16微积分基本定理 (2)

1、问题：问题：一个作变速直线运动的物体的运动规一个作变速直线运动的物体的运动规律律S SS(tS(t) )。由导数的概念可以知道，它在。由导数的概念可以知道，它在任意时刻任意时刻t t的速度的速度v(tv(t) )SS（t)t)。设这个物。设这个物体在时间段体在时间段a a，b b内的位移为内的位移为S S，你能分，你能分别用别用S(tS(t) )，v(tv(t) )来表示来表示S S吗？吗？从中你能发现从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？导数和定积分的内在联系吗？tOy tyy BniSSSSS 21a aybSa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2S1S2 iS nS1h2

2、hihnhA by aybyS ttvSii 1 吗吗？表表示示，你你能能分分别别用用内内的的位位移移为为设设这这个个物物体体在在时时间间段段的的速速度度为为在在任任意意时时刻刻由由导导数数的的概概念念可可知知，它它是是运运动动的的物物体体的的运运动动规规律律如如图图：一一个个作作变变速速直直线线S,tvtySbatytvttyy 1 itynab ttyi 1iihS tDPC tan ttyi 1链接 aybyS badtty tyy ay byniSSSSS 21 111 iiiitynabttyttvS ttvSniin 11lim niintty11lim dttvba aybydt

3、tySba 另一方面，从另一方面，从导数导数角度来看：角度来看：如果已知该变速直如果已知该变速直线运动的路程函数为线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间a,b内物内物体的位移为体的位移为s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函数，这就是说，的原函数，这就是说，定积分定积分 等于被积函数等于被积函数v(t)的原函数的原函数s(t)在区间在区间a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)( 从从定积分定积分角度来看：角度来看：如果物体运动的速度函数为如果物体运动的速度函数为v=

4、v(t)，那么在时间区间，那么在时间区间a,b内物体的位移内物体的位移s可以用定可以用定积分表示为积分表示为.d)(battvs二、微积分基本定理 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 ,f xa bF xf x 如如果果是是区区间间上上的的连连续续函函数数并并且且则则 bafx dxF bF a bbaafx dxF xF bF a 或或 的的导导函函数数叫叫做做的的原原函函数数，叫叫做做xxfxfxFF牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系牛顿莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 解

5、解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函数是关键函数是关键 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx 用微积分基本定理求定积分的步骤：求f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)注意事项：有时需先化简，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.练习练习1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415b

6、anbannxdxx121 ：公公式式例计算定积分例计算定积分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式 37611311313331313 xx 达标练习：达标练习： _14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee初等函数初等函数微积分基本定理微积分基本定理)()()(aFbFdxxfba 三、小结banbannxdxx121 ：公公式式abxdxxbabalnlnln11 ：公公式式|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定积分公

7、式定积分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaa 被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符号去积处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分的性质，必须熟记在心的解析式求且点是一次函数，其图象过、已知)(, 1)(),4 , 3()(110 xfdxxfxf微积分与其他函数知识综合举例：微积分与其他函数知识综合举例：的最大值。求、已知)(,)2()(21022afdxxaaxaf例例1 1 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式20(2sincos)|xxx.23 例例2 2 设设 , 求求 . 215102)(xxxx