利用导数解不等式考点与题型归纳

1、利用导数解不等式考点与题型归纳考点一 f(x)与f' (x)共存的不等式问题1 .典例(1)定义在R上的函数f(x),满足f(1)=1,且对任意xC R都有f' (x)v,则不 等式f(lg x)>吟的解集为 .(2)设f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当xv 0时，f' (x)g(x)+f(x)g' (x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)。的解集为.1解析由题息构造函数g(x)= f(x)x,i ，一，1则 g' (x)=f' (x)2<0,所以g(x)在定义域内是减函数.1 1因为 f(1

2、) = 1,所以 g(1)=f(1)2=2，lg x+ 111由 f(ig x)> 2-,彳# f(ig x)ig x>2.rr.11即 g(ig x)=f(ig x)-2lg x>2=g(1)，所以 lg xv1,解得 0vxv10.所以原不等式的解集为(0,10).(2)借助导数的运算法则,f' (x)g(x)+f(x)g' (x)>0? f(x)g(x)' >0,所以函数 y=f(x)g(x) 在(一8, 0)上单调递增.又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(3,0), (3,0).数形结合可求得

3、不等式f(x)g(x) v 0的解集为(8 , - 3) U (0,3).答案(1)(0,10) (2)(8, 3) U (0,3)解题技法(1)对于不等式f' (x) + g'仅)>0(或0),构造函数F(x) = f(x)+g(x).(2)对于不等式f' (x) g'仅)>0(或0),构造函数F(x) = f(x)-g(x).特别地，对于不等式 f' (x)>k(或v k)(kw 0),构造函数F(x)=f(x)-kx.对于不等式 f' (x)g(x) + f(x)g' (x)>0(或v 0),构造函数 F(x

4、) = f(x)g(x).对于不等式 f' (x)g(x) f(x)g' (x)>0(或v 0),构造函数 F(x) = f(g(x)w0). g x典例 设f' (x)是奇函数f(x)(xC R)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，xf' (x) f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. ( 8, 1)U(0,1)B. (-1,0)U(1, +oo)C. (8, 1)U (1,0)D. (0,1) U (1 , +oo)(2)设函数f(x)在R上的导函数为f' (x),且2f(x)+xf' (x)

5、>x2,则下列不等式在R上恒成立的是()B. f(x)< 0A. f(x)>0C. f(x)>xxf' x f xx2D. f(x) < xf x解析令g(x)=k，则g (x) = x由题意知，当x>0时，g' (x)V0, g(x)在(0, + 8)上是减函数. f(x)是奇函数，f(- 1)=0,. f(1)=-f(-1)=0,. g(1) = f(1)=0, 当 xC (0,1)时，g(x)>0,从而 f(x)>0;当 xC(1, +8)时，g(x)V0,从而 f(x)< 0.又f(x)是奇函数， 当 xC (8,

6、1)时，f(x)>0;当 xC(1,0)时，f(x)<0.综上，所求x的取值范围是( 8, - 1)U(0,1).,C1，(2)令 g(x) = x2f(x) 4x4,则 g (x)= 2xf(x) + x2f (x) -x3= x2f(x) + xf (x) x2.当 x>0 时，g' (x)>0, g(x)>g(0),即 x2f(x) 4x4>0,从而 f(x)>4x2>0;当 x<0 时，g' (x)<0, g(x)>g(0),即 x2f(x) 4x4>0,从而 f(x)>4x2>0;当

7、x=0 时，由题意可得 2f(0)>0,f(0)>0.综上可知，f(x)>0.答案(1)A (2)A解题技法(1)对于 xf' (x)+nf(x)>0 型，构造 F(x)=xnf(x),则 F' (x) = xn x2>0.典例(1)已知f(x)为R上的可导函数,且？ xCR,均有f(x)>f，(x),则有()A. e2 019f(2 019)vf(0), f(2 019) >e2 019f(0)B. e2 019f(2 019)<f(0), f(2 019)ve2019f(0)C. e2 019f(2 019)>f(0),

8、 f(2 019) >e2 019f(0)D. e2 019f(2 019)>f(0), f(2 019)ve2 019f(0) (2)已知定义在 R上的函数f(x)满足f(x)+2f' (x)>0恒成立，且f(2) = '(e为自然对数的 ex底数)，则不等式exf(x) e 2 > 0的解集为 .一 ，一， fx ， f' xfx _.解析(1)构造函数h(x)= 才，则h (x)=-x<0,即h(x)在R上单倜递减，eef -2 019 f0故 h( 2 019)>h(0),即>-q-? e2 019f( 2 019)&g

9、t;f(0);同理，h(2 019)<h(0),即 f(2e 019 e019)ve2 019f(0),故选 D.x(2)由 f(x)+2f' (x)>0 得 2 2f x+f' x >0,可构造函数 h(x) = e2f(x),则 h' (x) = 1exxxf' (x)+nf(x)(注意对 x1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf' (x) + f(x)>0,构造F(x) = xf(x),则F' (x) = xf' (x) + f(x)>0.f x ,xf' x nf xn(2)对于 xf&

10、#39; (x) nf(x)>0(xw 0)型，构造 F(x) = "xn",则 F (x)=y1(注意对 x+ 1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf' (x) f(x)>0,构造F(x) = f*，则F' (x) = xxf' x fx(2)对于不等式f' (x) f(x)>0(或V 0),构造函数 F(x) = f-x-. e考点二不等式恒成立问题不等式恒成立问题的基本类型类型1：任意X,使得f X >0,只需f X min>0.类型2：任意X,使得f X < 0,只需f X maxV 0.类型

11、3：任意X,使得fX>k,只需fXmin>k.类型4：任意X,使得f X < k,只需f X maX< k.类型5：任意X,使得f X >g X ,只需h X min = f X g X min > 0.类型6:任意x,使得f x v g x ,只需h X max= f X g X maxV 0.典例已知函数f(x)=ax+ ln x+ 1,若对任意的x>0, f(x)w xe2x恒成立，求实数 a的 取值范围.解法一：构造函数法设 g(x) = xe"axln x 1(x> 0),对任意的 x>0, f(x)w xe2x恒成立，

12、等价于 g(x)> 0 在(0, + 8)上恒成立，则只需 g(x)min>0即可.1因为 g (x)=(2x+1)e2X a-, X令 h(x)= (2x+ 1)e" a X(x> 0),1则 h(x)=4(x+ 1)e2x+-2>0,X所以h(x)=g' (x)在(0, +8)上单调递增，因为当 x 0 时，h(x) 8 ,当 x + 8 时，h(x) + 8 ,所以h(x)=g' (x)在(0, + 8)上存在唯一的零点xo,满足(2x0 + 1)e2xo a X =。，所以a= (2x0 + 1)e2xo ,且g(x)在(0, xo)上

13、单调递减，在(xo, + 00)上单调递增 X0所以 g(x)min= g(xo) = xoe2x0 axo ln xo 1= 2xoe2xo ln xo,则由 g(x)min>0,得 2x2e2xo+ln xo<0,ln xo此时 0vxov 1, e2xo< 2x2 ,所以 2xo + ln(2xo)w ln( ln xo)+ ( ln xo),一i 1设 S(x) = x+ln x(x>0),则 S (x) = 1+->0, x所以函数S(x)在(0, + 8)上单调递增，因为 S(2xo)<S(-ln xo),1所以 2xoW ln xo 即 e2x

14、ow 一 xo'所以 a= (2xo + 1)e2xo <(2xo + 1) =2, xoxo xo所以实数a的取值范围为(一8, 2.法二：分离参数法ln x+ 1因为f(x)=ax+ln x+ 1,所以对任意的x>o, f(x)wxe2x恒成立，等价于 aWe2x-一x在(o, + 8)上恒成立.ln x+ 12x所以g(x)有唯一白零点xo,且4<xov1,所以当 ovxvxo 时，m' (x)<o,当 x>xo时，m' (x)>o,所以m(x)在(o, xo)上单调递减，在(xo, + °°)上单调递增，因

15、为 2x2e2xo + In xo = o,所以 In 2 + 2ln xo + 2xo = ln( In xo),即 ln(2xo) + 2xo= ln( - In xo)+ ( In xo),1设 s(x)=ln x+x(x>。)，则 s (x)= +1>o, x所以函数s(x)在(o, +8)上单调递增，因为 s(2xo) = s(- ln xo), 1所以 2xo = ln xo,即 e2xo=, xoe2x+ In x令 m(x) = e2x x(x>o),贝U只需 awm(x)min即可，贝U m' (x) =x,再令 g(x)= 2x2e2x+In x(

16、x>。),则 g' (x)= 4(x2+x)e2x+ ->o,所以 g(x)在(o, + 8)上单 x调递增，1 e2因为 g 4 = g - 2ln 2<o, g(1) = 2e2>o,ln x0+ 111n x01所以 m(x)>m(x0)=e2x0-X0=短一x0- 一1=2,则有 a<2,所以实数a的取值范围为(一8, 2.解题技法求解不等式恒成立问题的方法(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)>g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数 h(x)= f(x)- g(x)或“右减左”的函数 u(x) = g(x)

17、-f(x),进而只需满足 h(x)min>0或U(x)maxW0,将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论.(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a,另一端是变量表达式 v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y=a与函数y= v(x)图象的交点个数问题来解决.题组训练(2019陕西教学质量检测)设函数f(x)=1n x+k, kCR. x(1)若曲线y=f(x)在点(e, f(e)处的切线与直线x2 = 0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；(2)若

18、对任意的x1>x2>0, f(x1)一 f(x2) vx1 一 x2恒成立，求k的取值范围.1 k斛：(1)由条件得 f (x) =x x2(x> 0),曲线y= f(x)在点(e, f(e)处的切线与直线 x- 2= 0垂直，一 1k ,一- f (e)= 0,即 e-e2= 0,得 k= e,1 e x 一 ef' (x)=;/=.(x>o), x x x由 f' (x)<0 得 0vxve,由 f' (x)>0 得 x>e,，f(x)在(0, e)上单调递减，在(e, + 00)上单调递增.当x=e时，f(x)取得极小值，

19、且f(e)=1n e + e= 2. ef(x)的极小值为2.(2)由题意知，对任意的x1>x2>0, f(x1)x1V f(x2) x2恒成立，设 h(x) = f(x) x= In x+x(x> 0),x则h(x)在(0, + °°)上单调递减,1k(x)= X - 2_ 10 在(0, + 00)上恒成立,1 9 1 一,、即当 x>0 时，k> -x2+x= X 2 2+4恒成立,11.*4.故k的取值范围是 分，十°° 考点三可化为不等式恒成立问题可化为不等式恒成立问题的基本类型类型1:函数fx在区间D上单调递增，

20、只需f' x >0.类型2：函数fx在区间D上单调递减，只需f' x <0.类型 3 ：?X1 ,X2 D , f X1 > gX2 ,只需 f X min > g X max.类型 4：?X1 CD 1,? X2 C D2 ,f X1>g X2 ,只需 f X min > g X min.类型 5：?X1 D1 ,? X2C D2,fX1<g X2 ,只需 f X maxV g X max.1典例 已知函数f(x)=zx3 + X2+ ax. 3(1)若函数f(x)在区间1, +8)上单调递增，求实数a的最小值；(2)若函数 g(x)

21、 = A，对？ X1 2, 2 , ? X2C 2, 2 ,使，(X1)W g(x2)成立，求实数 a 的 enn取值范围.解(1)由题设知 f (x) = x2+2x+a>0 在1 , + 8)上恒成立，即 a> -(x+ 1)2+ 1 在1 , + 8)上恒成立，而函数y=(x+ 1产+ 1在1 , + 00)单调递减，则ymax= - 3,，a> 3, - -a的最小值为 -3.111 一(2) "?xiC 2,2 , ? X2C2,2 ,使 f' (X1)wg(x2)成立”等价于“当 xC ", 2 时，f (x)maxW g(x)max&

22、quot;.co1f' (x)=x2+2x+ a=(x+ 1)2+a1 在 2, 2 上单调递增,. f，(x)max=f，(2)=8+a.1 X而 g' (X) = 5T,由 g' (x)>0,得 x<1, e由 g ' (x)v 0,得 x> 1 , g(x)在(8, i)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.、1 1，当 XC 2，2 时，g(X)max=g(1) = &.,.11 一由 8 + aw 倚 aw 8 ee、，1 c实数a的取值范围为8, 7-8 .e解题技法(1)? X1C D1, ? X2CD2, f(X1)&g

23、t;g(X2),等价于函数 f(x)在D1上的最小值大于 g(x)在D2上的最小值即f(X)min > g(X)min(这里假设f(X)min , g(X)min存在).其等价转化的基本思想是：函数y=f(X)的任意一个函数值大于函数y=g(X)的某一个函数值，但并不要求大于函数y=g(X)的所有函数值.(2)?X1CD1, ? X2D2, f(X1)Vg(X2),等价于函数 f(X)在D1上的最大值小于函数g(X)在D2上的最大值(这里假设f(X)maX, g(X)maX存在).其等价转化的基本思想是：函数 y= f(X)的任 意一个函数值小于函数y = g(X)的某一个函数值，但并不

24、要求小于函数y= g(X)的所有函数值.题组训练3x- 3- 3已知函数 f(X)= x+ 1 , g(X)= - x3+ 2(a+ 1)X2- 3aX- 1,其中 a 为吊数.(1)当a=1时，求曲线g(x)在x = 0处的切线方程；(2)若a<0,对于任意的X1 1,2,总存在X2C 1,2,使得f(x1) = g(X2),求实数a的取值 范围.解：(1)当 a=1 时，g(x)=- x3+3x2-3x- 1,所以 g' (x) = 3x2+6x 3, g' (0)=3,又因为 g(0) = 1,所以曲线g(x)在x= 0处的切线方程为 y+1 = 3x,即3x+y+

25、1 = 0.3x-3("短73 x+ 1 -667 工1 一 1当 xC 1,2时，x+13所以一 C 3, 2, x+1.6所以3- 0,1,故f(x)在1,2上的值域为0,1.x+ 1,° 3由 g(x) = x3+2(a+1)x23ax1,可得g (x) = 3x? + 3(a + 1)x 3a = 3(x 1)(x a).因为 a<0,所以当 xC1,2时，g' (x)<0,所以g(x)在1,2上单调递减，故当xC 1,2时，331g(x)max= g(1) = 一 1 + 2(a+ 1) 3a1 = 2a一2'g(x)min = g(2

26、) = 8 + 6(a+ 1) 6a 1 = 3,31即g(x)在1,2上的值域为一3, 一2a 2.因为对于任意的x1 1,2，总存在x2C1,2,使得 f(x1)=g(x2), c 31所以0,1? -3，- 2a- 2，31-所以2a-2>1,解得 aw 1, 故a的取值范围为(8, 1.课时跟检测1 .(2019南昌调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f (x), 若对任意的x>0都有2f(x) + xf' (x)>0成立，则()A. 4f(-2)<9f(3)B. 4f( 2)>9f(3)C. 2f(3)>3f

27、(2)D. 3f(-3)<2f(-2)解析：选A 根据题意，令 g(x) = x2f(x),其导函数g' (x)=2xf(x)+x2f'(x),又对任意 的 x> 0 都有 2f(x)+xf' (x)>0 成立,则当 x> 0 时,有 g' (x)=x2f(x)+xf' (x)>0 恒成立, 即函数g(x)在(0, + 8)上为增函数，又由函数 f(x)是定义在R上的偶函数，则f(-x)=f(x), 则有 g(- x) = (- x)2f(- x) = x2f(x) = g(x),即函数 g(x)也为偶函数，则有 g(-2)

28、= g(2),且 g(2) <g(3),则有 g(-2)<g(3),即有 4f(-2)<9f(3).2 . f(x)在(0, +8)上的导函数为，(x), xf' (x)>2f(x),则下列不等式成立的是()A. 2 0182f(2 019) >2 0192f(2 018)B. 2 0182f(2 019) v 2 0192f(2 018)C. 2 018f(2 019) >2 019f(2 018)D. 2 018f(2 019) <2 019f(2 018)0,解析：选 A 令 g(x) = fx, xC(0, +8),则 g' (

29、x) = X2f' x 2xf xxf' x 2f xX4X3则g(x)在(0, + 8)上为增函数,f 2 019 f 2 018即 2 0192 2 0182 '.2 0182f(2 019) >2 0192f(2 018).3. (2019郑州质检)若对于任意的正实数yx, y 都有 2x- elnywme成立,则实数m的取值范围为(r1D. 0, 一 e解析:, y y x由 2x elnxWm；，可得2e- ylnyw 工 x my .设工=t,令 f(t) = (2e-t) - tln t>0, x一，2e 人则 f (t) = ln t+11,

30、令 g(t) =2e . 1ln t + 71, t>0,则 g (t) = 一,2e一彳< 0,g(t)在(0, +8)上单调递减，即 F (t)在(0, +8)上单调递减.f/ (e)=0, .-.f(t)在(0, e)上单调递增，在(e, + )上单调递减,1. f(t)max= f(e) = e, eWm，一，1，实数m的取值范围为0,二 e4 .设函数f(x) = ex x+- 3 a(e为自然对数的底数),若不等式f(x)< 0有正实数解, xx、则实数a的最小值为解析：原问题等价于存在xC (0,+8),使彳导a>ex(x2-3x+3),令g(x) = e

31、x(x2-3x+ 3), x (0, 十 °°),则 a>g(x)min.而 g' (x)= ex(x2 x),由 g' (x)>0 可得 x (1, 十 °°),由 g' (x)<0可得xC (0,1), ,函数g(x)在区间(0, + 8)上的最小值为g(l)=e.综上可得，实数 a的最 小值为e.答案：e5 . (2018 武汉质检)已知 f(x)=xln x, g(x) = x3+ax2x+ 2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意xC (0, +oo), 2f(x)Wg，(x) + 2恒成立，

32、求实数a的取值范围.解：(1);函数f(x)= xln x的定义域是(0, +°°),. f，(x)= ln x+ 1.1令 f (x)<0,得 In x+1v0,解得 0vxv工 ef(x)的单调递减区间是0, 1 .e1令 f (x)>0,得 In x+1>0,解得 x>_, ef(x)的单调递增区间是 L + 00 . e综上，f(x)的单调递减区间是0, 1 ,单调递增区间是3, + 8 .ee(2) . g, (x) = 3x2 + 2ax1,2f(x)w g ' (x)+2 恒成立，2xln x< 3x2+2ax+1 恒成立

33、.x>0,，a> In x- 3x- 1-在 xC (0, 十00)上恒成立.设 h(x)=ln x-3x-，(x> 0),则 h' (x)=1 22x2 2xx31 x 1 3x+112+ M=-2x2.令 h1' (x)=0，得 x=1, x2= 3(舍去).当x变化时，h' (x), h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1 , + 8)h' (x)十0一h(x)极大值.当乂= 1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且h(x)max=h(1) = 2, .若a>h(x)在xC(0, + 8)上恒成立，则 a>h(x)max

34、=-2,故实数a的取值范围是 2,十).6. (2019郑州质检)已知函数f(x)=ln x-a(x+ 1), a R,在点(1 , f(1)处的切线与x轴 平行.求f(x)的单调区间;x2 -1(2)若存在xo>1,当xC(1, xo)时，恒有f(x) e+Zx + aRx1)成立，求k的取值氾围.解:(1)由已知可得f(x)的定义域为(0, +8).f'.1 一 .(x)=1一a,，f (1)=1 a=0,，a=1, xf'(x)=；T=?x x令 f' (x)>0,得 0vxv 1,令 f' (x)< 0,得 x> 1 ,f(x)的

35、单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, +8).x21一 ,x21(2)不等式 f(x)万+2x+2>k(x1)可化为 In x- + x-2>k(x- 1).人x21x2+ 1kx+1令 g(x)= In x 万 + x2 k(x- 1)(x>1),，1则 g (x)=x+1 k= x1 k令 h(x) = x2+(1 k)x+1(x> 1),则 h(x)的对称轴为 x= -2.1 k当一2-1,即k>-1时，易知h(x)在(1, xo)上单调递减,. h(x)vh(1) = 1 k.若 k>1,则 h(x)v0, .(x)< 0,. g(x)在(1, xo)上单调递减，g(x)vg(1) = 0,不合题意；若一1Wkv1,则 h(1)>0, 必存在 xo使得 xC (