初中数学分类讨论思想例题简析

1、初中数学分类讨论思想例题简析TTA standardization office TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C 初中数学分类讨论思想例题简析（一）剑门中学.何俊平分类讨论思想是数学中重要的思想和一种解题方法，旨在考查我们思考问题的逻 辑性、周密性和全面性，分类讨论问题也属于创新性问题，此类题综合性强，难题较 大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔 性。初中数学分类讨论的知识点有三大类：一是代数类：如绝对值、方程及根的定 义，函数的定义以及点（坐标不确定）所在象限等.二是几何类：各种图形的位置关 系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等

2、.三是综合类：代数与几何类分类 情况的综合运用.分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方 法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复，也不遗漏.分类的原则：分类中的每一部分是相互独立的；一次分类按一个标准；分 类讨论应逐级有序进行.以性质、公式、定理的使用条件为标准分类.下面列举初中数学几何中常见的几种分类讨论思想的问题，供同学们借鉴。一、与线段有关的分类讨思想的应用一线段及端点位置的不确定性需讨论。例1、已知直线AB上一点C,且有CA=3AB!则线段CA : CB= 3 :

3、2或3 : 4 0 解析：分点C在线段AB的延长线上 和线段BA的延长线上两种情况求解。尝试1、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm,点M为线段AB的中点， 线段BC二3cm,点'为线段BC的中点，求线段MN的长.二、与角有关的分类讨论思想的应用一角的一边不确定性需讨论。例2、在同一平面上，ZA0B=70°, ZB0C=30°,射线0M平分乙AOB, ON平分/BOC,则 乙 M0X=20。或 50。o解析：分射线0C在乙AOB的内部和外部两种情况求解。尝试2、已知NAOB = 6（T,过。作一条射线0C,射线0E平分NAOC,射线0D平分 ZBOC

4、,求NDOE的大小。三、三角形中分类讨论思想的应用常见的有以下四种类型：因三角形的形状不确定而需分类讨论；因等腰三角形的 腰与底不确定而需分类讨论；因直角三角形的斜边不确A定而需分类讨论；因相似三角形的对应角（或边）不确定/BDC国IA而需分类讨论。/1、三角形的形状不确定需分类讨论/ /BCD例3、aABC的边AB为15cm,边AC为13cm,边BC上图工的高AD为12cm,求此三角形的面积。解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。如图1,当aABC的高在形内时，由勾股定理易得BC=BD+CD=9+5=14,所以 S &BC = a 。如图2,当高AD在形外时，此时AABC为钝角三

5、角形。由勾股定理易得BC二BD-CD=9-5=4,所以 S a8c = 24 cm2 o 故 ABC 的面积为 84 cm'或 24 cm2.尝试3、在AABC中，乙B=28。，AD是BC边上的高，且A。？ = CO.求乙C的度数。2、等腰三角形的分类讨论：在等腰三角形中求边：等腰三*疟中，对给出的边可施是膜，也可JtttJt后边，所以需分类忖论。例4、已知等腰三角形的两边长是方程-llx + 30 =。的两根，则它的周长星6或17=0若等腰三角形的一边为3,另一边为6,则它的周长等于_理o解析：方程的两根为5,和6,需分腰为5,底为6和腰为6,底为5两种情况讨论，并 且还要考虑三边之

6、长是否满足三角形的构成条件。尝试4、若等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为15cm和12cm两部分，则这个等腰三角形的底长为 O在等腰三角形中求角：*腰三:*的一向可能是底也可能是顶用，所以费分类 讨论。例5、已知等腰三角形的一个内角为65。则其底角为变或：。已知等腰三角形的一个内角为95。则其底角为空o解析：当已知角为锐角时，它既可以是等腰三角形的顶角,也可以说等腰三角形的底 角；当已知角为直角或钝角时，它只能是顶角。尝试5、a、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，则它的顶角为 Ob、在ZXABC中，AB=AC, AB的中垂线与AC所在直线相交成的锐角为50。，则乙B 二 o3、直

7、角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论例6、已知x, y为直角三角形两边之长，满足25,，+ 6=0,求第三边的长。解析：由题意可得x-2 = 0且，2一5，+ 6 =。，分别解这两个方程，可得满足条件的 解为 x=2, y=2,或 x=2, y=3.由于x, y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。当两直角边长分别为2, 2时，斜边长为;当一直角边长为2,斜边长为3时，另一直角边的长为 后；当一直角边长为2,另一直角边长为3时，斜边长为综上，第三边的长为2友或新或而。A4、相似三角形的对应角（或边）不确定而需分类讨论。y例7、如图，在ABC中，AB = 6, AC = 4,。

8、是AC的中点，过尸点的直线交A8于点。，若aAPQ和aABC相似，求AQ的长。解析：因aAPQ和AABC有公共角乙4,由相似三角形的判定方法，过点尸的直线尸。应有两种作法：作尸。 8C,则APQsaACB,于是有当=之，即AB AC解得AQ = 3 ；12作乙4尸。=448。，交边A3于点。，则APQs/ABC.64于是有=即学= "1，解得AQ = j则相=3或1AC AB 4633尝试6、正方形ABCD的边长是2, BE=CE, MN=1,线段MN的两端在CD、AD上滑动.当DM二 时，AABE与口处相似。四、与圆有关的分类讨论思想的应用1、圆周角的顶点位置不确定需分类讨论。例8

9、、在半径为5cm的。中，弦AB=5cm,点C是。O上任意一点（不与A、B重合）。则乙 ACB=30° 或 150。0解析：一般地，弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧，一条为劣弧。当点C在优弧AB上时，4ACB=30。；当点C在劣弧AB上时，ZACB=150°.2、两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。例9、已知OO的直径为10cm,弦AB=8cm,弦CD=6cm,且ABCD,则AB和CD之间的距离为1cm或7cm。解析：分弦AB、CD在圆心。的同侧和异侧两种情况计算， 3、两圆相切，内切、外切不确定需分类讨论。例10、若两圆相切，圆心距为7,其中一圆的半径为4,则另一圆的半径为3或11.尝试7、已知的半径为2,点P是。0外一点，0P的长为3,那么以点P为