工程力学(静力学与材料力学)第二篇第十章弯曲内力

1、单辉祖,材料力学教程1第 4 章 弯曲内力 直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系 刚架弯曲内力本章主要研究: :单辉祖,材料力学教程2 1 引言 2 梁的外力与计算简图 3 剪力与弯矩 4 剪力、弯矩方程与图 5 FS , M 与 q 间的微分关系 6 非均布载荷梁的剪力与弯矩 7 刚架的内力单辉祖,材料力学教程31 引 言 弯曲实例弯曲实例 弯曲及其特征弯曲及其特征单辉祖,材料力学教程4 弯曲实例弯曲实例单辉祖,材料力学教程5 弯曲及其特征弯曲及其特征外力或外力偶的矢量垂直于杆轴外力或外力偶的矢量垂直于杆轴变形特征：杆轴由直线变为曲线杆轴由直线变为曲线弯曲与梁：以轴线变弯为主要特征的变形

2、形式以轴线变弯为主要特征的变形形式弯曲弯曲以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件梁梁外力特征：画计算简图时，通常以轴线代表梁画计算简图时，通常以轴线代表梁计算简图：单辉祖,材料力学教程62 梁的外力与计算简图 约束形式与反力约束形式与反力 梁的类型梁的类型单辉祖,材料力学教程7 约束形式与反力约束形式与反力主要约束形式与反力固定固定铰支座铰支座，支反力支反力 FRx 与与 FRy可动可动铰支座铰支座，垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR固定固定端端，支反力支反力 FRx , FRy与矩为与矩为 M 的支反力偶的支反力偶单辉祖,材料力学教程8 梁的类型梁的类型简支梁简支梁：一

3、端固定铰支、另一端可动铰支的梁一端固定铰支、另一端可动铰支的梁外伸梁外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁具有一个或两个外伸部分的简支梁悬臂梁悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁一端固定、另一端自由的梁常见静定梁静不定梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁约束反力数超过有效平衡方程数的梁单辉祖,材料力学教程93 剪力与弯矩 剪力与弯矩剪力与弯矩 正负符号规定正负符号规定 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 例题例题单辉祖,材料力学教程10 剪力与弯矩剪力与弯矩 FS剪力剪力M弯矩弯矩剪力剪力作用线位于所切横截面的内力作用线位于所切横截面的内力弯矩弯矩矢量位于所切横截面的内力偶矩矢量位于所切横截面的内力偶矩单

4、辉祖,材料力学教程11 正负正负符号规定符号规定 使微段沿顺时针方使微段沿顺时针方向转动的剪力为正向转动的剪力为正使微段弯曲呈凹使微段弯曲呈凹形的弯矩为正形的弯矩为正使横截面顶部受使横截面顶部受压的弯矩为正压的弯矩为正单辉祖,材料力学教程12一侧一侧)(1S niiFF 剪力与弯矩计算剪力与弯矩计算 FS剪力剪力M弯矩弯矩 0 0S1FFF,FAyy1S FFFAy 故故 0)( , 01bFabFMMAyC)( 1abFbFMAy 故故一侧一侧)(1 niCimM在保留梁段上，方向在保留梁段上，方向与切开截面正与切开截面正 FS 相反相反的外力为正，的外力为正，与正与正 M 相反的外力偶矩为

5、正相反的外力偶矩为正单辉祖,材料力学教程13 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，画所选梁段的受力图，FS 与与 M 宜均设为正宜均设为正 由由 S SFy = 0 计算计算 FS 由由 S SMC = 0 计算计算 M，C 为截面形心为截面形心计算方法与步骤单辉祖,材料力学教程14 例例 题题 例 3-1 计算横截面计算横截面E、横截面横截面A+与与 D-的剪力与弯矩。的剪力与弯矩。解：0 , 0S AyEyFFFFFAy2 FFBy3 FFFAyA2S FMMAyA eFl FFD S00 FMDFFFAyE2S 2elFMMAyE

6、 0 02 , 0 eAyECMlFMM单辉祖,材料力学教程154 剪力、弯矩方程与图 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图剪力与弯矩图 例题例题单辉祖,材料力学教程16 剪力与弯矩方程剪力与弯矩方程)(SSxFF )(xMM FS , M 沿杆轴（沿杆轴（x轴轴）变化的解析表达式）变化的解析表达式剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程2qlFFByAy qxFFAy S)(0lx 2xqxxFMAy )(0lx qxqlF 2S222xqxqlM 单辉祖,材料力学教程17 剪力与弯矩图剪力与弯矩图表示表示 FS 与与 M 沿杆轴（沿杆轴（x轴）变化情况轴）变化情况的图线，分别称为的图线，分别

7、称为剪力图剪力图与与弯矩图弯矩图2)( ,2(0)SSqllFqlF 二次抛物线二次抛物线直线直线qxqlF 2S222xqxqlM 画剪力图 画弯矩图土建等类技术部门画法土建等类技术部门画法单辉祖,材料力学教程18 例例 题题例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图解：1. 支反力计算支反力计算2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程)(0 ,1S1axlbFFFAy )(0 ,2S2bxlaFFFBy )(0 ,1111axxlbFxFMAy )(0 ,2222bxxlaFxFMBy AC 段段CB 段段lbFFAylaFFBy单辉祖,材料力学教程

8、193. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图11xlbFM 22xlaFM lbFF S1laFF S2 剪力图剪力图: 弯矩图弯矩图: 最大值最大值:lFabM max时）时）（ maxS,ablbFF 4. 讨论讨论在在 F 作用处作用处, 左右横截面上左右横截面上的的弯矩相同弯矩相同, 剪力值突变剪力值突变FFF 左左右右SS单辉祖,材料力学教程20解：1. 支反力计算支反力计算2 2qaM,qaFCCy 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程AB 段段BC 段段)(0 11S1axqxF )(0 2S2axqaF )(0 21211axqxM )(0 22222axqaqaxM 例 4-

9、2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图单辉祖,材料力学教程21解：1. 支反力计算支反力计算2 2qaM,qaFCCy 2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩方程AB 段段BC 段段)(0 11S1axqxF )(0 2S2axqaF )(0 21211axqxM )(0 22222axqaqaxM 例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图单辉祖,材料力学教程223. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图4. 讨论讨论在在 Me 作用处，作用处，左右横截面左右横截面上上的的剪力相同，弯矩值突变剪力相同，弯矩值突变eMMM 左左右

10、右1S1qxF qaF S22211qxM 2222qaqaxM 剪力图：剪力图： 弯矩图：弯矩图： 剪力弯矩最大值剪力弯矩最大值:22maxqaM maxSqaF 单辉祖,材料力学教程23例 4-3 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩解：1. FS 与与 M 图图lFlFAy)( lFlFFAy)()(S lFFMAy 1)(2. FS 与与 M 的最大值的最大值FFF)0(SmaxS,42maxFllMMlFM 21d)(d02l 单辉祖,材料力学教程245 载荷集度、剪力与弯矩间的微分关系 FS , M 与与 q 间的间的微分关系微分关系 利

11、用利用微分关系画微分关系画 FS 与与 M 图图 例题例题 微分关系法要点微分关系法要点单辉祖,材料力学教程25 FS, M 与与 q 间的间的微分关系微分关系(a) 0)d(d 0SSS FFxqF,Fy(b) 0d2ddd 0S MxFxxqMM,MCqxF ddSSddFxM qxM 22ddq 向上为正向上为正x 向右为正向右为正注意：注意：梁微段平衡方程单辉祖,材料力学教程26均布载荷下 FS 与 M 图特点直线直线 2次凹曲线 2次凹曲线 2次凸曲线 2次凸曲线qxF ddSSddFxM qxM 22dd 利用利用微分关系画微分关系画 FS 与与M 图图单辉祖,材料力学教程272.

12、 计算支反力、剪力与弯矩计算支反力、剪力与弯矩lMFFByAye q=0，FS 图图水平直线，水平直线，M 图图直线直线 求求 FSA+ 画画 FS 图图 求求 MA+ 与与 MB- 画画 M 图图应用利用微分关系画梁的剪力与弯矩图利用微分关系画梁的剪力与弯矩图1. 问题分析问题分析lMFFAyAeS eMMA 0 BM单辉祖,材料力学教程28lMFAeS eMMA 0 BM3. 画剪力图画剪力图4. 画弯矩图画弯矩图FS 图图水平直线水平直线M 图图斜直线斜直线单辉祖,材料力学教程29 例例 题题例 5-1 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图斜线斜线ql/80ql2/16ql/8-3ql/8ql2

13、/160解：1. 形状判断形状判断2. FS 与与 M 计算计算单辉祖,材料力学教程3013 2 DDxlx83lxD 28328383 lqlqlMD9ql2/1283. 画画FS与与M图图1289 2qlMD 单辉祖,材料力学教程31例 5-2 画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图解：1. 问题分析问题分析 组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力 承受集中载荷承受集中载荷, FS 与与 M 图图由直线由直线构成构成2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 2. 受力分析受力分析单辉祖,材料力学教程32特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，

14、与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零3. 画画 FS 图图水平直线水平直线4. 画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM 单辉祖,材料力学教程33 利用微分关系，确定各梁段利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩剪力、弯矩图的图的形状形状 计算各梁段计算各梁段起点起点、终点终点与与极值点极值点等等截面的截面的剪力剪力与弯矩与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩剪力与弯矩图图 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由图一定由直直线所构成线所构成 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，

15、弯矩图为二均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定 微分关系法要点微分关系法要点单辉祖,材料力学教程346 非均布载荷梁的剪力与弯矩 非均布载荷的合力非均布载荷的合力 线性分布载荷梁的内力线性分布载荷梁的内力 例题例题单辉祖,材料力学教程35合力大小：合力大小： 非均布载荷的合力非均布载荷的合力BAxxxxqFd)(RRRd)(FxxxqxBAxx合力作用线位置合力作用线位置:载荷集度载荷集度图的面积图的面积载荷集度图载荷集度图形心横坐标形心横坐标单辉祖,材料力学教程36线性分布载荷集度的一般表达式为线性分布载荷集度

16、的一般表达式为 线性分布载荷梁的内力线性分布载荷梁的内力baxxq )(qxF ddSSddFxM qxM 22dd( a、b 为常数）为常数）FS 为为 x 的二次函数，的二次函数，FS 图为抛物线图为抛物线M 为为 x 的三次函数，的三次函数，M 图为三次曲线图为三次曲线M 图的凹凸，由图的凹凸，由 q 的正负确定的正负确定线性分布载荷线性分布载荷梁内力单辉祖,材料力学教程37解: 1. 外力分析外力分析20RlqF 60lqFAy 30lqFBy 例 6-1 建立剪力弯矩方程建立剪力弯矩方程, 画剪力弯矩图画剪力弯矩图, 用微分关系校核用微分关系校核2. 建立剪力与弯矩方程建立剪力与弯矩

17、方程lxqxlqF00S26 32600 xlxqxxlqM 200S26xlqlqF 30066xlqxlqM 例例 题题lxqxq0)( 单辉祖,材料力学教程38200S26xlqlqF 30066xlqxlqM 3. 画剪力与弯矩图画剪力与弯矩图 2 次抛物线次抛物线 3 次曲线次曲线q0l2/(9 3)026200S xlqlqF3/lxC 396620300lqxlqxlqMCCC 单辉祖,材料力学教程394. 利用微分关系检查利用微分关系检查 FS 与与 M 图图FS 图图二次抛物线二次抛物线M 图图三次曲线三次曲线 xqxFdddd2S2 q 渐减，渐减，q 0FS 图图凸曲线凸

18、曲线0dd22 qxM M 图图凸曲线凸曲线 FS = 0 处处, M 图存在极值；图存在极值；q = 0 处处, FS 图存在极值图存在极值baxq 单辉祖,材料力学教程407 刚架的内力 刚架内力刚架内力 例题例题单辉祖,材料力学教程41 刚架内力刚架内力刚架用刚性接头连接的杆系结构用刚性接头连接的杆系结构 限制相连杆端截面间的相限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移对线位移与角位移 可传力，也可传递力偶矩可传力，也可传递力偶矩刚架内力一般存在三内力分量一般存在三内力分量轴力轴力FN; 剪力剪力FS ; 弯矩弯矩M单辉祖,材料力学教程42 例例 题题解：1. 外力分析外力分析 0 , 0 , 0 yAxFMF /2 ,qaFFqaFAyCyAx