32圆对称性(1)垂径定理

1、九年级数学(下)第三章 圆圆2. 圆对称性圆对称性(1)垂径定理垂径定理 西六支中学西六支中学授课教师：刘登英授课教师：刘登英圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条你能找到多少条对称轴？对称轴？你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ? 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .O圆的相关概念圆的相关概念 圆上任意

2、两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧. 直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半每一部分都叫做半圆圆(如弧如弧ABC).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmDAM=BM,问题问题1 1 垂

3、直于弦的直径有什么特点？垂直于弦的直径有什么特点？ AB是是 O的一条弦的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:ABCDMn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.即即垂直于弦的直径有什么特点？垂直于弦的直径有什么特点？如图如图,小明的理由是小明的理由是: 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在Rt

4、OAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OMRtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AM=BM, AC=BC,AD=BD.定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.OABCDM

5、CDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,问题问题2 2 平分弦的直径平分弦的直径有什么特点？有什么特点？ AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.过点过点M作直径作直径CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CDn由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦平分弦 的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所

6、对的两条弧分弦所对的两条弧.（不是直径）（不是直径）挑战自我挑战自我垂径定理的推论垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗? 老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.MN解这个方程，得解这个方程，得R=545.21例例1。如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中。如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中

7、弧弧CD,点点0是弧是弧CD的圆心），其中的圆心），其中CD=600m，E为为弧弧CD上的一点，且上的一点，且OE垂直于垂直于CD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。求这段弯路的半径。EODCF21解：连接解：连接OC， 设弯路的半径为设弯路的半径为Rm,则则OF=(R-90)m。 OE CDCF= CD= x600=300(m).根据勾股定理，得根据勾股定理，得 OC=CF +OF即即 R=300+(R-90).所以，这段弯路的半径为所以，这段弯路的半径为545m挑战自我挑战自我画一画画一画 如图如图,M,M为为O O内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）对对错错错错对对挑战自我挑战自我画一画画一画 3、已知：如图，、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的