第2章时域离散信号和系统频域分析

1、第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 通信与信息工程学院数字信号处理教学团队第第2章章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的序列的Z变换变换 2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性 2.1 引言引言

2、我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。 而在时域离散信号和系统时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。 而频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换（DTFT），它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是

3、本书也是数字信号处理这一领域的基础。 Jean Baptiste Joseph Fourier生于1768年3月21日法国奥克斯雷（Allxerre）。Jean Baptiste Joseph Fourier 与傅立叶变换与傅立叶变换傅立叶级数的提出和完善 1807年 1829年傅立叶级数到傅立叶积分的推广 周期信号表示傅立叶级数 非周期信号表示傅立叶积分应用广泛：数学、物理学2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义()( )jj nnX ex n e(2.2.1) 为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(Fourier Tran

4、sform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式： ( )nx n (2.2.2) 为求FT的反变换， 用e jn乘(2.2.1)式两边， 并在 -内对进行积分， 得到()()()( )( )2()1( )()2jj mj nj nnjm nnjm njj mX eedx n eedx nedednmx nX eed(2.2.3)(2.2.4) 式中 因此 上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要条件， 如果引入冲激函数， 一些绝对不可和的序列， 例如周期序列， 其傅里

5、叶变换可用冲激函数的形式表示出来， 这部分内容在下面介绍。 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT 10/2/2/2/2/2/2(1)/2()( )1()1()sin(/2)sin/2Njj nj nNnnj Nj Nj Nj Njj Njjj NX eRn eeeeeeeeeeNe解： (2.2.5) 设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 0246810121416182000.51x(n)-3-2-10123024absfftx(n)-3-2-10123-505phasefftx(n) 为了描述系统和所传输的信

6、号在占有频带上的这种关系，需要定义信号的有效带宽(简称为信号带宽)，它是从零频率开始到需要考虑的信号最高频率分量之间的频率范围。在工程应用中，定义信号带宽的方法主要有以下两种：（1）对于频谱或频谱的包络具有函数形式的信号，对于频谱或频谱的包络具有函数形式的信号，通常通常定义其带宽为函数主瓣宽度的一半定义其带宽为函数主瓣宽度的一半，即从零频到函数，即从零频到函数第一过零点之间的频率范围。第一过零点之间的频率范围。（2）对于其他形状的频谱，工程上通常将信号频谱的幅对于其他形状的频谱，工程上通常将信号频谱的幅度从最大值降低到最大值的时所对应的频率范围定义度从最大值降低到最大值的时所对应的频率范围定义

7、为信号的带宽，此时，信号的功率下降到峰值的一半，为信号的带宽，此时，信号的功率下降到峰值的一半，即比峰值功率下降即比峰值功率下降3dB，因此该带宽又称为，因此该带宽又称为半功率带半功率带宽。宽。2.2.2 序列傅里叶变换的性质1. FT的周期性在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立 (2)()( ),jjM nnX ex n eM为整数 (2.2.6) 因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。 这样X(ej)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。 2. 线性 11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjj

8、X eFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe那么 设 式中a, b为常数 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么(2.2.7)0000( ()()( )()j njjnjFT x nneX eFT ex nX e (2.2.8) (2.2.9) 4. FT的对称性 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式： xe(n)=x*e(-n) (2.2.10) 则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质， 将xe(n)用其实部与虚部表示 xe(n)=xer(n) +jxei(n) 将上式

9、两边n用-n代替， 并取共轭， 得到 x*e(-n)= xer(-n) - jxei(-n) 对比上面两公式，左边相等， 因此得到 xer(n) = xer(-n) (2.2.11) xei(n) =- xei(-n) (2.2.12) 由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n)=-xo* (-n) (2.2.13) 将xo(n)表示成实部与虚部如下式： xo(n)=xoi(n)+jxoi(n) 可以得到 xor(n) = - xor(-n)(2.2.14) xoi(n)= xoi(-n) (2.2.15) 即共轭反对称序列

10、的实部是奇函数，而虚部是偶函数。 例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此x(n) = x* (n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到 x(n) =cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 x(n) = xe(n) +xo(n) (2.2.16) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.2.16)式中的n用-n代替， 再取共轭得到 x*(-n)=

11、xe(n) - xo(n) (2.2.17) 利用(2.2.16)和(2.2.17)两式， 得到 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn(2.2.18) (2.2.19) 利用上面两式， 可以分别求出xe(n)和xo(n) 。 对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论： X(ej) = Xe(ej) +Xo(ej) (2.2.10)其中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分， 它们满足 Xe( ej) = X *e( e-j) (2.2.21) Xo(ej) =-X*o(e-j) (2.2.22) 同样有下面公式满足：

12、1()()()21()()()2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe(2.2.23) (2.2.24) (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n)= xr(n) + jxi(n) 将上式进行FT， 得到X(ej) = Xe(ej) +Xo(ej)()( )( )()( )( )jj nerrnjj noirnXeFT x nx n eXeFT jx njx n e式中 上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列， 容易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式， 个有共轭对称性， 它的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 Xo(ej)满足(2.2.22)式， 具有共轭

13、反对称性质， 其实部是奇函数， 虚部是偶函数。 最后得到结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。 (b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.25) 将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下： 1( ) ( )()21( ) ( )()2eox nx nxnx nx nxn 将上面两式分别进行FT， 得到 FTxe(n)=1/2X(ej)+X*(ej)=ReX(ej)=XR(ej) FTxo(n)=1/2X(ej)-X*(ej)=jImX(ej)=

14、jXI(ej) 因此对(2.2.25)式进行FT得到： X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) (2.2.26) (2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。 实际上，实际的序列具有更特殊的性质，例如待分析的信号是实序列、实偶对称序列或实奇对称序列，其频谱会有什么特性呢？为此可以对信号进行进一步的分解。jjjeieerrro11DTFT j( )DTFT( )( )(e)(e)(e)22xnx nxnXXXeree1( )( )( )2xnx nxnereejjjrrre1DTFT( )DTFT( )(

15、)21 (e )(e)(e )2xnx nxnXXXeerei( )( )j( )x nxnxnooroi( )( )j( )x nxnxnoroo1( )( )( )2xnx nxnoroojjjiiio1DTFT( )DTFT( )( )21 j(e)j(e)j(e)2xnx nxnXXXoioojjjiiie1DTFT j( )DTFT( )( )21 j(e)j(e)j(e)2xnx nxnXXX 因为h(n)是实序列， 其FT只有共轭对称部分He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数， 用

16、公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j) 按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示： ( )eh n ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn(2.2.27) ( ),01( ),021(),02h onh nnhnn( )oh n (2.2.28) 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n) (2.2.29)

17、h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n) (2.2.30)2,01,00,0nnn( )u n(2.2.31)例 2.2.3 x(n)=anu(n); 0a1; 求其偶函数xe(n) 和奇函数xo(n)。 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 按(2.2.2)式得到(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ex n 1,01,021,02nnnanan按照(2.2.28)式得到(0),01( ),021(),02xnx n nxn n( )ox n 1,01,021,02nnnanan图 2.2.3 例2.2.3图 5. 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(

18、n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 证明( )( ) ()() ( )( ) ()()( )( )( )( )()()mjjnmjj kj kjkmj kj kkmjjy nx m h nmY eFT y nx m h nm eY eh k ex m eeh k ex m eH eX e 令k=n-m 该定理说明， 两序列卷积的FT， 服从相乘的关系。 对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。 因此求系统的输出信号， 可以在时域用卷积公式(1.3.7)计算， 也可以在频域按照(2.2.32)式， 求出输出的FT， 再作逆FT求出输出

19、信号。 6. 频域卷积定理 设y(n)=x(n)h(n) (2.2.33) ()11()()*()()()22()( ) ( )1( )()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede ()()1()()( )21()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eXedH eH e 7. 帕斯维尔(Parseval)定理222*1( )(21( )( )( )( )()2jnjj nnnnx nx edx nx n x nx nX eed(2.2.34) 帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量

20、。要说明一下，这里频域总能量是指|X(e j)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2)。最后，表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。 2*1()( )211()()()22jj nnjjjX ex n edX eXedX ed表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式及傅里叶变换表示式 2.3.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里叶级数( )x n2( )jknNkkx na e(2.3.1) 式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak，

21、将上式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和 2jmnNe (2.3.2)式的证明， 作为练习自己证明。 因此 上式中， k和n均取整数， 当k或者n变化时， 是周期为N的周期函数， 可表示成222111()00021()0( )NNNjmnjmnjk m nNNNkknnkknNjk m nNnx n ea eaee ,0,N kmkm(2.3.2) 2101( )NjkmNknax n eN-k (2.3.3)( )kx kNa22(),jk N njkmNNeel取整数 上式中 也是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Seri

22、es)表示。 如对(2.3.4)式两端乘以 ， 并对k在一个周期中求和， 得到( )x k( )x n2jklNe222211111()00000( )( )( )NNNNNjkljknjkljl k kNNNNkkkkkX k eX n eeX ne 同样按照(2.3.2)式， 得到2101( )( )NjknNkx nx k eN (2.3.5) 将(2.3.4)式和(2.3.5)式重写如下： (2.3.6)式和(2.3.7)式称为一对DFS。 (2.3.5)式表明将周 期 序 列 分 解 成 N 次 谐 波 ， 第 k 个 谐 波 频 率 为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1

23、， 幅度为 。其波分量的频率是2/N， 幅度是 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。 210210( ) ( )( )1( ) ( )( )NjknNnNjknNnX kDFS x nx n ex kIDFS x kx k eN(2.3.6)(2.3.7) (1/)( )N X k(1/)(1)N X 例 2.3.1设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8， 求 的DFS。 解： 按照(2.3.4)式( )x n( )x n273840044442224888( )( )111()1()jknknnn

24、jkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kX n eeeeeeeeeeee 其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。 38sin2sin8jkkek( )X k图 2.3.1 例2.3.1图 2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数， 强度是2， 即0( )jtax te00()( )2()jtj taaXjFT x teedt (2.3.8) 对于时域离散系统中，x(n)=ejon，2/o为有理数， 暂时假定其FT的形式与(2.3.8)式一样， 也是在=0处的单位冲激函数，强度为2，但由于n取整数， 下式成立00(2),jnjr ne

25、er 取整数 上式表示复指数序列的FT是在o2r处的单位冲激函数，强度为2如科2.3.2所示。 但这种假定如果成立， 要求按照(2.2.4)式的逆变换必须存在， 且唯一等于 ，下面进行验证，按照(2.2.4)式因此e j0n的FT为00()2(2)jnjrX eFT er (2.3.9) 0jne图 2.3.2 的 FT 0jne)( jXa)(jeX00204060 观察图2.3.2， 在区间， 只包括一个单位冲激函数， 等式右边为 ， 因此得到下式： 证明了(2.3.9)式确定是ejon的FT， 前面的暂时假定是正确的。 对于一般周期序列 ，按(2.3.4)式展开DFS，第k次谐波为 ，类

26、似于复指数序列的FT，其FT为 ，因此 的FT如下式0jne001()()2jnjjj neX eedIFT X e( )x n2( )/)jknNX xN e22( )/(2)rX kNkrN ( )x n 式中k=0, 1, 2 N-1, 如果让k在之间变化， 上式可简化成102( )2() ( )(2)Njkrx kX eFT x nkrNN 21022()( ) ()( )( )jkNjknNnX ex kkNNx kx n e (2.3.10) 表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换 1( )( )21(1)(1)2( )(1)( )(1)( )1()1jjx nu nx nu nx

27、nx nu nu nnX ee对(a)式进行FT， 得到()()(2)1()(2)1jjkjjkX eU ekU eke 例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。 解： 将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到( )X k38sin(/2)()()4sin(/8)4jkjkkX eekk 其幅频特性如图2.3.3所示。 图 2.3.3 例2.3.2图 对比图2.3.1， 对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以， 但画图时应注意单位冲激函数的画法。

28、例 2.3.3 令 ，2/0为有理数， 求其FT。 解： 将 用欧拉公式展开0( )cosx nn( )x n00000001( )2()cos12 (2)(2)2(2)(2)jnjnjrrx neeX eFTnrrrr (2.3.11) 按照(2.3.9)式， 其FT推导如下： 上式表明cos0n的FT， 是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。 图 2.3.4 cos0n的FT 0 0 0X(ej)222.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 我们知道模拟信号我们知道模拟信号x

29、a(t)的一对傅里叶变换式用下的一对傅里叶变换式用下面公式描述面公式描述()( )1( )()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt (2.4.1)(2.4.2) 这里这里t与与的域均在的域均在之间。从模拟信号幅度取之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采连续信号和采样信号样信号，它们之间的关系用，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：式描述，重写如下： 采样信号采样信号 和连续信号和连续信号xa(t)，它们分别的傅，它们分别的傅里叶变换之间的关系，由采样定理里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式

30、描述，重式描述，重写如下：写如下： ( )() ()aanxtx nTtnT( )axt1()()aasnxjxjjkT 下面我们研究如果时域离散信号下面我们研究如果时域离散信号x(n)，或称序列，或称序列x(n)，是由对模拟信号，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上采样产生的，即在数值上有有下面关系式成立：有有下面关系式成立： x(n)=xa(nT) (2.4.3) 注意上面式中注意上面式中n取整数，否则无定义。取整数，否则无定义。x(n)的一对的一对傅里叶变换用傅里叶变换用(2.2.1)式和式和(2.2.4)式表示，重写如下：式表示，重写如下： ()( )1( )()2jj nn

31、jj nX ex n ex nX eed X(ej)与与Xa(j)之间有什么关系之间有什么关系？数字频率数字频率与模与模拟频率拟频率(f)之间有什么关系之间有什么关系？这在模拟信号数字处理中，这在模拟信号数字处理中， 是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将式开始研究。将t=nT代入代入(2.4.2)式中，得到式中，得到 1()()2j nTaax nTXjed(2.4.4) (21)/(21)/1()()2rTj nTaarTrx nTXjed 令令 ，代入上式后，再将，代入上式后，再将用用代替，代替， 得到得到2r

32、T /2/12()()212()()2Tj nTjrnaaTrTj nTaaTrx nTXjjr eedTx nTXjjr edT 式中，式中， 因为因为r和和n均取整数，均取整数，e-j2rn=1，交换求和，交换求和号和积分号得到：号和积分号得到：(2.4.5) 在第一章中曾得到结论，在第一章中曾得到结论， 如果序列是由一模拟如果序列是由一模拟信号取样产生，信号取样产生， 则序列的数字频率则序列的数字频率与模拟信号的频与模拟信号的频率率(f)成线性性关系，成线性性关系， 如如(1.2.10)式所示，式所示， 重写如下：重写如下： =T 式中式中T是采样周期是采样周期T=1/fs， 将将(1.

33、2.10)式代入式代入(2.4.5)式得到式得到 112()()212()()j naarjarx nTXjjr edTTTX eXjjrTTT现在对比(2.4.1)式和(2.4.6)式， 得到(2.4.6) (2.4.7) 上面上面(2.4.7)式即表示序列的傅里叶变换式即表示序列的傅里叶变换X(ej)和模和模拟信号拟信号xa(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Xa(j)之间的关系式，我们将之间的关系式，我们将(2.4.7)式与式与(1.5.5)式对比，得到结论：式对比，得到结论：序列的傅里叶序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号

34、、模拟信号分别的号、模拟信号分别的FT之间的关系一样，都是之间的关系一样，都是Xa(j)以周期以周期s=2/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系用关系用(1.2.10)式表示。式表示。 在一些文献中经常使用归一化频率f=f/fs或=/s，=/2，因为f、和， 都是无量纲，刻度是一样的，将f、f、 、的定标值对应关系用图2.4.1表示。 图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系0.5 100.510.5 100.510.5 100.51 fs2sffsff 2s2sf2sss00022 例 2.4.1设xa(t)=cos(2f0t)，f0=50 Hz以采

35、样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号 和时域离散信号x(n)，求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解： ( )axt( )axt0002200()( )cos212 (2)(2)aaj tjf tjf tj tXjFT x tf tedteeedtff (2.4.8) Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数，强度为， 如图2.4.2(a)所示。以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 按照(1.5.2)式， 与xa(t)的关系式为 ( )axt( )axt0( )cos(2) ()anxtf nTtnT 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以s=

36、2fs为周期，将Xa(j)周期延拓形成，得到： ( )axt00()( )1() (2)(2)aaasksskXjFT xtXjjkTkfkfT (2.4.9) 如图2.4.2(b)所示。 将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT)()aXj 按照(2.4.7)式， 得到x(n)的FT， 实际上只要将=/T=fs代入 中即可。 ()aXj 将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的值，=2k/2，因此X(ej)用下式表示： 00() (22)(22)jsssskX efkfffkffT () (2)(2)22jkX ekk

37、T (2.4.10) 图 2.4.2 例2.4.1图Xa(j )00 s2s2s sTXa(j )022（ a ）（ b ）（ c ）X(ej)02f02f02f02f222.5 序列的序列的Z变换变换 2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为( )( )nnX zx n z(2.5.1) 式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n求和是在之间求和， 可以称为双边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式 0( )( )nnX zx n z(2.5.2) 使(2.5.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示 这种单边Z变换的

38、求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。 (2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即( )nnxxx n zRzR (2.5.3) 图 2.5.1 Z变换的收敛域 常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示： ( )( )

39、( )P zX zQ z()( )jjz eX eX z(2.5.4) 式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。 例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1， 0( )( )nnnnX zu n zz11( )1X zz|z|1 由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。该序列的FT

40、不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它 即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。其Z变换为21( )( )nnn nX zx n z 设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与丙点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，

41、整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下： n10， n20时， 0z n10时， 00时， 0z 例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解： 1101( )( )1NNnnNnnzX zRn zzz 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果(2.2.5)公式是相同的。 2. 右序列 右序

42、列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。 0( )( )( )nnnnnnnnX za u n za zx n z 第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|， Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与， 其收敛域为Rx-|z|。 如果是因果序列， 收敛域定为Rx- |z|。 例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解： 01( )( )1nnnnnnnX za u n za zaz在收敛域中必须满足|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn1， 序列值全为零的

43、序列。 左序列的Z变换表示为 2( )( )nnnX zx n z 如果n20, z=0点收敛， z=点不收敛， 其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内， 收敛域为0|z|0， 则收敛域为0|z| Rx+ 。 例 2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。 11( )(1)nnnnnnnnnX za unza zaz X(z)存在要求|a-1z|1， 即收敛域为|z|Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+ ，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。 例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其

44、收敛域。 解： 1000( )nnnnnnnnnnnnnnnX za zazz za zz z 第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|-1，第二部分收敛域为|az-1|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式： 1211( )111,(1)(1)azX zazazaazaz|a|z|a|-1 如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。 当0aa， 求其逆Z变换x(n)。 111111( )(1)21( )1ncnnx nazzdzjF zzazzza 为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点， 极点有： z=a; 当n0时z=0共二个极点， 其中z

45、=0极点和n的取值有关。 n0时， n=0不是极点。 n0时， z=0是一个n阶极点。 因此分成n0和n0两种情况求x(n)。 n0 时，( )Re ( ), ()nz anx ns F z azzazaa n0时， 增加z=0的n阶极点， 不易求留数， 采用留数辅助定理求解， 检查(2.5.10)式是否满足， 此处n0， 只要N-N0， (2.5.10)式就满足。 图 2.5.4 例2.5.6中n|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|z|z-1|， 对应的x(n)是双边序列； (3) |z|a-1|211211( )(1)(1)1()()nnaF zzazazaza zaza

46、 种收敛域是因果的右序列， 无须求n0时的x(n)。 当n0时， 围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1， 因此 最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。 (2) 收敛域|z|a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n0情况， 当n0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n0时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极点留数之和112211( )Re ( ), Re ( ),(1)(1)()()()(1)()()nnz az annx ns F z as F z aazazzazazaaza zazaaa 最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u

47、(-n-1) (3) 收敛域|a|z|a-1| 这种情况对应的x(n)是双边序列。 根据被积函数F(z)， 按n0和n0两情况分别求x(n)。 n0时， c内极点z=a x(n)=ResF(z), a=an11221110, ( )Re ( ), Re ( ),(1)(1)()()()()()()()nnz az annnnnx ns F z as F z aazazzazaa zazaa zazaaaaa n0时， c内极点有二个， 其中z=0是n阶极点， 改求c外极点留数， c外极点只有z=a-1， 因此 x(n)=-ResF(z), a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(

48、n)= x(n)=a|n| a-n n0 2. 幂级数法(长除法) 按照Z变换定义(2.5.1)式， 可以用长除法将X(z)写成幂级数形式， 级数的系数就是序列x(n)。 要说明的是， 如果x(n)是右序列， 级数应是负幂级数； 如x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。 例 2.5.8已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。 解由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展成负幂级数11( ),1X zzaaz1221112222111aza zazazaza za z 1-az-1 ( )X z122330( )1( )( )nnnnX zaza za za zx na u n 122331112

49、22211a za za za za za za za z 例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。 解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数 11( ),1X zzaaz 3. 部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。 设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式 1122( )( )(1)nnnnX za za za zx na un 观

50、察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。0101( )( )NmmmNmmmA zX zAzzX zAAzzzz(2.5.11) (2.5.12) 0( )Re ,0( )Re ,mmX zAszX zAszz(2.5.13) (2.5.14) 求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。 例2.5.10已知 ，求逆Z变换。 1125( ),2316zX zzzz解 212122122311( )555166(2)(3)23( )( )Re ,2(2)1( )( )Re , 3(3)1( )11(2)(3)11( )1213zz

51、X zzAAzzzzzzzzzX zX zAszzzX zX zAszzzX zzzzX zzz 因为收敛域为2|z|2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1) 一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。 表2.5.1 常见序列Z变换 2.5.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。 1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ 则 M(z)=ZTm(n) =aX(z)+bY(z), R m-|z|Rx-Ry+Ry-时，则M(z)不

52、存在。 2. 序列的移位 设X(z)=ZTx(n), Rx-|z|Rx+ 则ZTx(n-n0)=z-n0X(z), Rx-|z|Rx+ (2.5.16) 3. 乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n), R x-|z|R x+ y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n) =X(a-1z) |a|Rx-|z|a|Rx + (2.5.17)证明11( )( )( )()()nnnnnY za x n zx n a zX a z因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a| Rx- |z|a| Rx+ 。111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnndX

53、zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n zz ZT nx ndX zZT nx nzdz 4.序列乘以n设 ( ) ( )( )( )xxxxX zZT x nRzRdX zZT nx nzRzRdz 则(2.5.18) 证明 5.复序列的共轭 设*( ) ( ),()( ),( )( ) ( )()( )()()xxxxnnnnnX zZT x nRz RXZZT XnRz RZT XnXn zx n Zx n ZXZ则 证明 (2.5.19) 6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n) (0)lim( )xxX z(2.5.20) 120( )( )(

54、0)(1)(2)nnX zx n zxxzxz证明 lim( )(0)xX zx因此 7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则 1lim ( )lim(1)( )xxx nzX z(2.5.21) (1)( ) (1)( )nnzX zx nx n z证明 因为x(n)是因果序列，10( )0,0(1)( )lim(1)( )nnmmxmmx nnzX zx mzx m z 因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限110lim(1)( )lim(1)( )lim (0)(1)(1)(0)(1)(2)( )

55、lim (1)lim ( )nnxxmmxxxzX zx mx mxxx nxxxx nx nx n终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为1lim(1)( )Re ( ),1( )Re ( ),1xzX zs X zxs X z (2.5.22) 因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。 8. 序列卷积 设 ( )( )( )( ) ( ),( ) ( ),( ) ( )( )( ),min,max,xxyyyynx ny nX zZT x nRzRY zZT y nRzRW zZTnX zY z RzRRRRRRR则 ( ) ( )( )( ) ()( )()( )( )( )

56、( )nnnnnnmnW zZT x ny nx m y nm zx my nm zx m zY zX zY z证明 W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。 例2.5.11已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。 解：y(n)=h(n)*x(n) 求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。 010(1)( )( ) ()( ) ()1,01mmmnmmy nh m x nma u m u nmaana11111(2)( )( )( )1( )( ),11( ) ( ),111( )(

57、 )( ),1(1)(1)1( )2(1)()nncy nh nx nH zZT a u nzaazX zZT u nzzY zH zX zzzazzy ndzzza由收敛域判定y(n)=0,n0。 n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a111111111( )( )1nnnaaaaaay nu na将y(n)表示为 9.复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)， R x-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z), R y-|z|R y+ w(n)=x(n)y(n)则1( )( ) ( )2max(,)min(,)cxyxyxxyyz dvW zX v Yjvv

58、R RzR RzzRvRRRW(z)的收敛域 (2.5.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为(2.5.24) (2.5.25)(2.5.26)1( )( ) ( )1( ) ( )21( )( )( )21( ) ( )2nnnncnncncW zx n y n zX v vdv y n zjzdvX vy njvvz dvX v Yjvv证明 由X(z)收敛域和Y(z)的收敛域，得到 例 2 . 5 . 1 2 已 知 x ( n ) = u ( n ) , y ( n ) = a| n |， 若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n) 解：max(,)min(,)xxyyxy

59、xyxxyyRvRzRRvR RzR RzzRvRRR因此 11( ),11X zzz W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。 211211( ),(1)(1)1(1)1( )2(1)(1)1caY zazaazazadvW zujavavvz11( )Re ( ), ,1( )( )nW zs F v aazazw na u n 10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的怕斯维尔定理。( ) ( ),( ) ( ),1,1xxyxxyxxX zZT x

60、 nRzRY zZT y nRzRR RR R那么 111( )( )( )()2cnx n y nX v Yv dvjvv平面上，c所在的收敛域为11max(,)min(,)xxyyRvRRR 证明 令 w(n)=x(n)y*(n) 按照(2.5.24)式，得到11( ) ( )( )( ) )2czW zZT w nX v Yv dvjv 按照(2.5.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。 11111(1)( )()2(1)( )( )( )( )11( )( )( )()2cnznncnWX v Yv dvjvWx n y