微积分基本定理

1、微积分基本定理编稿：赵雷审稿：李霞【学习目标】1理解微积分基本定理的含义。2能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分 ,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是 s=s（ t），由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v（ t ） =s（ t）。设这个物体在时间段 a，b 内的位移为 s，你能分别用s（t ）、v（ t ）表示 s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S（ t）在

2、a， b上的增量s（ b） s（ a）来表达，即 s=s（ b） s（ a）。b另一方面，这段路程还可以通过速度函数v（ t）表示为v(t )d t ,ab即 s =v(t)dt 。ab所以有：av(t )dts（ b） s（ a）（ 2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t0 t1 t i1 ti tn =b，将区间 a， b等分成 n 个小区间：t 0， t1 ，t 1， t2 ， t i 1， t i， t n 1， tn ，每个小区间的长度均为ttiti 1ba 。n当t 很小时，在 t i 1i上， v（ t ）的变化很小，

3、可以认为物体近似地以速度v（ ti 1， t ）做匀速运动，物体所做的位移shv(ti 1)ts'(ti 1) tb a s'(ti 1) 。 iin从几何意义上看，设曲线 s=s（ t ）上与 ti 1 对应的点为 P，PD 是 P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线 PD 的斜率等于 s（ ti 1），于是sihitan DPCt s '(ti1 )t 。结合图，可得物体总位移nnnnssihiv(ti 1 )ts '(ti 1 ) t 。i 1i 1i 1i1nn显然， n 越大，即t 越小，区间 a， b的分划就越细，v(ti 1) ts '(

4、ti 1 ) t 与 si 1i1的近似程度就越好。由定积分的定义有na v(ti 1 )nbv(t)dtbslimblimba s '(ti 1 )s'(t)dt 。ni1nni1naa结合有sbbs '(t)dts(b)s(a) 。v(t)dtaa上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s（t ），那么 v（t ）=s（ t）在区间 a， b上的定积分就是物体的位移s（b ） s（ a）。一 般 地 ， 如 果 f ( x) 是 区 间 a ， b 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 F '(x)f (x) ， 那 么bf (x)dxF (b)F(

5、 a) 。a这个结论叫做微积分基本定理。要点二、微积分基本定理的概念微积分基本定理：一般地，如果 F '( x)bf (x) ，且 f ( x) 在a， b上可积，则f ( x)dx F (b) F (a) 。a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。其中， F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数。为了方便，我们常把F (b) F ( a) 记作 F ( x) b，abbF (b) F (a) 。即f (x)dx F ( x)aa要点诠释： （ 1）根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便。（ 2）设 f (x) 是定义在区间 I 上的

6、一个函数，如果存在函数F (x) ，在区间 I 上的任何一点 x 处都有 F '(x)f (x) ，那么 F ( x) 叫做函数 f (x) 在区间 I上的一个原函数。根据定义，求函数f ( x) 的原函数，就是要求一个函数F ( x) ，使它的导数F '( x) 等于 f ( x) 。由于 F (x) c'F '( x)f ( x) ，所以 F (x) c 也是 f (x) 的原函数，其中c 为常数。bf ( x)dx 的关键是找出使F '( x) f ( x) 的函数（ 3）利用微积分基本定理求定积分aF (x) 。通常，我们可以运用基本初等函数的求

7、导公式和导数的四则运算法则从反方向求出 F( x) 。要点三、定积分的计算1. 求定积分的一般步骤是：（ 1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（ 2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（ 3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（ 4）利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；（ 5）计算原始定积分的值。2. 定积分的运算性质。有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差），即bbbb f1 (x) f2 (x) L fn (x)dxf1( x)d xf2 (x)dx Lafn (x)dx 。aaabkf ( x)

8、dxkb常数因子可提到积分符号前面，即af (x)dx 。abaf (x)dx 。当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即f ( x)dxba定积分的可加性，对任意的c，有b( )dc( )db()d。af x xfx xf xxac3. 定积分的计算技巧：（ 1）对被积函数，要先化简，再求积分。（ 2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和。（ 3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分。要点诠释： 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. 因此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. 把积分

9、上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误。 由于F ( x)c 'f ( x), F ( x)c 也是 f ( x) 的原函数，其中c 为常数 .【典型例题】类型一：利用微积分基本定理求定积分【高清课堂： 微积分基本定理385549典型例题1】例 1. 计算下列定积分2 13（ 2）2 xdx（ 1）dx1x1【思路点拨】根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解 .【解析】（ 1）因为 (ln x)'12 1dx2ln 2ln1ln 2 。，所以1 xln x |1x3x2 |13（ 2）12xdx817【总结升华】 为

10、使解题步骤清晰， 通常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式表示出来。解题格式如下：有b()d()b( )( )af x x F x aF b F a举一反三：【变式】计算下列定积分1（ 2）1xdx（ 1）1dx001（ 4）1x3 dx（ 3）x3 dx1011【答案】（ 1）01dxx 0101（ 2）1xdx1x2 1121021020212214 11113414（ 3）x dxx1000444434 1111414（ 4）x dxx1( 1)011444【高清课堂： 微积分基本定理385549典型例题2】例 2求下列定积分：2x1)dx ；（ 2）(sin xcos x)d x

11、 ；（ 1）( x2012x21)dx ；（ 4）0ex)d x 。（ 3）( x(cos x1x22x321 x2229【解析】（ 1）(x2x1)dxx2dxxdx1dxx 1。22211113 1216（2）(sin x cos x)dx0sin xdx0cos xdx( cos x)0sin x02 。021)dx2221 dxx2 2x3 2237ln 2 ln 2 5 。（3） (x x2xdxx2dxln x11x111 x2 13 1236（4）0000ex01 。(cos x ex )dxcos xdxexdx sin x1e【总结升华】（1）求函数 f (x) 在某个区间上

12、的定积分，关键是求出函数f ( x) 的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系。（ 2） 求复杂函数定积分要依据定积分的性质。举一反三：【变式1】计算下列定积分的值：2x1)dx ，1sin x) dx ，（1）(3x2（ 2）（ 2015 春银川校级期中）(x2（3）011x8 )dx(8 x0【答案】2(3 x2x 1)dx (x3x2x) 02（ 1）802（ 2）1( x2sin x)dx( 1 x3cos x) |1(113cos1) 1(1)3cos(1)113331cos1123cos13311(8xx8 )dx (xx971（ 3）08)ln8903ln

13、2 9【高清课堂： 微积分基本定理385549 典型例题2】1x【变式2】计算（1）2dxx201（ 2）1e2 xdx11x13【答案】（ 1）2dx1x22101x2021（2）e 2 xdx1 e21 e 21 e 2 x112122【变式3】计算下列定积分21)dx ；2(e2x1 )dxsin 2 xdx（1）x( x（2）（3）01x0【答案】（ 1） Q x( x1)x2x 且 (1x3 )x2 ,(1x2 )x ，322222x2 dx21 x3 |021 x2 |02x( x1)dx(xx) dx00xdx0032(1 230) (1 220)14 .323（2） (ln x

14、)1，又 (e2 x )e2 x(2 x)2e2x ，得 e2x(1e2 x )x222 x12 2 x2 11e2x 22所以(e)dxedxdx|1ln x |11x11x21e41e2ln 2ln11e41e2ln 2.2222( 1 sin2x)（3）由 (sin2x)cos2x(2 x)2cos 2x ，得 cos2 x( 11 cos2x)dx1 dx12所以sin2xdxcos2xdx002202201 x |01 (1 sin 2x) |0(0)1 ( 1 sin 2x1 sin 0).22222222类型二：几类特殊被积函数求定积分问题例 3求下列定积分。（1）（ 2015f

15、 (x)x2 ,( x0)2梧州三模）已知函数x2 ,，求f (x)dx2( x0)1（ 2）21sin 2xdx 。0【答案】（1）121)（2） 2(23【思路点拨】对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质b( )f x dxacbf ( x)dx 进行化简 .f (x)dx ca【解析】（ 1）函数 f ( x)x2 ,( x0)，2x2 ,( x0)2f (x)dx22 x2 dx010x2 dx ，122x2 dx 表示以原点为圆心，以2 为半径的圆的面积的四分之一，022x2 dx12，042f (x)dxx2 dx1 x3 |011222 x2 dx01012323（

16、2） 2 1 sin2xdx2 (sin x cos x) 2 dx002 |sin x-cos x|dx04 |sin xcosx | dx2 |sin xcosx | dx044 (cos x sin x)dx2 (sin x cosx)dx04(sin x cosx) 4(cos x sin x) 22( 2 1)。04【总结升华】（ 1）对于分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性” ，先分段积分再求和，要注意各段定积分的上、下限。b( ) | df (x)（ 2）计算|时，需要去掉绝对值符号，这时要讨论的正负，转化为afxx分段函数求定积分问题。举一反三：【高清课堂：微积分

17、基本定理385549 典型例题3】【变式 1】求定积分：（ 1）2f ( x)dx ， 其中 f ( x)2x,0x 15,1x20（ 2）3x1dx ；021212【答案】（ 1）0f ( x)dx02 xdx15dxx2 05x 163x1dx 13x 1dx（ 2）0x1dx 011(1x)dx 31)dx0( x1 (x1 x2 ) |10 ( 1 x2x) |13 12522；22【变式 2】计算下列定积分22| x21 | dx（1）| sin x | dx ；（ 2）00【答案】（1） Q ( cosx)2sinx，0cos x |0cos x |2（2） 0x2，于是| x22

18、21 | dx1 | x(100|sinx |dx|sinx| dx2sinxdx2| sinx | dxsinxdx00(coscos0)(cos2cos)4.1 |x21(1x2)1x2 (0x1)x2)dx2(x21) dxx1x311x3x213031111232112333类型三：函数性质在定积分计算中的应用例 4. 求定积分：1(x cosx3 x2 )dx ；1【思路点拨】考虑利用被积式函数的奇偶性求积分。【解析】 yxcos x 是奇函数，1x cosxdx0 ，12 y3 x2是偶函数，1 3x2 dx21 x 3dx10( xcos x3x2 )dx0222516x 3dx3 x31110505【总结升华】 函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：（1）若 f ( x) 是偶函数，则af (x)dx2aaf (x)dx；0（2）若 f ( x) 是奇函数