线性方程组解的结构ppt课件

1、3.6 线性方程组解的构造解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa假设记假设记1一、齐次线性方程组解的性质,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21那么上述方程组那么上述方程组1可写成向量方程可写成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 假设假设为方程为方程 的的0 Ax解，那么解，那么 121111nx 称为方程组称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程的解向量，它也就是向量方程(2)的解的解齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解

2、的性质1 1假设假设 为为 的解，那的解，那么么 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 2 2假设假设 为为 的解，的解， 为实数，那么为实数，那么 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明 .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封锁的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封锁的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的

3、解空间的解空间0 Ax证毕证毕.如果如果解系解系的基础的基础称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2( 21出出线线性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 根底解系的定义根底解系的定义二、根底解系及其求法二、根底解系及其求法的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk 线性方程组根底解系的求法线性方程组根底解系的求法 00001001,1,

4、111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并无妨，并无妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax现对现对 取以下取以下 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分别别代代入入., 100, 010, 001依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,

5、rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基rn, 21 100,010,001由于由于 个个 维向量维向量rn rn 线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.rn nrn, 21.,)1(21线线性性无无关关证证明明n .,2)( 21线性表示线性表示可由可由证明解空间的任一解都证明解空间的任一解都rn .11方方程程组组的的一一个个解解为为上上述述设设Tnrrx ,rn的的线线性性组组合合再再作

6、作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax 0 Ax,. 下下面面来来证证明明 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn , rrn ,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程与与由由于于0 又又等等价价于于而而0 Ax nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11, 11111,都都是是此此方方程程组组的的解解与与所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11方方程程组组. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齐次线性方程组解空间的一个基是

7、齐次线性方程组解空间的一个基.rn, 1阐明阐明解空间的基不是独一的解空间的基不是独一的解空间的基又称为方程组的根底解系解空间的基又称为方程组的根底解系.kkkxrnrn 2211假设假设 是是 的根底解系，的根底解系，那么那么其通解为其通解为 rn, 210 Ax.,21是任意常数是任意常数其中其中rnkkk 定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组);0,(,)( 维向量空间维向量空间为为向量向量此时解空间只含一个

8、零此时解空间只含一个零系系故没有基础解故没有基础解方程组只有零解方程组只有零解时时当当nAR .,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空间可表示为解空间可表示为为任意实数为任意实数其中其中方程组的解可表示为方程组的解可表示为此时此时基础解系基础解系个向量的个向量的方程组必有含方程组必有含时时当当例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的根底解系与通解的根底解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作

9、初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对对应应有有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解线性方程组解线性方程组 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换 0

10、0000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其根底解系中有三个线性无关的解向量其根底解系中有三个线性无关的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程组的一个根底解系为所以原方程组的一个根底解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k ,k ,k为任意常数为任意常数其中其中321,xx 1221依次得依次得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).(

11、)(ARAART 证证明明证证.,维维列列向向量量为为矩矩阵阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即则则有有满满足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从从而而推推知知即即则则满满足足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因因此此.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线

12、性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)( 的的解解仍仍是是方方程程则则的的解解是是方方程程的的解解是是方方程程设设bAxxAxxbAxx .11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的恣意一个特为非齐次线性方程组的恣意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx ;, 21

13、线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的的秩秩相相等等与与矩矩阵阵矩矩阵阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 线性方程组的解法线性方程组的解法1 1运用克莱姆法那么运用克莱姆法那么2 2利用初等变换利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的实际价值，可计算量大，容易出错，但有重要的实际价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有独一解、无解以及有特点：适用于方程组有独一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部

14、运算在一个矩阵数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵数表中进展，计算简单，易于编程实现，是有效表中进展，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行变变换换对对增增广广矩矩阵阵B 2132111311101111B,00000212100211011 并并有有故故方方程程组组有有解解可可见见, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在

15、在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程,2,43421 xxxxx ,100142 及及xx,210131 及及则则xx程程组组的的基基础础解解系系即即得得对对应应的的齐齐次次线线性性方方,1201,001121 于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解 0000000000002362120711111 .,

16、知知方方程程组组有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组 236227543254321xxxxxxxxx求根底解系求根底解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入.10032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得根底解系故得根底解系.0002232910032000100012121321 kk

17、kx.,321为任意常数为任意常数其中其中kkk另一种解法另一种解法 12134382362120231213711111B 0000000000002362120711111 00000000000022331211029202101那么原方程组等价于方程组那么原方程组等价于方程组 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为.0002232910032010100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk齐次线性方程组根底解系的求法齐次线性方程组根

18、底解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA四、小结四、小结1对系数矩阵对系数矩阵 进展初等变换，将其化为进展初等变换，将其化为最简形最简形A nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 100010001212得出得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个根底解系含有个根底解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn ,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故故,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得为齐次线性方程组的一个根底解系为齐次线性方程组的一个根底解系.有解有解0 Ax nAR 个解向量个解向量此时基础解系中含有此时基础解系中含有ARn nBRAR nBRAR .有有无无穷穷多多解解bAx BRAR .无无解解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是