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1、第二部分 线性代数第一章 行列式一、行列式的定义定义1 它是一个数，表示项的代数和，每一项又是来自不同行不同列的个数的乘积一阶行列式 ；(表示“记作”)二阶行列式 ；三阶行列式注1 行列式的常用记号 ，.注2 四阶及四阶以上的行列式没有对角线法则.例1 中的系数及常数项各为多少?例2 证明二、行列式性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即，其中，（称为的转置行列式.）性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号易知，若行列式有两行（列）完全相同，则例如反三角行列式性质3 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,即.易知，（1）若行列式的某一行（列）元素全为0，则该行列式

2、值为0，（2）行列式的某两行（列）元素成比例，则该行列式值为0例3 【 答案：0 】性质4 若行列式的某一行（列）元素均可分解为两个元素，则该行列式可分解为相应的两个行列式之和，即性质5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变，即例4 设，则 【 答案： 】3、 行列式的计算1.化三角例5 计算下列行列式： (1) ；(2) ； (3)2.降 阶先介绍余子式、代数余子式的概念记阶行列式 ，将中划去第行及第列后剩下的行、列元素组成的行列式，即称为的余子式，称为的代数余子式例如，则有，；，则有，性质 （1）和的大小无关； （2）和的位置有关定理（行列式按

3、行按列展开定理），例7 设 ,求的值. 【答案：】例8 证明. 证明：，归纳法可得.例9 ，表示元素的代数余子式，则（1）按第一行展开的表达式为 ；（2） 推论 由展开定理， 则当时，=例10 设， （1）求；（2）求的第4行各元素的代数余子式之和；（3）求 【 答案：336； 0 ；238】3.范德蒙德行列式例11 四、克莱姆法则定理 ( 克莱姆法则) 设 (1)系数行列式，为将中第列换为常数列所得到的行列式；当时，(1)有且仅有唯一解，且 例12 求解 互异特别地，齐次线性方程组 （2）当时，方程组（2）有且仅有零解.反之，若方程组（2）有非零解，则进一步，以后可证明：个方程个未知量的齐次线

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