数值分析(18)复化求积法

1、数值分析数值分析数值分析数值分析第第 二二 节节 复化求积公式复化求积公式复化求积公式的基本思想：复化求积公式的基本思想： 将区间将区间 a , ba , b 分为若干个小子区间，在每个分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的小子区间上使用低阶的Newton-CotesNewton-Cotes公式。然后公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。 一、一、复化求积公式复化求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析 1、复化梯形公式复化梯形公式 1, (0,1, ),0,1,1kkka b nbahxakhknnxxkn 将将区区间间等等分分,

2、,在在每每个个小小区区间间, ,（）上上用用梯梯形形公公式式: :1( ()()0,1,12kkkhTf xf xkn 1101( ( )( )()2nnnkkkkhTTf af bhf x 复化梯形公式复化梯形公式为为数值分析数值分析数值分析数值分析截断误差分析：截断误差分析： 311,(),12kkkkkkkhxxRfxx 在在区区间间上上， 101()( ),nkkbahffa bnn 利利用用和和22()( )()12nbaR Th fO h 得得到到复复化化梯梯形形公公式式的的截截断断误误差差是是：31100()()12nnnkkkkhRRf 整整体体误误差差为为数值分析数值分析数值

3、分析数值分析2 2、复化、复化SimpsonSimpson公式公式 1112,( () 4 ()()6kkkkkkxxSimpsonhSf xf xf x 在在每每个个小小区区间间上上用用公公式式11110012110221( ( )( )()()63312()33nnnnkkkkkknnnnkkhSSf af bhf xhf xTHHhf x , ,其其中中复化复化SimpsonSimpson公式的截断误差为公式的截断误差为 4(4)4()()( )(),2880nb aR Sh fO ha b 复化复化SimpsonSimpson公式公式为为数值分析数值分析数值分析数值分析1012xe d

4、x - -4 4当当用用复复化化梯梯形形公公式式与与复复化化辛辛卜卜生生公公式式计计算算积积分分的的近近似似例例：值值时时，若若要要求求误误差差不不超超过过1 10 0 ，问问至至少少各各取取多多少少个个节节点点？(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（1 1解解）由由得得2242()1|()| |( )| |( )|12121110122nbaR Th ffnen 67.3n 解解得得68169nn 用用复复化化梯梯形形公公式式 至至少少取取，节节点点至至少少取取个个。(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 数值分析数值分析数值分析数值分析1012xe

5、 dx - -4 4当当用用复复化化梯梯形形公公式式与与复复化化辛辛卜卜生生公公式式计计算算积积分分的的近近似似例例：值值时时，若若要要求求误误差差不不超超过过1 10 0 ，问问至至少少各各取取多多少少个个节节点点？4(4)(4)444()1|()| |( )| |( )|28802880111028802nbaR Sh ffnen 2.1n 解解得得317nn 用用复复化化辛辛卜卜生生公公式式 至至少少取取 ，节节点点至至少少取取2 2个个。(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（2 2解解）由由得得(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 数值分析数

6、值分析数值分析数值分析二、变步长复化求积公式二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想：变步长复化求积公式的基本思想： 将区间将区间 a , b 逐次分半，建立递推公式，按递逐次分半，建立递推公式，按递推公式计算，直到满足精度要求。推公式计算，直到满足精度要求。1.1.变步长复化梯形公式变步长复化梯形公式11,( )( ( )( )2hnhbaTT hf af b，222, , 1,22na bTbahh 将将分分半半，用用复复化化梯梯形形公公式式得得，44214,24banThh 再再将将区区间间分分半半得得 ，22,nnnTTT 直直到到为为止止 将将作作为为积积分分的的近近似似值

7、值。数值分析数值分析数值分析数值分析下面推导由下面推导由n n到到2n2n的复化梯形公式的复化梯形公式,nbaa b nhn 给给出出误误差差限限 ，将将 , , 等等分分，步步长长用用复复化化梯梯形形公公式式：11111101,( ()()2 , ()( ( )( )()2nkkkkknnnnnknkkkhxxTf xf xa bhT hTTf af bhf x 在在 上上，在在上上，数值分析数值分析数值分析数值分析 111222112,2 ,2kkkkkkknnnnxxxxxxxhnn hh 将将原原 等等分分区区间间，再再次次分分半半，每每个个小小区区间间上上取取中中点点分分成成两两个个

8、区区间间和和，于于是是，。11221212122211112200,( ()()( ()()221()22, 11()()22222kknnkkkkknkknnnnnnknnkkkxxhhTf xf xf xf xhTf xa bhhHTTTTf xT 在在 上上，在在 上上, ,1102()nnnkkHhf x 记记数值分析数值分析数值分析数值分析2122nnnHTT 111102( ( )( )()2()nnnnkknnnkkhTf af bhf xHhf x 其其中中变步长复化梯形公式的递推公式变步长复化梯形公式的递推公式： （由由n n到到2n2n）1120 ( )( )21(21),

9、1,2,222nnnjbaTf af bbabaTTf ajnnn 实际计算中的递推公式为实际计算中的递推公式为22|nnnTTT 直直到到为为止止，作作为为积积分分的的近近似似值值。数值分析数值分析数值分析数值分析2|nnTT 用用事事后后误误差差分分析析法法说说明明，为为什什么么可可以以作作为为迭迭代代终终例例：止止条条件件？21222()()12()( )()122nnbaITh fbahITf 解解：12( ) , ,()()fxa bff 假假定定在在上上变变化化不不大大 即即有有，于于是是得得24nnITIT 222211()()33nnnnnnITTTITTT或或2213nnnT

10、TIT 当当时时，。数值分析数值分析数值分析数值分析变步长复化变步长复化梯形梯形求积公式的算法求积公式的算法 11111.,( )( )22.0,23.( ),3.15.*26.,7.,2bahba Tf af bhHxaHHf xxxhxbTThHTTITIhhTT 4 4. .若若，则则转转若若则则，输输出出 , ,停停机机。转转2 2. .1210 ( )( )211222(21)221,2,nnnnnjbaTf af bHTTTbabaf ajnnn 数值分析数值分析数值分析数值分析2.2.变步长复化变步长复化SimpsonSimpson公式公式2221233112212124333n

11、nnnnnnnnnnnSTHTTHSTTTTT 已已知知又又有有两两式式联联立立解解得得：（） （）42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn 实实际际计计算算过过程程如如下下：数值分析数值分析数值分析数值分析 42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn实实际际计计算算过过程程如如下下：83231622221144144hCCRRhSSCCCnnnnnn 同理可得变步长复化柯特斯公式同理可得变步长复化柯特斯公式数值分析数值分析数值分析数值分析第第 三三 节节 外推算法外推算法 一、理查逊一、理查逊(Richards

12、on)外推法外推法 理查逊理查逊(Richardson)外推法是数值方法中常外推法是数值方法中常用的一种加速收敛技术。用的一种加速收敛技术。0)()()()(1121111121 ppphOhChChChhhhkkppkppk其其中中展展开开式式：之之间间的的截截断断误误差差有有渐渐近近和和，若若去去逼逼近近量量的的算算法法设设用用步步长长为为数值分析数值分析数值分析数值分析 kpkppprhCrhCrhCrhrrrhh)()()()(, 01211211则则满满足足代代替替，用用中中的的将将展展开开式式 kkpppkpppppphrrChrrChrrhrr)()()()(1121211121

13、1）（减减得得到到：乘乘原原式式两两端端再再与与此此式式相相用用)()(121211ppkpphOhChChChk )(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk 整理后得到：整理后得到：数值分析数值分析数值分析数值分析）（得得到到的的新新公公式式，记记为为做做了了一一次次外外推推，和和这这个个过过程程我我们们称称为为用用hrhh211)()( 111)()()(112pprhrrhh )(111)()(211211211211pppppkpppppphOhrrrChrrrCrhrrhkk )()(232322ppkpphOhChChC

14、hk 显显然然有有，。的的截截断断误误差差阶阶为为逼逼近近则则类类似似地地，若若定定义义1)(1)()()(11 mmmpmpmpmmhhrhrrhh数值分析数值分析数值分析数值分析，则则记记推推的的次次数数加加用用第第一一个个下下标标表表示示作作外外次次分分半半，作作了了的的步步长长表表示示对对原原公公式式1)()(11khhhrk 111)()()(01110211010,21, 1111101ppkkrrkhhrhrhhh ，作作了了一一次次外外推推。和和表表示示用用次次分分半半，没没有有外外推推；进进行行了了表表示示对对外外推推；进进行行了了一一次次分分半半，没没有有表表示示对对公公式

15、式；始始分分半半，也也没没有有外外推推的的原原表表示示没没有有对对分半分半表示对原步长表示对原步长一般取一般取hrhr)( ,21 数值分析数值分析数值分析数值分析,1,1,1,10,1, ;1,2, ;iii ki kpi ki kikprrknikikn 一一般般地地，用用和和做做外外推推，有有11,()mpmkmO h 若若进进行行了了次次外外推推，则则有有：数值分析数值分析数值分析数值分析1,01,12,01,22,13,01,2,13,21,0nnnn 理理查查逊逊外外推推算算法法流流程程数值分析数值分析数值分析数值分析二、龙贝格二、龙贝格(Romberg)(Romberg)方法方法

16、 龙贝格龙贝格(Romberg)(Romberg)算法是将理查逊算法是将理查逊(Richardson)(Richardson)外推法应外推法应用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。)()(222224422kkknbahOhChChCTdxxf 差有展开式差有展开式复化梯形公式的截断误复化梯形公式的截断误)2()2()2()1()()()()(24422)1(14422)0(1)0(1)(1 abCabCTabCabCTbfafabTTk形形公公式式，显显然然有有表表示示没没有有外外推推的的复复化化梯梯用用数值分析数值分

17、析数值分析数值分析 34)()(343)1(4)2()0(1)1(1)0(26)2(64)2(4)0(1)1(1TTTabCabCTT 记记得得(0)(2)4(2)6246(1)(2)4(2)6246()().1()().222ITCbaCbababaITCC （ ）（ ）444(1)(0)(3)6(3)822684(2) 2(1)22()().2TTICbaCba （ - -1 1）得得（ - -1 1）数值分析数值分析数值分析数值分析4(1)(0)(0)223422TTT 记记（- -1 1）2(1)(0)(1)(0)(0)12242141mmmmmmmmmTTTTT 一一般般地地(1)(

18、 )( )11,2,4410,1,.,mkkkmmmmmnTTTkn m 一一般般地地1kmTkm 其中：表示逐次分半的次数其中：表示逐次分半的次数：表示外推的次数：表示外推的次数数值分析数值分析数值分析数值分析( )221(0)1(1)1( )1(),222kmmkmmkmkb aTO hhTh b ab aThb aTh I I- -其其中中( )21( )42( )221kkkmmThThTh (1)( )( )11,2,4410,1,.,mkkkmmmmmnTTTkn m 一一般般地地1kmTkm 其中：表示逐次分半的次数其中：表示逐次分半的次数：表示外推的次数：表示外推的次数数值分析

19、数值分析数值分析数值分析1234(1)()1()1( )( )( )( )4()()22()2411,2,., ;0,1,.,;mkkmmkkkmkmT hhThhThhT hhhhTThTmnknm 步步长长为为 的的复复化化梯梯形形公公式式步步长长为为 的的复复化化辛辛卜卜生生公公式式步步长长为为 的的复复化化柯柯特特斯斯公公式式步步长长为为 的的复复化化龙龙贝贝格格公公式式144222 nnnSSC)4(312nnnTTS 144323 nnnCCR数值分析数值分析数值分析数值分析龙贝格算法的计算公式龙贝格算法的计算公式1012( )(1)1111(1)()()1( )( )21(21)

20、2224411,2,., ;1,2,., ;0,1,.,;tttttimkkkmmmmbaTf af bbabaTTf aiTTTtnmnknm （ ）数值分析数值分析数值分析数值分析k k0 01 12 23 34 4误差误差( )10,kmT 龙贝格序列计算流程龙贝格序列计算流程( )21,kmT ( )32,kmT ( )54,kmT ( )43,kmT )0(1) 1 ( T)1(1)2( T)2(1)4( T)3(1)7( T)4(1)11(T)0(2)3( T)1(2)5( T)2(2)8( T)3(2)12(T)0(3)6( T)0(4)10(T)0(5)15(T)1(3)9( T)2(3)13(T)1(4)14(T)(2hO)(4hO)(6hO)(8hO)(10hO数值分析数值分析数值分析数值分析龙贝格算法的计算过程龙贝格算法的计算过程 01(1)(2)11()(1)(1)1(0)(0)(0)111.,( )( )22.2,3,.,(1)0,2(2)(),(3)(2).1(4)*2(5)1,.,1441(6),(7)llmlmlmlmmmmmmmmbahba Tf af blnhHxaHHf xxxhxbTThHmlTTTTTITI （ ）若若，则则转转若若则则，输输出出 , ,停停机机。2hh 数值分析数值分析