初中数学辅助线添加及例题大全

1、精品文档初中数学辅助线的添加人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。一 添辅助线有二种情况：（ 按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90 °；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。（ 按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添

2、线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（ 1 ）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（ 2 ）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（ 3 ）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（ 4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角

3、形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（ 5 ）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（ 6 ）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等

4、三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（ 7 ）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1 ）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。（ 8 ）特殊角直角三角形当出现 30， 45， 60， 135 ， 150 度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用 45 角直角三角形三边比为1 ： 1

5、： 2； 30 度角直角三角形三边比为1 ：2：3 进行证明（ 9 ）半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90 度的圆周角；出现90 度的圆周角则添它所对弦-直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。二基本图形的辅助线的画法1. 三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相

6、等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。2. 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（ 1）连对角线或平移对角线：（ 2）过顶点作对边的垂线构造直角三

7、角形（ 3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（ 4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（ 5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3. 梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（ 1）在梯形内部平移一腰。（ 2）梯形外平移一腰（ 3）梯形内平移两腰（ 4）延长两腰（ 5）过梯形上底的两端点向下底作高（ 6）平移对角线（ 7）连接梯形一顶点及

8、一腰的中点。（ 8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（ 9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。 通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4. 圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（ 1 ）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（ 2

9、 ）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。（ 3 ）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。（ 4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（ 5 ）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中

10、线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四 :造

11、角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀： “造角、平、相似，和差积商见。 ”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅

12、助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反， 条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线

13、。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外， 我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即 “割补” 有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。线、角、相交线、平行线规律规律 1.如果平面上有n（n 2个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直）1线，一共可以画出n（n 1）条 .规律 2.平面上的n 条直线最多可把平面分成1 n（n+1）+1 个部分.规律 3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有

14、线段的条数为1 n（n 1）条 .2规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半 .例：如图，B 在线段 AC 上， M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点 .BNC求证： MN = AC2证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点AM = BM1 AB ,BN = CN = 1 BC22MN = MB+BN1 AB + 1 BC = 1 (AB + BC)222MN = 1 AC2练习： 1.如图，点C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点 .求证： AM =1 (AB + BC)ACMB文档下载后可复制编辑2 .如图，点B在线

15、段 AC 上， M 是 AB 的中点，N 是 AC的中点 .求证： MN1BC2A MNB C3 .如图，点B在线段AC上，N 是 AC的中点，M 是 BC 的中点 .AN BMC求证： MN = AB2规律 5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有1 n（n 1）个 .2规律 6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（ n 1）个.规律 7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n（ n 1）对对顶角.规律 8.平面上若有n（ n3 ）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共1可作出n（n 1）（n 2）个 .6规律 9.互为邻补角

16、的两个角平分线所成的角的度数为90o.规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为1 n（n 1）个 .2规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB DE,如图,规律如下：ABC+ BCD+CDE=360EBCD= ABC+ CDEBCD= ABC- CDEBCD= CDE- ABCBCD+ ABC5ABC= BCD+ CDE规律 14.成 “ 8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个

17、内角和的一半例：已知，BE、 DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45o, C = 55o,求E 的度数 .解： AABE = EADE E CCDE = ECBE 得 AABECCDE = E ADE ECBE BE 平分 ABC、 DE 平分ADC， ABE = CBE，CDE = ADE 2 E = ACE = 1 ( AC)A =45o, C =55o,E =50o三角形部分规律15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知D、 E 为 ABC

18、 内两点，求证：AB AC> BD DE CE.证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交AB、 AC 于 M、 N在 AMN 中， AM AN> MD DE NE 在 BDM 中，MB MD> BD在 CEN 中，CN NE> CE得AM AN MB MD CN NE> MD DE NE BD CE AB AC> BD DE CE证法(二)延长BD 交 AC 于 F，延长CE 交 BF 于 G,在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有， AB AF> BD DG GF GF FC> GE CE DG GE> DEAB AF GF FC DG

19、 GE> BD DG GF GE CE DEAB AC> BD DE CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习 ：已知：如图P 为 ABC 内任一点，1求证：(AB BC AC)< PA PB PC< AB BC AC规律16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的例：如图，已知BD 为 ABC 的角平分线，CD 为 ABC 的外角ACE 的平分线，它与BD的延长线交于D .求证：A = 2 D证明：BD、 CD 分别是ABC、ACE 的平分线AC

20、E =2 1, ABC =2 2 A = ACE ABCA = 2 1 2 2又 D = 1 2 A =2 D规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o 加上第三个内角的一半例：如图，BD、 CD 分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90o 1 A2证明：BD、 CD 分别平分ABC、 ACBA 2 1 2 2 = 180o 2( 1 2)= 180oA90o 减去第三个内角的一半 BDC = 180o ( 12) ( 12) = 180oBDC把式代入式得2(180oBDC)= 180oA即：360o 2 BDC =180oA 2 BDC = 180oA BDC =

21、 90o1 A2规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于例：如图，BD、 CD 分别平分EBC、FCB， 求证：BDC=90o1A2证明：BD、 CD 分别平分EBC、FCBEBC = 2 1、 FCB = 2 2 2 1 = AACB2 2 = AABC得2(12) = AABC ACB A2(12) = 180oA1(1 2) = 90o A2BDC = 180o ( 1 2)BDC= 180o (90o1 A)2 BDC = 90o1 A2规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，

22、C>B， AD BC 于 D， AE 平分 BAC.求证：EAD =12 ( C B)证明：AE 平分 BACBAE = CAE = 1 BAC 2BAC =180o ( BC)1EAC = 180o ( BC)2AD BCDAC = 90o CEAD = EAC DACEAD1 180o ( BC)(90o2C)1= 90o( BC) 90oC1=( C B)2如果把 AD 平移可以得到如下两图，FD BC 其它条件不变，结论为EFD = 1 （ C2B).注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律

23、 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为 ABC 内任一点，求证：BDC> BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E，BDC 是EDC的外角，BDC>DEC同理：DEC> BACBDC>BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于FBDF 是ABD 的外角，BDF >BAD同理CDF >CADBDF CDF> BAD CAD即：BDC>BAC规律21.有角平分线时常在角两

24、边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图，求证：证明：在AD 为 ABC 的中线且1 = 2，3 = 4，BE CF> EFDA 上截取 DN = DB，连结 NE、 NF，则DN = DC在 BDE 和 NDE 中，DN = DBBE CF> EF 1 = 2ED = EDBDENDE BE = NE同理可证：CF = NF在 EFN 中， EN FN> EF BE CF> EF规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：证明：延长ED 到 M，使 DM = D

25、E，连结 CM、 FM BDE 和 CDM 中，BD = CD 1 = 5ED = MDBDE CDM CM = BE又1 = 2，3 = 4 1 23 4 = 180o3 2 = 90oM即EDF = 90o FDM = EDF = 90o EDF 和 MDF 中ED = MD FDM = EDFDF = DF EDF MDFEF = MFCMF 中，CF CM > MFBE CF> EF（此题也可加倍FD ，证法同上）规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线，求证：AB AC> 2AD证明：延长AD 至 E，使

26、DE = AD，连结 BE AD 为 ABC 的中线 BD = CD 在 ACD 和 EBD 中BD = CD 1 = 2AD = EDACD EBDABE 中有AB BE> AE AB AC> 2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、 b、 c、 d 有下列情况之一时用此种方法： a> b a± b = c a± b = c± d例：已知，如图，在ABC 中， AB> AC，1 = 2， P 为 AD 上

27、任一点，求证：AB AC> PB PC证明： 截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在 APN 和 APC 中，AN = AC 1 = 2AP = APAPN APC PC = PNBPN 中有PB PC< BN PB PC< AB AC补短法：延长 AC 至 M ，使AM = AB，连结PM在 ABP 和 AMP 中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMP PB = PM又在PCM 中有 CM > PM PCAB AC> PB PC精品文档练习 ： 1.已知，在ABC 中，B = 60o,AD、 CE 是 ABC 的角平分线,并且它们交

28、于点O求证：AC = AE CD2.已知，如图，AB CD 1 = 2 , 3 = 4.求证：BC = AB CD规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形例 :如图，已知，BE、 CD 相交于 F， B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF = B3 AEF = C4又3 = 4 B = CADF= AEF在ADF 和AEF 中 ADF = AEF 1 = 2AF = AF ADF A

29、EF DF = EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图Rt ABC 中， AB = AC，BAC = 90o，过A 作任一条直线AN，作BD AN于 D， CE AN 于 E，求证：DE = BD CE证明：BAC = 90o, BD AN1 2 = 90o 1 3 = 90o2 = 3 BD AN CE AN BDA = AEC = 90o在 ABD 和 CAE 中， BDA = AEC 2 = 3AB = AC ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AE AD = BD CE DE = BD CE规律27.三角

30、形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例： AD 为 ABC 的中线，且CF AD 于 F， BE AD 的延长线于E求证： BE = CFE证明： （略）文档下载后可复制编辑精品文档文档下载后可复制编辑规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC = BD， AD AC 于 A， BCBD 于 B求证： AD = BC证明：分别延长DA、 CB 交于点 E AD ACBC BD CAE = DBE = 90o在 DBE 和 CAE 中 DBE = CAEBD = AC E = E DBE CAE ED = EC， EB = EA ED EA = EC EBAD = BC

31、规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题例：已知，如图，AB CD， AD BC求证： AB = CD证明：连结AC（或BD）DE = BF ， AB CD， AD BC1 = 2在 ABC 和 CDA 中， 1 = 2AC = CA 3 = 4 ABC CDA AB = CD练习 ：已知，如图，AB = DC， AD = BC，求证： BE = DF规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在Rt ABC 中， AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ， CE BD 的延长线于E求证： BD = 2CE

32、证明：分别延长BA、 CE 交于 F BE CFBEF = BEC = 90o在 BEF 和 BEC 中 1 = 2BE = BE BEF = BEC BEF BEC CE = FE = 1 CF2 BAC = 90o , BE CF BAC = CAF = 90o 1 BDA = 90o 1 BFC = 90o BDA = BFC在 ABD 和 ACF 中 BAC = CAF BDA = BFCAB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3 B，1 = 2,CD AD 于 D，求证：AB AC = 2CD规律31.当证题有困难时，可结合已知条

33、件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形例：已知，如图，AC、 BD 相交于O，且AB = DC， AC = BD，求证：A = D证明： （连结BC，过程略）规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件例：已知，如图，AB = DC， A = D求证：ABC = DCB证明：分别取AD、 BC 中点N、 M，连结 NB、 NM、 NC（过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ， P 为 BN 上一点，且PD BC 于 D， AB BC = 2BD，求证：BAP BCP

34、= 180o证明：过P 作 PE BA于 E PD BC，1 = 2 PE = PD在 Rt BPE 和 Rt BPD 中BP = BPPE = PD Rt BPE Rt BPD BE = BD AB BC = 2BD， BC = CD BD， AB = BE AE AE = CD PE BE， PD BC PEB = PDC = 90o在 PEA 和 PDC 中PE = PD PEB = PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o练习： 1.已知，如图，PA、 PC 分别是ABC 外角 MAC 与 NCA 的平分线，它们交于P，PD

35、BM 于 M， PF BN 于 F，求证：BP 为 MBN 的平分线2. 已知，如图，在ABC 中， ABC =100o，ACB = 20o， CE 是 ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD = 20o，求CED 的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC， BD AC 于 D，求证：BAC = 2 DBC证明： （方法一）作BAC的平分线AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = 1 BAC2又 AB = AC AE BC2ACB = 90oBD ACDBC ACB = 90o2 = DBCBAC = 2 DBCA

36、作 AE BC 于 E（过程略）（方法三）取BC 中点E，连结AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中， AB = AC， D 为 BC 中点， DE AB 于 E， DF AC于 F，求证： DE = DF证明：连结AD. D 为 BC 中点， BD = CD又 AB =AC AD 平分BAC DE AB， DF AC DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在BA 延长线和AC 上各取一点E、 F，使AE =AF ，求证：EF BC证明：延长BE 到 N，使AN = AB,连结CN,则 AB = AN = ACB

37、= ACB , ACN = ANCB ACB ACN ANC = 180o 2 BCA 2 ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90o NC BC AE = AF AEF = AFE又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANCBAC =2 AEF = 2 ANC AEF = ANCEF NC EF BC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中， AB = AC， D 在 AB 上， E 在 AC 延长线上，且BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证： DF = EF证明： （证法一）过D 作 DN AE，交BC 于 N，则

38、 DNB = ACB， NDE = E，AB = AC，B = ACBB = DNBBD = DN精品文档又 BD = CE DN = EC在 DNF 和 ECF 中 1 = 2 NDF = EDN = EC DNF ECFDF = EF（证法二）过E 作 EM AB 交 BC 延长线于M,则EMB = B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC， E 在 AC 上， D 在 BA延长线上，且AD = AE，连结 DE求证： DE BC证明： （证法一）过点 E 作 EF BC 交 AB 于 F， 则 AFE = B AEF = C AB = AC

39、B = C AFE = AEF AD = AE AED = ADE又AFEAEFAED ADE = 180o 2 AEF 2 AED = 90o即 FED = 90o DE FE又EF BC DE BC（证法二）过点D 作 DN BC 交 CA的延长线于N， （过程略）（证法三）过点A作 AM BC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 等边三角形例：已知，如图，ABC 中， AB = AC，BAC = 80o ,P 为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30o 求 PAB 的度数 .解法一：以AB 为一边作等边三角形，连结CE则BAE = ABE = 6

40、0oAE = AB = BE AB = AC AE = AC ABC = ACBAEC = ACEEAC = BACBAE= 80o 60o = 20oACE = 1 (180oEAC)= 80o21 ACB=(180oBAC)= 50oBCE =ACEACB= 80o 50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC = ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC 和 EBC 中PBC = EBCBC = BC PCB = BCEPBCEBC BP = BE AB = BE AB = BP

41、 BAP = BPA ABP = ABCPBC = 50o 10o = 40oPAB = 1 (180oABP)= 70o解法二：以解法三：以AC 为一边作等边三角形，证法同一。BC 为一边作等边三角形BCE，连结AE,则EEB = EC = BC， BEC = EBC = 60o EB = EC E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上 EA 所在的直线是BC 的中垂线 EA BCAEB = 1 BEC = 30o = PCB 2ABC = 50oABE = EBCABC = 10o = PBCABE = PBC,BE = BC, AEB = PCBABE PBCAB = B

42、PBAP = BPAABP = ABCPBC = 50o 10o = 40oPAB = 1 (180oABP) = 1 (180o 40o)= 70o22规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中，1 = 2，ABC = 2 C，求证： AB BD = AC证明：延长AB 到 E，使BE = BD，连结DE则 BED = BDE ABD = EBDE ABC =2 E ABC = 2 C E = C在 AED 和 ACD 中 E = C 1 = 2AD = ADAED ACDAC = AE AE = AB BE AC = AB B

43、E即 AB BD = AC平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中， BD AC 于 D， BAC = 2 DBC求证：ABC = ACB证明：作BAC 的平分线AE 交 BC 于 E，则BAE = CAE = DBCBD ACCBD C = 90oCAE C= 90oAEC= 180oCAEC= 90oAE BCABCBAE = 90oCAE C= 90oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如图，在ABC 中， BD AC 于 D， BAC = 2 DBC求证：ABC = ACB证明：作FBD = DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）文档下载后可复制编辑规律 36.有垂直

44、平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来例：已知，如图，ABC 中， AB = AC，BAC = 120o， EF 为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC于 F ，交 AB 于 E求证： BF = 1 FC2证明：连结AF，则AF = BFB =FAB AB = ACB =CBAC= 120oB = C BAC = 1 (180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC = BACFAB = 120o 30o =90o又 C = 30oAF = 1 FC2BF = 1 FC2练习：已知，如图，在ABC 中， CAB 的平分线DM AB 于 M， DN AC 延长线于N求证： BM

45、= CNAD 与 BC 的垂直平分线DE 交于点D，规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线例：已知，如图，在ABC 中，B =2 C， AD BC于 D求证： CD = AB BD证明： （一）在CD 上截取DE = DB，连结AE，则 AB = AEB = AEBB = 2 C AEB = 2 C又 AEB = CEACC = EAC AE = CE又CD = DE CEDB CD = BD AB（二）延长CB 到 F，使 DF = DC，连结 AF 则 AF =AC（过程略）规律38.有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中， BC = 2AB, ABC = 2 C,BD =

46、 CD求证：ABC 为直角三角形证明：过D 作 DE BC，交AC 于 E，连结BE，则BE = CE， C = EBCABC = 2 CABE = EBC BC = 2AB， BD = CD BD = AB在 ABE 和 DBE 中AB = BD ABE = EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即 ABC 为直角三角形规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题例：已知，如图，在ABC 中，A = 90o， DE 为 BC 的垂直平分线求证：BE2 AE2 = AC2证明：连结CE，则 BE = CE A = 90

47、o AE2 AC2 = EC2 AE2 AC2= BE2 BE2 AE2 = AC2练习：已知，如图，在ABC 中， BAC = 90o， AB = AC， P 为 BC 上一点求证：PB2 PC2= 2PA2规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中例：已知，如图，在ABC 中， B = 45o，C = 30o， AB = 2 ，求 AC 的长 .解：过 A 作 AD BC 于 D B BAD = 90o， B = 45o，B = BAD = 45o， AD = BD AB2 = AD2 BD2， AB = 2 AD = 1 C = 30o， AD BCAC = 2AD = 2四边形部分规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知, ABCD的周长为60cm，对角线AC、 BD 相交于点O，AOB 的周长比BOC 的周长多8cm，求这个四边形各边长.解：四边形ABCD 为平行四边形 AB = CD， AD = CB， AO = CO AB CD DA CB = 60AO AB OB (OB BC OC) = 8 AB BC = 30， AB BC =8 AB = CD = 19， BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、 11cm、 19c