第2课时分析法

1、第2课时 分析法 利用利用已知条件已知条件和某些数学和某些数学定义、定理、公理定义、定理、公理等等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推导出所要证明最后推导出所要证明的结论成立的结论成立, ,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法. .其特点其特点是是:“:“由因导果由因导果”. . 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理表示已知条件、已有的定义、公理、定理等等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. . 则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q综合法是由一个个推理

2、组成的综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难候进展更难. .会需要高超的技巧，深刻的解题指导思会需要高超的技巧，深刻的解题指导思想想. . 但开头难怎么办？如何找到开头呢？但开头难怎么办？如何找到开头呢？1.1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种 基本方法之一的分析法基本方法之一的分析法. . （重点）（重点）2.2.了解分析法的思考过程、特点了解分析法的思考过程、特点. . （难点）（难点）探究点探究点 分析法的定义分析法的定义引例：证明不等式：引例：证明不等

3、式： ).0, 0(2baabba证法证法1:1:因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b20a a20a+baba+bab 2a+baba+bab a+ba+babab2 2证法证法2:2:要证要证 a+ba+babab2 2()b20a a 2a+baba+bab只需证只需证20a+baba+bab只需证只需证()b20a a只需证只需证因为因为 成立成立a+ba+babab2 2所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法思考：思考：上述两种证法有什么异同？上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、从已知条件出发，以已知的

4、定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止要证明的结论为止. . 综合法综合法相同相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使成立的条件，逐步上溯，直到一个明显使结论成立的条件结论成立的条件. . 分析法分析法分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法已知条件已知条件结论结论综合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下： 一般地，从要证明的一般地，从要证明的 出发，逐步寻出发，逐步寻求使它成立的求使它成立的 ，直至最后，把要证明的，直至最

5、后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法. .其特点是：其特点是：执果索因，即要证结果执果索因，即要证结果Q Q，只需，只需证条件证条件P.P.分析法分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法）结论结论充分条件充分条件1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件 类似于综合法，我们也可以用框图来表示分类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法析法. .用用P Pi i表示使所要证

6、明结论成立的充分条件，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论, ,则分析法的思路过程，特点则分析法的思路过程，特点用框图表示为用框图表示为: :注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等. .例例1.1.求求证证：3 + 7 2 5.3 + 7 2 5. 分析：分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件分条件. .372 5 因因为为和和都

7、都是是正正数数，所所以以证证明明：为为了了证证明明，5273只只需需证证，）（）（225273只只需需证证 2 21 1，10220 即即证证 2 21 1，210 即即证证 2 21 1，5 即即证证 2 21 125. 因因为为2 21 1显显然然成成立立，所所以以原原不不等等式式成成立立25. 在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但但由于我们很难想到从由于我们很难想到从“21B，只需证，只需证Ccb4已知已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：为不全相等的正实数，求证： bcaaca

8、bbabcc3. 证明证明 左边左边 baab cbbc acca3，因，因 a，b，c为不全相等的正实数，所以为不全相等的正实数，所以baab2，cbbc2，acca2，且，且上述三式的等号不能同时成立 所以上述三式的等号不能同时成立 所以 baab cbbc acca3633.即即bcaacabbabcc3. 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法则用综合法，否则用分析法. .2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性语言的规范性和逻辑性. .3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明综合法和分析法是两种互逆的思