初中数学知识点归纳总结(中考数学知识点梳理)

1、初中数学知识点归纳总结（中考数学复习）第一部分教材知识梳理系统复习第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分（正有理数有理数J _o_L有限小数或正实数负有理数J无限循环小数实数0实数'正无理数%实数无理数r 无限不循环小数负无理数J（1）2_既不属于正数，也不属于负 数.（2）无理数的几种常见形式判断： 含兀的式子；构造型：如3. 010010001（每两个1之间多个 0）就是一个无限不循环小数；开 方开不尽的数：如，；三角函数 型：如 sin60° , tan25° .（3）失分点警示：开得尽方的

2、含根 号的数属于有理数，如=2, =-3,它 们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的 点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2. 5表示的点到原点的距离是 2. 5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数今a+b=O（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为飞，特别的0的绝对 值是0.例：3的相反数是心，-1的相反数 是L4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a| = f a （aO）； .1 -a

3、 （a VO）.（1）若 x =a （a20）,则 x二士a.（2）对绝对值等于它本身的数是非 负数.例：5的绝对值是色|-21=2；绝对a-b!a-b (a2b)<b-a(aVb)(3)非负性：|a| 20,若|a|+b2=0,则 a=b=O.值等于3的是±3; 1-|=-1.5倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为l/a（aWO）（2）代数意义：ab=16a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本 身的数有土1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学 记数法（1）形式：aX10,其中iw|a| V10, n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数

4、，n等于原数 的整数为减去卜 对于小数，写成aXl（T, 1W a <10, n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含 小数点前面的一个）例：21000用科学记数法表示为2. IX 支；19万用科学记数法表示为L9X 10：； 0. 0007用科学记数法表示为7 X W1.7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精 确到哪一位.例：3. 14159精确到百分位是34；精 确到 0. 001 是 3. 142.知识点四：实数的大小比较8.实数 的大小 比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边 的数大.（2）性质

5、比较法：正数>0>负数；两个负数比较大小， 绝对值大的反而±.（3）作差比较法：a-b>O<a>b； a-b=O<»a=b； a-b< 0<a<b.（4）平方法：a>b0<»a3>b2.例：把1, -2, 0, -2. 3按从大到小的顺 序排列结果为->0>-2>-2. 3_.知识点五：实数的运算9. 常 见 运 算乘方几个相同因数的积；负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算：1-2-6=_-7_; （-2"二3-1;（2）64的平方根是一±8_,算术

6、平方零次事a° 二 _l_(aW0)负指数累al/ap (aWO, p 为整数)平方根、算术平方若* （a20）,则x二±6二其中百是算术平方 根.根根是8_,立方根是_4_.失分点警示：类似”的算术平方根” 计算错误.例：相互对比填一填： 16的算术平方根是1_,的算术 平方根是_2.立方根若 x3=a,则 x=>/a 10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算， 从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算， 按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可 以结合运算律，使问题简单化知识清单梳理知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念A（1）

7、分式：形如色（4 5是整式，且8中含有字母， B身0）的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）五是常数，不是字母.例：下列分式：;；;土吧，其中JT-1是分式是;最简分式2.分式的 意义（1）无意义的条件：当6=0时,分式E无意义； D（2）有意义的条件：当方时，分式2有意义； B（3）值为零的条件：当月三0,些0时，分式弓=0.失分点警示：在解决分式的值为0， 求值的问题时，一定要注意所求得 的值满足分母不为0.例：当二的值为0时、则x = -1.x-1一3.基本性 质（1）基本性质：2=±£

8、=上£（分0）. B BC B+C（2）由基本性质可推理出变号法则为：A ： -A ： _（刊4 二一4= AB -B BB B -B'由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：2T口 x + 2x +1 x + 知识点三：分式的运算4分式的 约分和通 分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，am aBP -=-； bin b(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即，=h a be be分式通分的关键步骤是找出分式的 最简公分母，然后根据分式的性质 通分.例：分式_和一1的最简公 厂+x x(x-l)分母为5.

9、分式的 加减法同分母：分母不变，分子相加减.即£士93; C CC(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即1 Uc ad土 be例：+=1. x-l 1-x112ciH-.4 + 1 4 - 1 er -16.分式的 乘除法(1)乘法：?$=言(2)除法：b d bab d be乘方：(2 =，3为正整数).a b121 c例：=一；一一=2y；2b a 2 x k.v(3 V 77u 一立7.分式的 混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因 式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应 用.一般先算乘方，再算乘除，最后算

10、加减，若有括号， 先算括号里面的.失分点警示：分式化简求值问题， 要先将分式化简到最简分式或整式 的形式，再代入求值.代入数值时注 意要使原分式有意义.有时也需运 用到整体代入.第3讲二次根式知识清单梳理知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念(1)二次根式的概念：形如/(a20)的式子.(2)二次根式有意义的条件：被开方数次于或等于0.(3)最简二次根式：被开方数的因数是整数，因失分点警示：当判断分式、二次根 式组成的复合代数式有意义的条 件时，注意确保各部分都有意义， 即分母不为0,被开方数大于等于式是”（分母中不含根号）；被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式0等.例：若代数式，

11、；、有意义， 则x的取值范围是X>1.2.二次根式的性质（1）双重非负性：被开方数是非负数，即二次根式的值是非负数，即注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶募、算 式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负：当多个非负数的和为 0时，可得各个非负数均为0.如 而1+"7:0,则乎二，b=l.（2）被开方数非负：当互为相反数 的两个数同时出现在二次根式的 被开方数下时.，可得这一对相反数 的数均为0.如已知b二1 + 任/贝lj a=l, b=。.（2）两个重要性质:（小尸二旦（3>0）； 2二区=:（3）积的算术平方根：向=«物Q20,

12、620）；（4）商的算术平方根：g呼 （a0, b>0）.例：计算：5/3.142 =3. 14； *2)2 =&V24- -o 日=4=2V ； 一2 ；山63知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同 的二次根式.例：计算：/8 + ,32 = 35/2 二4.二次根式 的乘除法(1)乘法：a y/b =4ab (a20, 620)；(2)除法：号啸 Q2O, b>0).注意：将运算结果化为最简二次根 式.例：计算:W孽普生5二次根式 的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘 除，最后算加减，有括号的先算括

13、号里面的（或先去 括号）.运算时，注意观察，有时运用乘法 公式会使运算简便.例：计算：（点+1）（ a _i）=i_.第二单元 方程(组)与不等式(组)第4讲一次方程(组)知识清单梳理知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式，所 得结果仍是等式.即若a=6,则a±c=b±c .(2)性质2：等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能 为0),所得结果仍是等式.即若a=b,则ac=bc,色=2 C C(cWO).(3)性质3：(对称性)若a=b,则b=a.(4)性质4：(传递性)若a=b, b=c,则a=c.失

14、分点警示：在等式的两边同除 以一个数时，这个数必须不为 0.例：判断正误.(1)若 a=b,则 a/c=b/c. (X) 若 a/c=b/c,则 a=b. ( J)2.关于方程 的基本概念(1)一元一次方程：只含有二个未知数，并且未知数的 次数是1,且等式两边都是整式的方程.(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数 的项的次数都是1的整式方程.(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程 所组成的一组方程.(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程 的公共解.在运用一元一次方程的定义解 题时，注意一次项系数不等于 0.例：若(a-2)，1+。=0是关于X 的一元一次方程

15、，则a的值为 0.知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组3.解兀次方程的步骤(D去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘 常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax-b(aWO)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x =一b/a.失分点警示：方程去分母时，应 该将分子用括号括起来，然后再 去括号，防止出现变号错误.4.二元一次思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组，求相关代数式的值方程组的解法方法：（1）代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表 达式，再把“它”代入另

16、一个方程，进行求解；（2）加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消 去一个未知数的方法.时，需注意观察，有时不需解出 方程组，利用整体思想解决解方 程组.例：已知O'）则 （x-2y = 3x-y的值为x-y=4.知识点三：一次方程（组）的实际应用5.列方程（组）解应用题的 一般步骤（1）审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设未知数；（3）列方程（组）：找出等量关系，列方程（组）；（4）解方程（组）；（5）检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意：（6）作答：规范作答，注意单位名称.（1）设未知数时，一般求什么 设什么，但有时为了方便，也可 间接设未知数.如题目中涉

17、及到 比值，可以设每一份为X.（2）列方程（组）时，注意抓 住题目中的关键词语，如共是、 等于、大（多）多少、小（少） 多少、几倍、几分之儿等.6.常见题型 及关系式（1）利润问题：售价二标价X折扣，销售额;售价义销量,利润二售价-进价，利润率二利润 /进价 X 100%.（2）利息问题：利息二本金X利率X期数，本息和二本金+利息.（3）工程问题：工作量;工作效率X工作时间.（4）行程问题：路程二速度X时间.相遇问题：全路程二甲走的路程+乙走的路程； 追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程二追者走的路程；b.同时不同地出发：前 者走的路程+两地间距离二追者走的路程.第5讲一元二次方程知识清

18、单梳理知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元（1）定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式例：方程+2 = 0是关于二次方程方程.X的一元二次方程，则方程的相关概（2）一般形式：aH+6x+c=0（aW0）,其中bx、c 分别叫的根为一1念做二次项、一次项、常数项，a、6、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.2,一元二 次方程的 解法(1)直接开平方法：形如(户加三A(A2O)的方程，可直接开 平方求解.(2)因式分解法：可化为(axni)(加+n)-0的方程,用因式分 解法求解.(3 )公式法:一元二次方程&+6x+c=0的求根公式为产T注加(A

19、4ac20). 2a(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1, 一次项系数为 偶数时，也可以考虑用配方法.解一元二次方程时，注意 观察，先特殊后一般，即 先考虑能否用直接开平方 法和因式分解法，不能用 这两种方法解时，再用公 式法.例：把方程x2+6x+3=0变形 为(x+h)三k的形式后， h=0, k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当/=后一4优2。时.，原方程有两个不相等的实数根.(2)当/ =后一4讹)时，原方程有两个相等的实数根.(3)当4=店一4讹40时，原方程没有实数根.例：方程/+24一1=0的判 别式等于故该方程有两 个不相等的实

20、数根；方程戈2+2x + 3 = O的判另IJ式等 于二故该方程没有实数 根."4.根与系 数的关系(1)基本关系：若关于x的一元二次方程aH+6ec=0(aW0)有 两个根分别为X、则X1+M=一b/a, =c/a.注意运用根与系数 关系的前提条件是420.(2)解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式 的值时，先把所求代数式变形为含有+及、X区的式子，再运 用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关 代数式的常见变形：(Xi+1) (xz+D=XiXc+CXi+Xc) +1, Xi2+x22=(Xi+x2) 2-2x1x2, 1 + 1 _ .v,+.v,等.% x2

21、 ME失分点警示在运用根与系数关系解题 时，注意前提条件时4 =b2-4ac>0.知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程(1)解题步骤：审题；设未知数：列一元二次方程； 解一元二次方程；检验根是否有意义；作答.运用一元二次方程解决实 际问题时，方程一般有两解应用题(2)应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等 方面应用.平均增长率(降低率)问题：公式：6=a(l±x) '，a表示基 数，X表示平均增长率(降低率)，A表示变化的次数，6表示 变化n次后的量；利润问题：利润二售价-成本：利润率=利润/成本X 100%：传播、比赛问题：面积问题：a.直接利用

22、相应图形的面积公式列方程；b.将不 规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系 列方程.个实数根，则必须要根据 题意检验根是否有意义.第6讲分式方程知识清单梳理知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例1.定义分母中含有耒知数的方程叫做分式方程.例：在下列方程中，12+1=0；x +)，= T；-=x,其中是分式方程 x-l的是.2.解分式方 程方程两边同乘以 最简公分母基本思路：分式方科整式方程约去分母解法步骤：(1)去分母，将分式方程化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)检验：把所求得的x的值代入最简公分母 中，若最简公分母为0,则应舍去.例：将方程-+二-=2转化为整

23、式方程X-11 - X可得：1-2 = 2' - 1).3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根.例：若分式方程上=0有增根，则增根 X-1为二.知识点二:分式方程的应用4.列分式方 程解应用题 的一般步骤（1）审题;（2）设未知数；列分式方程；（4） 解分式方程；（5）检验：（6）作答.在检验这一步中，既要检验所求未知数的 值是不是所列分式方程的解，乂要检验所 求未知数的值是不是符合题目的实际意 义.第7讲一元一次不等式（组）知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式 的相关概 念（1）不等式：用不等号（>,2, <, W或W）表示不等关系 的

24、式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例："a与b的差不大于1” 用不等式表示为abWl.2不等式 的基本性 质性质 1：若 a>b,则 a土 c>6土 c；性质 2：若 a>b, c>Or 则 ac>bc,->-； c C性质 3：若 a>b, «0,则.c C牢记不等式性质3,注意变 号.如：在不等式一2x>4中， 若将不等式两边同时除以 2,可得 xV2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都 是1的，左右两边

25、为整式的式子叫做一元一次不等式.例:若叱+2+3>0是关于* 的一元一次不等式，则m的 值为-L.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的 正负性，若系数是负数，则 不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示：0a0 a >0axNax>axWax<a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成 一个一元一次不等式组.（1）在表示解集时“2”， 表示含有，要用实心 圆点表示；“V”， 表示不包含要用空心圆点 表示.（2）已知不等式（组）的 解集情况，求字母系数

26、时， 一般先视字母系数为常数， 再逆用不等式（组）解集的 定义，反推出含字母的方 程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1） x< la的解集是x>l,则a 的取值范围是aVl.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分Z不等式 组解集的 类型假设a<b解集数轴表示口诀4x>a x > b大大取大abx<a x<b小小取小11obaWxWb大小，小大中间找4x>a x< h-I0bv< a x>b无解_1 aJ- b大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等 式解应用 题（1） 一般步骤

27、：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等 式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（2 ”、“最多（W） ”、“不低于 （2） ”、“不高于（W） ”、“不大（小）于"、“超过（>）”、 “不足（V） ”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题， 一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中， 设未知数时，不应带“至 少”、“最多”等字眼，与 方程中设未知数一致.第8讲一次函数知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关（1）概念：一般来说，形如y=Ax+6

28、（AW0）的函数叫做一次函数.特别地，当8 =0时称为正比例函数.例：当女=_时，函数y概念(2)图象形状：一次函数是一条经过点(0也)和 (-b/k,O)的直线.特别地，正比例函数/=左丫的图象是一条恒经过点的直线.= kx+k-l是正比例函数，k, b 符号K>0,b>0K>0, b<0K>0,b二 0K0, b>Q衣0,伙0K0,6=0(1)一次函数y=kx+b中， k确定了倾斜方向和倾斜大致伞L心V程度，b确定了与y轴交图象r点的位置.2. 一次函经过象限、 、四、 、四、-ZZ.、四二、四(2)比较两个一次函数 函数值的大小：性质法，数的性质图象性

29、质y随x的增大而增大y随x的增大而减小借助函数的图象，也可以 运用数值代入法.例：已知函数产一2才+6, 函数值y随x的增大而减 公(填“增大”或“减 小”).3. 一次函 数与坐标 轴交点坐 标(1)交点坐标：求一次函数与X轴的 可；求与y轴的交点，只需令Ax+6(AW0)的图象与x轴的交点是(0, 6)；(2)正比例函数y=k虱k#0)的图象交点，只需令y=。，解出x即 及出y即可.故一次函数y= 、一，0),与y轴的交点是亘过点(0, 0).例：一次函数y=x+2与x轴 交点的坐标是(-2,0), 与y轴交点的坐标是(0,2).知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一 次函数表 达式的条

30、 件(1)常用方法：待定系数法，其一般步骤为：设：设函数表达式为y=kZ从R0)；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组：解：求出A与8的值，得到函数表达式.(2)常见类型：已知两点确定表达式；已知两对函数对应值确定表达式；平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点(0,1),则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1)的(1)确定一次函数的表达 式需要两组条件，而确定 正比例函数的表达式，只 需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与 y轴交点坐标即可得出b 的值,b值为其纵坐标，可 快速解题.如：已知一次坐标代入即可.函数经过点（0,2）,则 可知b=2.5

31、. 一次函 数图象的 平移规律：一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过 平移得到，则可知它们的k值相同.若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b 值减小h.例:将一次函数y=-2x+4 的图象向下平移2个单位 长度，所得图象的函数关 系式为y=-2x+2.知识点二：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=O的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数， kWO）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程 ax+b=O的解为x=l,则函 数y=ax+b与x轴的交点 坐标为（1,0）.（2） 一次函数 y=-3x+12 中，当x二4时

32、，y的值 为负数.7.一次函数与方程组二元一次方彳y=k1X+b的解。两个一次函数y=k1X+b和,皿1丫=Kzx+b-y=k：x+b图象“人八、工仆.8.一次函数 与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围就 是不等式kx+b>0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y<0时，自变量x的取值范围就 是不等式kx+b V0的解集知识点四：一次函数的实际应用9. 一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实

33、际意义；（6）做答.一次函数本身并没有 最值，但在实际问题 中，自变量的取值往往 有一定的限制，其图象 为射线或线段.涉及最 值问题的一般思路：确 定函数表达式f确定 函数增减性一根据自 变量的取值范围确定 最值.10.常见题 型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第9讲反比例函数的图象和性质知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例 函数的概 念（1）定义：形如y="（AWO）的函数称为反比例函数，k叫 X做比例系数，自变量的取值范围是韭塞的一切实数.（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y="y=kx

34、-1;xy=k.（其中k为常数，且kWO）X例：函数y=3xE,当时，则该函数是反比例函数.2反比例 函数的图 象和性质A的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函 数图象上的方法：把点的 横、纵坐标代入看是否满足其 解析式；把点的横、纵坐标 相乘，判断其乘积是否等于 k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比 较时，首先要判断自变量的取 值是否同号，即是否在同一个 象限内，若不在则不能运用性 质进行比较，可以画出草图， 直观地判断.k>Q图象经过第 一、三象限 （x、y 同号）每个象限内，函数y 的值随X的增大而 减小.KO图象经过第 二、四象限 （x、y 异号）每个象

35、限内，函数y 的值随X的增大而 增大.3.反比例 函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与 x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称 图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、 四象限的角平分线.例：若（a, b）在反比例函数y =七的图象上，则（一嬴-Xb）在该函数图象上.（填“在“、不在）4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求 出反比例函数系数A即可.例：已知反比例函数图象过点 （-3, -1）,则它的解析式是 y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数

36、的综合5系数A的 几何意义（1）意义：从反比例函数y=4（AWO）图象上任意一点向x X轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为心|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2 k .（2）常见的面积类型：图见学练优RJ九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片失分点警示已知相关面积，求反比例函数 的表达式，注意若函数图象在 第二、四象限，则kVO.例：已知反比例函数图象上任 一点作坐标轴的垂线所围成 矩形为3,则该反比例函数解析式为：y = -y = -.XX6.与一次 函数的综 合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a, b）, 则根据中心对称性，可得另一个交

37、点坐标为-b）.【方 法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标， 再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与 各字母系数的关系，可采用假设法，分k>0和kVO两种情 况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排 除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方 的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的 范围.涉及与面积有关的问题时， 要善于把点的横、纵坐标转化 为图形的边长，对于不好直接 求的面积往.往可分割转化为较好求.的三角形面积;也要注意系 数k的几何意义.例

38、：如图所示，三个阴影部分 的面积按从小到大的顺序排 歹U为 近吨二§401吟知识点三：反比例函数的实际应用7 .一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第10讲二次函数的图象与性质知识清单梳理1. 一次函 数的定义形如（a, b,。是常数，aWO）的函数，叫做二次函 数.例：如果函数尸（a 1）f是二次函数，那么 a的取值范围是aWO.2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax'+bx+c;顶点式：y=a（x-h尸+k（a W0）,其中二次函数的顶点坐标是（入。；交点式

39、： y=a （x-Xx） （x-x:）,其中Xi, x：为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关 于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从 而求出函数的解析式.若已知条件是图象上 的三个点或三对对应 函数值，可设一般式； 若已知顶点坐标或对 称轴方程与最值，可设 顶点式；若已知抛物线 与X轴的两个交点坐 标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函 数的图象 和性质图象NrI+J.vY a>0>/K/。V 0)（1）比较二次函数函 数值大小的方法:直 接代入求值法;性质 法：当自变量在对称轴 同侧时，根据

40、函数的性 质判断；当自变量在对 称轴异侧时，可先利用 函数的对称性转化到 同侧，再利用性质比 较；图象法：画出草 图，描点后比较函数值 大小.失分点警示（2）在自变量限定范 围求二次函数的最值 时，首先考虑对称轴是 否在取值范围内，而不 能盲目根据公式求解.开口向上向工对称轴b x= - 2a顶点 坐标f b 4ac - h2 4“ J增减性当x_L时，y随x的增大而增大;当xV 一上时，y随x的 2a增大而减小.当田一2时，y随x的增大 2a而减小；当xV-2时，y 2a随X的增大而增大.最值b4ac-h2x=- /最小=.2a ,4。b_ 4ac-h2一二一 y /大.2a4a知识点一：二

41、次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例例：当0WxW5时，抛 物线y=xq2x+7的最小 值为3.系数a、b、ca决定抛物线的开 口方向及开口大 小当a>0时，抛物线开口向上；当aVO时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式 的符号：a±b+c即为x=±1 时，y的值；4a±2b+c即 为x=±2时,y的值. 2a+b的符号，需判 断对称轴-b/2a与L的大小. 若对称轴在直线x二l 的左边，则-b/2a?l, 再根据a的符号即可 得出结果.2a-b的 符号，需判断对称轴与 L的大小.a、b决定对称轴(x=-b/2a)的位置当a, 6同号，-b/2a

42、V0,对称轴在y轴左 边；当b = 0时，-b/2a=0,对称轴为y轴；当a, 6异号，-b/2a>0,对称轴在y轴右 边.c决定抛物线与y 轴的交点的位置当c>Q时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c=0时，抛物线经过原点；当cVO时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.430决定抛物线与X 轴的交点个数-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点；6'4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；6'-4acV0时，抛物线与x轴没有交点知识点三：二次函数的平移4.平移与 解析式的 关系G向一<。)或向才汕向上伙>0)或向卜收S 的图.平移血个单位 ” 的图象平移心

43、单位的图象注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出 原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上 加下减，左加右减”，左 右平移易弄反.例：将抛物线产机沿X轴 向右平移2个单位后所得 抛物线的解析式是y二(x -2)=.知识点四:二次函数与一元二次方程以及不等式5二次函 数与一元 二次方程二次函数片ax'+bx+cQWO）的图象与x轴交点的横坐标是一 元二次方程ax'+bx+c=0的根.当4=624*>0,两个不相等的实数根；当/=6二一4四二0,两个相等的实数根；当/=6'-4ac<0,无实根例：已经二次函数

44、 y=x:-3x+m （m为常数）的 图象与X轴的一个交点为（1, 0）,则关于x的一 元二次方程x:-3x+m=0的 两个实数根为4工6.二次函 数与不等 式抛物线y=a.f+bx+c=O在x轴上方的部分点的纵坐标都为正， 所对应的x的所有值就是不等式+6x+c>0的解集；在x轴 下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式af + 6x+cV0的解集.第11讲二次函数的应用知识清单梳理知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标 系求解，建立的原则：所建立的坐标系 要使求出的二次函数表达式比较简单； 使已知点所在的位置适当（如在x轴，

45、y轴、 原点、抛物线上等），方便求二次函数、 表达式和之后的计算求解. 据题意，结合函数图象求出函数解析式；确定自变量的取值范围；根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值 分析问题中的数量关系，列出函数关系 式；研究自变量的取值范围；确定所得的函数； 检验X的值是否在自变量的取值范围内， 并求相关的值；解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：设未知数，在“当某某为何值时，什么 最大（最小）”的设问中，“某某”要设 为自变量，“什么”要设为函数；求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵 坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形根据几何图形的性质，探求图形中的关 系式；根据几何

46、图形的关系式确定二次函数解由于面积等于两条边的乘积，所以几何问 题的面积的最值问题通常会通过二次函数 来解决.同样需注意自变量的取值范围.析式； 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题第四单元图形的初步认识与三角形第12讲平面图形与相交线、平行线知识清单梳理知识点一：直线、线段、射线关键点拨1.基本事 实（1）直线的基本事实：经过两点有且只有二条直线.（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短.例：在墙壁上固定一根横放的 木条，则至少需要2枚钉子， 依据的是两点确定一条直线.知识点二：角、角平分线2.概念（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形.（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这

47、个角分 成两个相等的角的射线例：(1) 15° 25' =(5.5° ；37° 24'45'' +32° 48'49''=70° 13'34''.3.角的度量1° =60r , r =60 , 1° =3600''（2）32°的余角是盹32° 的补角是148° .4.余角 和补角（1 ）余角：Nl + N2 = 90°与N2互为余角；（2 ）补角：Zl + Z2 = 180°与N2

48、互为补角.（3）性质：同角（或等角）的余角相箜；同角（或等角）的补角 相等.知识点三：相交线、平行线5.三线 八角（1）同位角：形如“ F" ；（2）内错角：形如“Z” ;（3）同旁 内角：形如“U” .一个角的同位角、内错角或同 旁内角可能不止一个，要注意 多方位观察6.对顶角、邻补用（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有 公共边的两个角叫做对顶角.（2）性质：对顶角相篁，邻补角之和为.例：在平面中，三条直线相交 于1点，则图中有2组对顶角.7.垂线（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条 直线的垂线.（2）性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

49、垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长 度4 例：如图所示，点A到BC的".距离为邂，点B到AC的距离 为mD，点C至UAB的距离为区.8.平行 线（1）平行线的性质与判定同位角相等O两直线平行内错角相等O两直线平行同旁内角互处O两直线平行（2）平行公理及其推论经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行于同一条直线的两直线呼（1）如果出现两条平行线被其 中一条折线所截，那么一般要 通过折点作已知直线的平行 线.（2）在平行线的查考时，通常 会结合对顶角、角平分线、三 角形的内角和以及三角形的外 角性质，解题时注意这些性质 的综合运用.知识点四：命

50、题与证明9.命题 与证明（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式 子）叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命 题.（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成 如果P，那么q的形式，其中p是题设，q是结论.（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是 否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例 著名命题不成立就可以了.例：下列命题是假命题的有（）相等的角不一定是对顶角； 同角的补角相等；如果某命题是真命题，那么 它的逆命题也是真命题： 若某个命题是定理，则该命 题一定是真命题.第13讲一般三角形及其性质知识清单梳理知识点一：三角形的分类及

51、性质关键点拨与对应举例上三角形（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类失分点警示：的分类三角形三角形直角三角形©锐角三角形t1钝角三角形不等边三角形MX一nJ底和腰不相等的等腰三角形 等腰二角形等边三角形在运用分类讨论思想计 算等腰三角形周长时， 必须考虑三角形三边关 系.例：等腰三角形两边长 分别是3和6,则该三 角形的周长为空.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.3.角的关 系（1）内角和定理：三角形的内角和等180° ；推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.三角形的任意一个外角大于任何

52、和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角 的性质求角度时.，若所 给条件含比例，倍分关 系等，列方程求解会更 简便.有时也会结合平 行、折叠、等腰（边） 三角形的性质求解.4三角形 中的重要 线段四线性质（1）角平分线、高结合 求角度时，注意运用三 角形的内角和为180° 这一隐含条件.（2）当向一个三角形中 出现两条高，求长度时， 注意运用面积这个中间 量来列方才能够求解.角平分线（1） 角平线上的点到角两边的距离相等（2） 三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1） 将三角形的面积等分（2） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半同锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角

53、形 的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交 于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角 形中内、 外角与角 平分线的 规律总结如图，AD 平分NBAC, AE_LBC,则N QNBAC-/CAE二1 (180°22-ZB-ZC) - (90° -ZC) (ZC-ZB)；2如图，BO、C0分别是NABC、NACB的平分线，则有N0二,N 2A+900 ；如图，BO、C0分别为NABC、NACD、N0CD的平分线，则N0, 2对于解答选择、填空题， 可以直接通过结论解 题，会起到事半功倍的 效果.NA, ZO ' =- ZO；2如图，BO、CO

54、分别为NCBD、NBCE的平分线，则NO=900 -Z2A.留了图国喝6.全等三 角形的性 质(1)全等三角形的对应边、对应角相等.(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.(3)全等三角形的周长等、面积等.失分点警示：运用全等 三角形的性质时.，要注 意找准对应边与对应 角.Z三角形 全等的判 定一般 三角 形全 等SSS(三边对 应相等)4SAS (两边和 它们的夹角 对应相等) 5ASA (两角和它 们的夹角对应 相等)AAS (两角和其 中一个角的对 边对应相等)失分点警示如图，SSA和AAA不能 判定两个三角形全等.一乙一二直角 三角 形全 等(1)斜边和一条直角边对应相等(HL)KK(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS, ASA 和 AAS.8.全等三 角形的运 用(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边 或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全