第三章矩阵初等变换与线性方程组

1、第三章初等矩阵与 线性方程组3-1矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换的定义(一)初等行(列)变换 设 则以下三种变换称为矩阵A的初等行(列)变换(1)交换A的两行(列) (对调 两行记作 ,对调 两列记作 ), i jijcc,ijm nAaijrr, i j(2)用一个非零常数k乘以A的某一行(列)(用非零常数k乘以矩阵的第i行(列) )(3)用一个数乘以A的某一行(列)的各元素后再加到A的另一行(列)对应的元素上去iirk ck记为,)ijijjkirkr ckc(第 行 列 的 倍加到第 行 列 上去记为(二)初等变换：矩阵的初等行 变换与初等列变换统 称为初等变换。(三)、初等变换的逆变

2、换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。1、 的逆变换就是其本身ijrr,ijijrrrrABBA 即若则2、 的逆变换为3、变换 的逆变换为irk1irkijrkrijrkr1,iirr kkABBA 即若则,ijijrkrrkrABBA 即若则二、矩阵的等价关系(一)定义：1、如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作rAB2、如果矩阵A经有限次初等列变换 变成矩阵B，则称矩阵A与B列等价, 记作3、如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价， 记作cABAB(二)矩阵的等价关系的性质1、 反身性2、 对称性： 若 则3、传递性：

3、若 则AA,ABBA,ABBCAC三、矩阵的几种特殊类型(一)行阶梯形矩阵特点:1.矩阵的所有元素全为0的行(如果存在 的话),都集中在矩阵的最下面. 2.每行左起第一个非零元素(称为首非零 元)的下方元素全为0. (即可以在该矩阵中画出一条阶梯线,线的下 方全为零,每个阶梯只有一行, 阶梯数即是非 零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度 为一行)后面的第一个元素即为首非零元.)(二)行最简形矩阵特点：行阶梯形矩阵非零行首非零元 为1，且这些首非零元所在的 列的其它元素都为0。(对任何矩阵 ,总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵)m nA(三)矩阵A的等价标准形矩阵特

4、点:矩阵A的等价标准形矩阵的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为零, 对于 矩阵A,总可经过初等变换(行变换和列变换)把它化为等价标准形 其中 是行阶梯形矩阵中非零行的行数。m n000rm nECr例1、设 ,把 化成行最简形。021302230AA E四、初等矩阵(一)定义： 对单位矩阵E施行一次初等变 换得到的矩阵称为初等矩阵。(二) 初等矩阵的类型1、将单位矩阵 两行(列)对换得到的矩阵,记作11011( , )11011E i j i 第 行j第 行, i j,E i j2、以数 乘单位矩阵E的第i行(列)得到的矩阵，记作 0k 1111E i kki第行 E i k3、将单位矩阵E第

5、j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)得到的矩阵称为初等消去矩阵，记作 11,11kE i j k i 第 行j第 行 ,E i j k(三)初等矩阵的性质1、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵 ,TE i jE i j TE i kE i k ,TE i j kE j i k2、初等矩阵均为可逆矩阵,并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵 1,E i jE i j 110E i kE ikk 1,E i j kE i jk(四)初等矩阵在矩阵乘积中的作用1.用m阶初等矩阵 左乘矩阵 得：,mEi jm nijm nAa1111011,11011jimm njimmEi j A11121121

6、212,njjjnmm niiinmmmnaaaaaaEi j Aaaaaaai第 行j第 行 相当于把矩阵 的第 行与第 行对调 ,类似地,以 n 阶初等矩阵 右乘矩阵 其结果相当于把 的第 列第 列对调.ijijrr,nEi jijm nAm nAm nAijCC2.以m阶初等矩阵 左乘矩阵其结果相当于以数 乘 的第 , 以 右乘矩阵 ,其结果相当于以数 的 mEi km nAirk nEi km nkA乘iick第 列km nAi行m nA 111111mm niimmEi kAkk3、以 左乘矩阵 ,其结果相当于把A的第 j 行乘k加到第 i 行上 ,以 右乘矩阵其结果相当于把 的第

7、i 列乘k加到 第 j列上 jickc ,mEi j km nAijrkr ,nEi j km nAm nA 1111,11ijimm njjmmkkE i j k A 例2、设矩阵求111213212223313233aaaAaaaaaa 11,321,3EAAE 3241,3EkAAEk五、定理及推论（一）定理1: 用初等矩阵左乘A , 相当于对A 施行相应的初等行变换,用初等矩阵右乘A , 相当于对A 施行相应的初等列变换。（二）定理2 若方阵A可逆,A可以经过有限次的初等行变换(初等列变换),化为单位矩阵E,即AE(三)推论: 可逆矩阵A可表示为有 限个初 等矩阵的乘积。六、初等变换的

8、应用（一）求可逆矩阵A的逆矩阵 1A11.,rA EE XAXA行变换若,则 可逆,且12.CAEAXAEX列变换若,则 可逆,且例3、设 ， 求123212134A1A(二) 的求法1、对于n 阶矩阵 A 和 矩阵 B, 则 A 可逆,且2、对于n 阶矩阵 A 和 矩阵 C, 则 A 可逆,且11A BCA及n srA BE X行变换若,CAECX列变换若1XA Bs n1XCA3、对于n 阶矩阵 A 和 矩阵 C, 则 A 可逆,且1TXCArTTACE X行变换若,s n111TTTTTXACACCA例4、求矩阵X,使 其中 12325221 ,3134343ABAXB例5、解矩阵方程

9、,其中AXAX220213010A例6、设 找出相应的初等矩阵 10-10-242-8 ,3-6-3 12A11110,;00rststEPP QQPPAQQ使例7、求可逆矩阵 的逆矩阵。23122310100100001nnnaaaaaaaAaa例8、若可逆矩阵A作下列变化,则 相应地有怎样的变化 12AijAi中 行与 行互换；中 行乘上非零数k. 3 Aji中 行乘上数k加到第 行.1A例9、求满足关系式 的矩阵A,其中 1-100213401-100213,001-1002100010002BC1TTA EC BCE 3-2矩阵的秩 一、矩阵的秩的概念(一)矩阵 A 的一个 阶子式 在

10、 矩阵A中,任取 列 位于这些行、列交叉处的 个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的 阶行列式,称为矩阵A的阶子式. 矩阵A的 阶子式共有 个km nkk行1min,kmn 2kkkm nkkkmnCC(二)最高阶非零子式，矩阵的秩 如果矩阵A中有一个 子式 ,而所有 阶子式(如果存在的话)的值全等于0，则称 为矩阵A的一个最高阶非零子式,其阶数 称为矩阵A的秩,记作 .r阶1r r R A0rD rD例1、求矩阵A 和B的秩 其中 123235471A21 032031250004300000B(三)行满秩矩阵,列满秩矩阵,满秩矩阵 设A为 矩阵,当 时.称A为行满秩矩阵,当 时, 称

11、A为列满秩矩阵。 若A为n阶矩阵,且 ，则称A为满秩矩阵,否则称降秩矩阵m n =R Am =R An =R An二、矩阵的秩的性质1.若矩阵A中有一个S阶非零子式，2.若矩阵A中所有t 阶子式全为0，3.若A为 矩阵, R AS则mn min,R Am n则0 R At则 TR AR A4.5.n阶可逆矩阵A的秩等于阶数,即当 时, ,所以可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称降秩矩阵。6.行阶梯形矩阵,非零行的行数等于矩阵的秩。0A R An R An三、用初等变换求矩阵的秩(一)定理1:若A与B是同型矩阵,A与B等价 的充分必要条件是(二)推论:设有可逆矩阵P,Q,使PAQ=B 则 R A

12、R B R AR B例2、设 求 R(A) ，并求A的一个最高阶非零子式。12102242662102333334A(三)定理2 设有任意矩阵A,B,则特别地,当B=b为列向量时,有 ,1R AR AbR A 2. R ABR AR B 3.min,R ABR AR B 4.0m nn lA BR AR Bn若若 1. max,R AR BR A BR AR B例3、设 已知 ,求 的值 1112312536A 2R A 与例4、设A为n阶矩阵,证明 R AER AEn例5、求 矩阵 的秩.1n n nabbbbabbAbbba例6、设 求121,0TnnAa aa12,0nBb bbR AB

13、AB及例7、设 B是秩为1的35矩阵,问矩阵 的秩为多少.AE B2-2703-6000A例8、设A为53矩阵(2)齐次线性方程组(A)无解; (B)有唯一解; (C)有无穷多组解;(D)解不能确定,可能有解;可能无解.()0TAAX 为 1_,=_.TTR AAAA必例9.以下命题正确的是( )且说明理由(1)对任何矩阵A，均有 ; (2)A,B,C,D均为n阶方阵,若 (3)A,B为 阶方阵,则TTAAA A;TABACMMCDBD则1n n 00AA BB (4)A,B均为可逆矩阵,则AXB=C有唯一解11XA B C 1111002220005000n nn nnnn等价于例10、已知

14、A为3阶方阵,02AGAAA=0Aa 112GG求；例11、设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行互换后得到的矩阵记为B (1)证明B是可逆矩阵 -12AB求例12、设A为 矩阵,B为矩阵,当 时，证明:(3)齐次线性方程组 有非零解.m n0AB X nmmn 1;2R ABmAB不可逆. 3-3 线性方程组的消元法一、线性方程组的概念(一) 非齐次线性方程组,齐次线性方程组 设有n个未知数m个方程的线性方程组 11 11221121 1222221 1221nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb当 不全为零时,称方程组(1)为非齐次线性方程组。当

15、全为零时,称方程组叫做齐次线性方程组。12,nb bb12,mb bb 11 1122121 122221 1220020nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax 其中 称为方程组的系数, 称为这个方程组的未知量, 称为方程组的常数项,同时称线性方程组(2)为与线性方程组(1)相应的齐次线性方程组,或线性方程组(1)称为线性方程组(2)的导出的组。 ijaixib(二)线性方程组写成矩阵方程的形式 如果令则线性方程组(1)可以表示为称A为这个方程组的系数矩阵,称是这个方程组的增广矩阵.11111221,nmmnnmxbaaxbAXbaaxbAXb, A b（三）线性

16、方程组的解 如果 使得方程组(1)中每一个方程都成立,则称这n个数 是方程组(1)的解,或者说 是(1)的解(或解向量) 1122,nnxc xcxc12,nc cc12nccxc 如果线性方程组(1)有解,就称方程组(1)是相容的,否则,就称方程组(1)是不相容的。 一个线性方程组的解的全体构成的集合,称为这个线性方程组的解集合,两个具有相同解集合的线性方程组称为是同解的. 表示线性方程组全部解的表达式称为线性方程组的通解。 二、高斯消元法 (一)矩阵在高斯消元法中的应用 利用消元法解线性方程组,可通过线性方程组的增广矩阵的初等行变换来完成.例1、解线性方程组1231231232+26243

17、5 +728xxxxxxxxx(二)定理: n元线性方程组 (1) 无解的充分必要条件是(2) 有唯一解的充分必要条件是(3)有无穷多组解的充分必要条件是AXb ,R AR A b ,R AR A bn ,R AR A bn(三)求解线性方程组的步骤1、若为n元齐次线性方程组,将系数矩阵A化成行最简形,若 只有零解,若 有非零解,把行最简形中个非零行的非零首元所对应的未知数取出非自由未知数，其余 个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于 ，由 A 的行最简形即可写出含 个参数的通解。 A =Rn A =Rrnrnr12,n rC CCn r例2、解线性方程组123412341234240

18、3230340 xxxxxxxxxxxx2、若为非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B=(A,b) 化成行阶梯形矩阵,若 ,则方程组无解,若 ,则进一步把B化成行最简形。 R AR B R AR B3、若 ,则方程组有唯一解,若 则方程组有无穷多组解,把行最简形中r 个非零行的的非零首元所对应的未知数作非自由未知数, 并令自由未知数分别等于， ,由 B的最简形,即可写出含 个参数的通解。 R AR Bn R AR Brn12,n rC CCnr例3、求解非齐次线性方程组12341234123423135322223xxxxxxxxxxxx例4、求解非齐次线性方程组1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx例5、设含参数 的线性方程