高考中含参数线性规划问题专题(学生版)

1、 高考中线性规划专题纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。题型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵活多变，要引起高度重视.近三年全国卷是这样考1.(2015·新课标全国卷理科·T15)若x,y满足约束条件则的最大值为.2.(2015·新课标全国卷文科·T15)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为.3.(2015·新课标全国卷理科·T14)若x,y满足约束条件x-y+10,x-2y0,x+2y-20,则z=x+y的最大值为.4.(20

2、15·新课标全国卷文科·T4)若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为.5. (2014·新课标全国卷高考文科数学·T9) 设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()A.8 B.7 C.2 D.16. (2014·新课标全国卷高考理科数学·T9)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 ()A.10 B.8 C.3 D.27.(2013·新课标全国高考理科·T9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=() A.B. C.1D.28.（2013·新课标全国高考文

3、科·3）设满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D.9（2013·新课标高考文科·14）设x，y满足约束条件，则的最大值为_.10. （2013·大纲版全国卷高考文科·15）若满足约束条件则 .11.（2013·大纲版全国卷高考理科·15）记不等式组所表示的平面区域为若直线 .含参问题的探究一、恒过“定点”问题例1.（2009福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组（为参数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 （ ）A B. C. D. 解析：作出不等式组所围成的平面区域。如图（1）所示由题意可知，公共区域的

4、面积为2 的坐标为，代入得，故选D . 图（1） 点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点，此时，可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解。规律总结：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案。二、恒成立问题例2.（2008浙江，17）若，且当时，恒有，则以为坐标的点所成的平面区域的面积是 （ ）A. B. C. 1 D. 解析：作出满足条件的点的可行域，如图（2）所示.，且恒有，

5、结合直线，与可行域可知: 点所成的平面区域如图（3）.故所形成的平面区域的面积是1.故选C。 图（2） 图（3）点评：正确解答此题的关键是：“恒有”的巧妙运用，因中含有两个参数两个变量，故用“恒成立”的“数值解法”比较困难，只能用“图形控制”来解答；根据“恒有”的“图形控制”先求的约束条件，再画出其约束的平面区域，是正确解答此题的突破口。规律总结：在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了。三、“动”“静”结合问题例3.（2006广东.9）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 （ ）A.6，1

6、5 B.7,15 C.6,8 D.7,8解析：当时，约束条件所表示的可行域就是与轴、轴在第一象限围成的三角形区域，直线过点时，取最大值，当时，直线过与的交点时，取得最大，结合图形分析，此时，当，的最大值中的最小值为7.故答案为D。 图（4）点评：该题在作可行域时，由于直线方程中含有参数“” 且给定了该参数的取值范围，使问题变得复杂。解决此类问题的主要思路是：先将能够画出图形的部分全部画出来，再分析“动直线”的运动趋势，确定好运动的“最大位置”及“最小位置”，将“最大位置”及“最小位置”固定（静）下来，使“动”在“静”下做，借用运动的观念逐步分析，确定答案。规律总结：在约束条件中的二元不等式若含

7、有参数且给定了该参数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直线运动的“最大”“最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不同情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解。四、转移模型问题例4.（2006重庆，16）已知变量满足约束条件，若目标函数（其中）仅在点取得最大值，则的取值范围为。解析：依据约束条件,作出可行域，如图（5） 图（5）由可行域可知，要使目标函数（其中）仅在点取得最大值，则必有直线的斜率>直线的斜率又， 得： 故答案为点评：此题的目标函数中含有参数且，因此目标函数所确定的直线的斜率0，直线大致图象能确定下来，由线性规划的“平移”解法可知，欲使直线平移过点

8、处取得最大值，只需控制的斜率直线的斜率即可，问题就转化为研究“斜率”问题（模型）了。规律总结：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。五、消元化归问题例5.（2003天津）已知，且，求函数的最大值。解：由得于是同时可变为则题设中的不等式即线性约束条件变形为：满足上述约束条件的区域如图（6）所示，其中，, 图（6）设，则是经过区域且斜率为1的直线在轴上的截距易知当这些平行直线经过点时，截距为最小当直线经过点时，截距取最大值 点评：该题与常规型的线性规划相比：在约束条件及目标函数中均多了一个“参数”，但题中确给出了一个含“”的等式。因此，总可以用