f (x )在(单调递增;时，f' x)>0.，0)上单调递减，在(0,辛上单调递减，在十8)上x/ZV4(U)假设曲线y=f (x)y=g (x)存在公共点且在公共点处有公切线，且(U)试判断曲线y=f (x)与y=g (x)是否存在公共点并且在公共点处有公 切线.若存在，求出公切线I的方程；若不存在，请说明理由.切点横坐标为xo >0，Selnxn ，其中(2 )式即记 h (x) =4x 3 3e2x e3，x ( 0，+ x)，贝y h' (x) =3 (2x

13、+e )(2x 得h (x )在(0,专)上单调递减，在 又 h (0) = - e3, h(g 二-zJ，h (e) =0 , 故方程h (xo) =0在(0, + x)上有唯一实数根xo=e，经验证也满足(1 )式.于是，f (xo) =g (xo) =3e , f' Xo) =g' (xo) =3 ,曲线y=g (x )与y=g (x )的公切线I的方程为y - 3e=3 (x - e), 即 y=3x .【作业3】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =2 - (x >o)(1 )试判断当f (x)与g (x)的大小关系；(2) 试判断曲线y=f (x)

14、和y=g (x)是否存在公切线，若存在，求出公切 线方程，若不存在，说明理由；(3) 试比较(1+1 X2)(1+2 X3)( 1+2012 X2013 )与 e4°21 的大小， 并写出判断过程.五. 与公切线有关的参数取值范围问题【例 7 】.已知函数 f (x) =blnx , g (x) =ax 2 - x (a R).(I)若曲线f (x)与g (x)在公共点A (1, o)处有相同的切线，求实数a、 b的值；(U)当b=1时，若曲线f (x)与g (x)在公共点P处有相同的切线，求证： 点P唯一；(川)若a >o , b=1 ,且曲线f (x)与g (x)总存在公切

15、线，求正实数 a的 最小值.【解答】解：(I) f' x) = , g' (x) =2ax - 1 .曲线f (x)与g (x)在公共点A (1 , 0)处有相同的切线，二呂二m，解得a=b=1.|(b=2a-l(U)设 P (xo, yo)，则由题设有 Inx o=ax o2 -xo，又在点P有共同的切线，二f x。) =g x。)，二2且,呦 cH口i i'a=；，代入得 Inx o=xo，设 h (x) =lnx -+丄x，贝U h， x)二丄+(x >o)，贝U h， x)> o，22x 2h (x)在(0 ， + %)上单调递增，所以h (x) =

16、o最多只有1个实根,从而，结合(1)可知，满足题设的点P只能是P (1，o).(川)当 a>o，b=1 时，f (x) =lnx ，f' x)=，f (x)在点(t，Int )处的切线方程为 y - Int=十(x - t)，即 y=*x+lnx - 1 . 与 y=ax 2 - x，联立得 ax2 -(1 + ) x - Int+1=0 .曲线f (x )与g (x )总存在公切线, 关于t (t >o)的方程 = (1片)?+4a (Int - 1) =o，即(1冲)'=4a (1 - Int ) (*)总有解.若t > e,则1 - Int v o，而(

17、1片)> 0,显然(*)不成立，所以0 v tv e，从而，方程(*)可化为4a=t2 (1 -Int.)令 H (t) = _(0 v t v e)，则 H 't2 (1 -Int)当 0 v t v 1 时，h' (t )v 0 ；当 1 v t v e 时，h' (t )> 0 , 即h (t )在(0 , 1)上单调递减，在(1, e) 上单调递增. (t )在(0 , e)上的最小值为h (1) =4 ,要使方程(*)有解，只须4a >4，即a >1 .正实数a的最小值为1 .【例8】.(2017?韶关模拟)已知函数f (x) =aex

18、 (a工0), g (x) =x 2(I)若曲线ci : y=f (x)与曲线C2: y=g (x)存在公切线，求a最大值.(U)当 a=1 时，F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1，且 F (2) =0 ,若 F (x) 在(0 , 2 )内有零点，求实数b的取值范围.【解答】解：(I)设公切线I与d切于点(X1, a )与C2切于点(X2，二)， f' () =ae x，g ' x) =2x，由知X2工0，代入:=2X2，即 X2=2x-2，由知 a=八，设 g (x) =，g ' X)=二丫， e 1ee令 g ' x) =0，得

19、X=2 ;当 x v 2 时 g ' x )> 0，g (X)递增.当 x > 2 时，g ' X )v 0，g (x)递减.4d'X=2 时，g (X) max =g (2)=，.amax=* .ee(H) F (x) =f (x) - bg (x) - cx - 1=e x - bx 2 - cx - 1，VF (2) =0=F(0)，又 F (x)在(0，2)内有零点,F (x )在(0，2)至少有两个极值点，即F' X) =ex - 2bx - c在(0, 2)内至少有两个零点.F X) =ex - 2b , F (2) =e2- 4b -

20、2c - 1=0 , c= "；1-' 当 b w丄时，在(0, 2) 上, ex>e0=1 >2b , F X)> 0 ,F &)在(0, 2)上单调增，F' X)没有两个零点. 当 b时，在(0，2)上，护< e2<2bF x )< 0，F X)在(0，2)上单调减，F' X)没有两个零点；N丨2 当V b V 一时，令 F x) =0 ,得 X=ln2b ，22因当 x >ln2b 时，F X)>0，x V ln2b 时，F X)V 0，F' X)在(0，In2bff)递减，(ln2b，2)

21、递增,所以 x=ln2b 时，：F'X)最小=F ' I(h2b ) =4b - 2bln2b -£+12 !设 G ( b) =F ' 102b )2 e+1¥=4b - 2bln2bG' b)得2b=e，即b=学，当b当b=，G (b)最大=G () =e+122令 G ' b ) =2 - 2ln2b=0 ，b )V 0，G (b) =f ' l(h2b )V 0 恒成立, 因F' X) =eX - 2bX - c在(0, 2)内有两个零点，r 20)二 1-口，一严T >01谄G二劭2b52b<0,

22、V宀b-亠笄解得：丄V b V，综上所述，b的取值范围(一丄，).【作业 4】.已知函数 f ( x ) =a ( X ) - blnx ( a , b R), g ( x ) =x 2.(1 )若a=1 ,曲线y=f ( x)在点(1 , f (1)处的切线与y轴垂直，求b 的值；(2)若b=2，试探究函数f ( x )与g ( x)在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由.六. 公切线的条数问题【例9】.已知函数f (x) =lnx , g (x) =ex.(1 )确定方程f (x)=兰些实数根的个数；i-l(x) , y=g (x)公切线的条数，并证明你的结论

23、.，即lnx -仁分别作出y=lnx - 1和y=L的函数图象，由图象可知：y=lnx - 1和y=r的【解答】解：(1 )由题意得lnx= 十(2)我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=fX-lX-1函数图象有两个交点，方程f (x)= 卑有两个实根；s-1(2)解：曲线y=f (x) ，y=g (x )公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f (x) =lnx ，g (x) =ex的切点分别为(m，lnm )，(n，en)，化简得有两个实根,，()m_lm剂，ITIF IE当 m=1 时，(m 1)当m工1时，(m - 1)1 e 二巴 LI)由(1)可知，方程

24、lnm= 二曲线y=f (x) ，y=g (x )公切线的条数是2 条.【作业 5】.已知函数 f (x) =x 2+2 (1 - a) x - 4a , g (x)=丄-(a+1 ) 2,则f (x )和g (x)图象的公切线条数的可能值是 .【作业 1 解答】解：(1) f' x) = (2x+1 )(x - 1) 2=0 , x=-或 1 ,x=-丄是h (x )的零点；巾x) =k -7，k v0 , g ' x)<0 , g (x )在1 , + %)上单调递减，g (x)的最大值为g (1)=k+1 .k v- 1, g (1 )v 0 , g (x )在1

25、, + %)上无零点；k= - 1 , g (1) =0 , g (x )在1 , + %)上有 1 个零点；-1 v k v 0 , g (1 )> 0, g (e1 - k) =ke 1 - k+k v 0 , g (x)在1 , + %)上有1个零点；综上所述，k v- 1时，h (x)有1个零点；-1 <k v0时，h (x)有两个零点；(2)设切点(t, f (t), f ' x) =6x 2 - 6x，切线斜率 f ' () =6t 2 - 6t ,切线方程为 y - f (t) = (6t2- 6t ) (x - t),切线过 P (a,- 4 ),.

26、-4 - f (t) = (6t2 - 6t)( a - t),4t3- 3t2- 6t2a+6ta - 5=0 由题意，方程有3个不同的解.令 H (t) =4t 3 - 3t2- 6t2a+6ta - 5，则 H (t) =12t 2 - 6t - 12at+6a=0. t=-或a.a=丄时，H ' t0>0 , H (t )在定义域内单调递增，H (t)不可能有两个零点， 方程不可能有两个解，不满足题意；a寺时，在(-巾，斗)，(a, + %) 上, H ' t O>0，函数单调递增，在(丄,极小值为a)上，H ' 0< 0，函数单调递减，H (

27、t)的极大值为H(a);，+ %)上，H ' t0>0，函数单调递增，在(*"丄时，在("a)，丄)上，H ' t0< 0，函数单调递减，H (t)的极大值为H (a)，极小值为 (丄)；要使方程有三个不同解，则HH (a)< 0，即(2a - 7)(a+1 )(2a25a+5 )> 0， a >或 a < 1 .【作业2解答】解：由已知得f (x) =ax 2+ (2a+1 ) xe x，f (0) =0，所以 f (x) = (ax2+x 1) ex.(1) f (x) =ax 2+ (2a+1 ) xe x=x (a

28、x+2a+1 ) ex. 若 a > 0，当或 x > 0 时，f (x) > 0 ；当时，f (x) <aa0，所以f ( x )的单调递增区间为("，-2丄)，()，+*)；单调递减区间为(-2-j. 若 a=0，f (x) = (x 1) ex，f (x) =xe x，当 x >0 时，f (x) >0 ；当 x< 0 时，f (x )< 0，所以f (x)的单调递增区间为(0，+ %)；单调递减区间为(-X， 0). 若 三MrCO，当工或 x <0 时，f (x) <0丄时，f (x)zaa> 0，所以f (

29、 x )的单调递增区间为4 -A丄)；单调递减区间为a(6, 0),(-戈丄，心).a 若二-一工 /，-. I,故f (x)的单调递减区间为(-g,+ X).Hu 若八丄，当- 一或 X > 0 时，f ( X )V 0 ；当-时，f ( X )> 0 ,所以f ( X )的单调递增区间为(-2- - 0);单调递减区间为 a(七比-2),(0.+8).a当a>0时，f (x)的单调递增区间为-I. I. ;单调递减区间a为(-2-丄，0).fl当a=0时，f (x)的单调递增区间为(0 , + g);单调递减区间为(-g, 0)., 当 卓W0时，f ( x )的单调递增

30、区间为(0, -2-1-)；单调递减区间为 (七比0人(-戈丄，心).a当二-时，f (x)的单调递减区间为(-g,+ g);当*_时，f (x)单调递增区间为(-2-丄 0);单调递减区间为2'),2aa(0, + g);(2) 证明：g (x) =e -xf (x) +1 nx= e -x (ax2+x 1 ) ex+Inx=ax 2+x 1+lnx ,设l2的方程为y=k 2X ,切点为(X2 , y2)，则,所以X2 = 1 ,y2=e , k2=e .由题意知ki= k2= e ,所以li的方程为y= - ex，设li与y=g (x)的切点为(xi, yi),又二曰+-1 +

31、 1 口IT二-UX i , 即 区41门玄专二0, 令亠一,u (x)是单调递增函数,在定义域上，u' (x )> 0，所以(0 , + X)上,'一一',所以c+1令t2+ (e+1) t4(守铝，-(甘1)刁 <e+22e?【作业3解答】解：(1 )证明：设F (x)=f (X)- g (x)，则 F' x)3_2由 F' (x) =0 ,得 x=3，当 0 v x v 3 时,F' (x )v 0,当x >3时F' (x)>0，可得F (x)在区间(0 , 3 )单调递减，在区间(3, +%)单调递增, 所

32、以F (x)取得最小值为F (3) =ln3 1 >0 ,F (x) > 0，即 f (x) > g (x);(2)假设曲线f (x)与g (x)有公切线，切点分别为P (X。, Inx0)和Q (xi, 1,3f x)=-I,g ' () f因为所以分别以P (X0,3Inx 0)和Q (xi, 2 )为切线的切线方程为y=+lnx 01, y=只1If 13xd'百2 工1In sL1-八LI 1 -,K1令即 2lnx 1 +”1令 h (x) =2lnx 1+ 'K1(3+ln3 ) =0 .(3+1 n3 )所以由h ' X)=丄-丄

33、=0，得xi=3 .心显然，当 0 v xiv 3 时，h' (x )v 0,当 xi> 3 时，h' (x )> 0 ,所以 h (x ) min =ln3 1 > 0 ,所以方程2lnx 1 +旦(3+ln3 ) =0无解,故二者没有公切线.所以曲线y=f (x )和y=g (x)不存在公切线;(3) ( 1+1 X2 ) (1+2 X3) ? 1(+2012 X2013 )> e4021理由：由(1)可得lnx >2 (x>0),可令 x=1+ n (n+1 )，可得 ln (1+n (n+1 ) )> 2 1+n (n+1)n(

34、rd-15A1(n|n+l)，=2 3则 ln (1+1X2) +ln (1+2 X3) + +ln (1+2012 X2013 )> 2 X20121111 .122+320123 (1 )=4024 3+32013>4021 .即有(1+1X2)(1+2 X3)( 1+2012 X2013 ) >e4021【作业4解答】解：(I)： f (x) =xblnx ,x() =1+ P 一， 由于曲线y=f (x)在点(1，f (1)处的切线垂直于y轴,故该切线斜率为0，即f'1) =0 ,即1+1 b=0 ,b=2 ;(2)假设f (x) , g (x)的图象在其公共点(xo, yo)处存在公切线,由 f (x)=a (x 丄)2lnx，得 fax "-2 ic+a2Xg由 f' (o) =g ' xo)，得=2x o，