第十一章动量矩定理

1、第一章动量矩定理典型例题例11. 1匀质滚子质量是 m ,半径是r ,对中心轴的回转半径是 r .滚子轴的半径是r0,在轴上缠有绳索，已知沿绳索作用与水平面成不变倾角二的常力F，使滚子沿固定水平面作无滑动的滚动，如图11(a)所示，Q .式求滚子质心C的加速度.D滚子的受力分析和运动分析如图11 二 F cos FsN - mg F sin =解一刚体平面运动微分方程.mac0=F(mP2)。=F$r Fr.1( b)所示，有(1)(2)(3)根据滚子滚动不滑动条件，有运动学关系ac = r联立求解可得ac , Fs和Fn，其中静滑动摩擦力*2 cos寸 rro F加 r2F(4)Fs(5)(

2、6)(6)质心加速度aCFr(rcosr)m( ： 2 r2)(6)(6)解二 对速度瞬心的动量矩定理，由于速度瞬心A到质心C的距离保持不变，可得Ja：八 Ma(f)即(m2 mr2)aC / r 二 F (rcosr0)由上式可得式(6).(6)讨论1关于滑动摩擦力Fs的方向问题由静力学知，力 Fs的方向与接触处相对滑动趋势 或相对滑动方向相反.为了便于分析，把作用在点D的力F向质心平移，可得作用在质心 C 上的一个力F ,和一个逆时针的力偶（F ,F ,），如图11 . 1（门和（d）,水平分力F coS 和力偶（F , F ”）都有使滚子上点 A相对于地面向右滑动的趋势，故力Fs的方向是

3、水平向左，由式（5）也可知，在图11.1（ b）所示情况下，力 Fs恒为正值.如果力F作用在点D的对称点E，如图11 . 1（ e）所示，把这力 F向质心C平移， 可得作用在质心 C上的一个力F ,和一个顺时针的力偶 （F,F”），如图11 .1（ 6）和（f） 所示，力F ,和力偶（F , F ,）使滚子上点A相对于地面的滑动摩擦趋势相反.这时方程（1）,（2） , （4）的形式不变，仅方程（3）的Fr0项变号，即mPuFsr+Fr。（7）联立解方程（1）,（2）,（4）, （7）,得质心加速度acFr(rcosr)mC 2r2)(8)(12)(12)和滑动摩擦力FsJ2cost - rro

4、 f：-2 r2(9)(12)(12)由式（8）知，质心加速度 ac的大小恒为正值，方向水平向右.由式（9）知，滑动摩擦 力有下列3种情况：（1）当2co rro时，Fs为正值，力Fs的方向水平向左， 说明水平分力F cos 对滑动摩擦力Fs方向的影响大于力偶（F,F”）对力Fs方向的影响.（2）当,cost rro时，Fs为负值，力Fs的方向水平向右，说明水平分力F cos 对滑动摩擦力Fs方向的影响小于力偶（F,F”）对力Fs方向的影响.（3）当2cre - rro时，Fs=0，不产生滑动摩擦力， 说明上述分力和力偶对力 Fs 方向的影响相互抵消，使滚子上点A对地面没有相对滑动趋势，因而不

5、存在滑动摩擦力.由此可见，在滚动不滑动的条件下，滑动摩擦力可能是正值或负值，也可能等于零，应具体分析而定.2 .滚子滚而不滑的条件是Fs f fsFN（10）把式（2）和式（5）代入上式，的滚子滚而不滑的条件，即滑动摩擦因数要足够大且满足fs-FnF ( 2 cos rr0)(mg-F si”)( 2 r2)(11)(12)或拉力F不能太大，应满足f$mg( P2 + r2)2 (cosfsSiM) r(ro rfsSiM)且Fn 0，即(13)mg 亠 F si(12)（7）例11. 2 曲柄OA长r = 0.8m ,在某转矩作用下以匀角速度 = 3rad /s沿顺时针绕 水平轴O转动，带动

6、匀质细杆AE在铅直平面内运动. 杆AE的质量 m = 20 kg，长I = 2m , 其A端与OA铰接，而E端与小滑块铰接；小滑块可沿光滑水平槽滑动，其质量和尺寸可忽略不计当OA处于水平位置时，如图11.2( a)所示，试求这瞬时杆AE的A端以及水平槽对小滑块E的约束力.（7）（7）解 取杆AE和小滑块为研究对象，其受力分析和运动分析以及所选坐标轴如图11. 2 ( b)所示.杆AE作平面运动，设在图示瞬时的角速度为 AB，角加速度为:AB，与水平面的夹角为 ,贝U sin，=0.8 , cos=0.6 根据刚体平面运动微分方程，有maCx Fax(1)macy *Ay - mg Fb(2)J

7、c。AB = (Fax Sind + F Ay co FbCOS)I/2(3)在上述3个方程中共有6个未知量acx , acy , : ab , Fax , F Ay和Fb ；为了求出约束力，还需进行运动分析，求出质心C的加速度和杆AE的角加速度.如图1 1 .2( C)所示，杆AE作平面运动，其速度瞬心在点P,PA = 1.2m，而其角速度其中Va r 0 PA PA=2 rad / s(逆时针)(4)aB =aA*aBA1 nFba(5)加速度aBaAt a banaBA大小未知r讥 AB1AB方向水平A OABB A如取点A为基点，则点E的加速度可表示为把式(5)投影到轴 y上，得0=0

8、-aBAcosa；Asin(6)即0 = -| ： ab cos i Ab sin2 2-=AB = AB tan =16/3rad/s （顺时针）其中仍取点A为基点，则点c的加速度可表示为加速度acaAaCAaCA大小未知25kt ab / 2to Ab/2方向水平A OA CC AaC-a A aCA aCA把式（5）投影到轴 X和轴y上，得acxaA-a：ASin -aCaCos（8）acy = 0 - a：A co爭 + a；A sin（9）即aCx = -n ； -（I ： AB sin ）/2 -（1 AB cos ）/2 二-13.87m/s2acy = （Iab co別）/2 + （血：BsinP）/2 = 0将所得-；AB , ac