二次函数y=ax2+k的图像与性质_____9

1、二次函数二次函数y=ax2+k的图像的图像与性质与性质y=ax2 (a0)a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。 当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.1.画出画出y=x2 与与 y=x2 +1、 y=x2 -1的的图像，并观察彼此的位置关系图像，并观察彼此的位置关系.自学检测：2.

2、画出画出y=-x2 与与 y=-x2 +3、 y=x2 -2的图像，并观察彼此的位置关系的图像，并观察彼此的位置关系.x.-2-1012y=x241014y=x2+1 8642-2-4y-10-5510 xOy=x2y=x2+15 2 1 2 5函数函数y=x2+1的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象可由象可由y=x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移1个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的图象的形状相同吗的形状相同吗?相同相同8642-2-4y-10-5510 xOx.-2-101

3、2y=x241014y=x2-2y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数函数y=x2-2的图象的图象可由可由y=x2的图象的图象沿沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=x2-2的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的图象的形状相同吗的形状相同吗?相同相同 函数函数y=ax2 (a0)和函数和函数y=ax2+c (a0)的图象形的图象形状状 ，只是位置不同；当，只是位置不同；当c0时，函数时，函数y=ax2+c的图象可由的图象可由y=ax2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到

4、，个单位得到，当当c0时，函数时，函数y=ax2+c的图象可由的图象可由y=ax2的图象的图象向向 平移平移 个单位得到。个单位得到。42-2-4-6-8y-10-5510 xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2图象向上移还是向下移图象向上移还是向下移,移多少个单位长度移多少个单位长度,有什有什么规律吗么规律吗?上加下减上加下减相同相同上上c下下|c| 1. 函数函数y=4x2+5的图象可由的图象可由y=4x2的图象的图象 向向 平移平移 个单位得到；个单位得到；y=4x2-11的图象的图象 可由可由 y=4x2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到。个单位得到。 3.将抛物线将抛物线y=

5、4x2向上平移向上平移3个单位，所得的个单位，所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。 将抛物线将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个单位个单位,所得的所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。2. 将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得 y=-3x2的图象；将的图象；将y=2x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个 单位得到可由单位得到可由 y=2x2的图象。将的图象。将y=x2-7的图象的图象 向向 平移平移 个单位可得到个单位可得到 y=x2+2的图象。的图象。上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4自学检测： 当当

6、a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+c的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的的增大而增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，当当x= 时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 ； 当当a 0 k 0 时时 向向上上平移平移k k个单位得到个单位得到. .当当k 0 k 0时时,向向上上a0时时,向向上上a0时时,向向下下上正下负二次函数没有一次项二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是则抛物线对称轴是y轴轴,抛物线对称轴是抛物线对称轴是y轴轴,则二次函数没有一次项则二次函数没有一次项抛物线开

7、口方向 对称轴顶点坐标y = 2x2 + 5y = -3x2 - 2y = -x2 + 3向上向上y轴轴( 0 , 5 )y轴轴y轴轴向下向下向下向下( 0 , -2 )( 0 , 3 )2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过经过 得到的得到的. 它的对称轴是它的对称轴是 , 顶点坐标是顶点坐标是 ,在在x0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。 当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0

8、时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线y=ax2 +c (a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.自学检测：1、抛物线、抛物线y=3x2+7的开口的开口_，对，对称轴是称轴是_，顶点坐标是，顶点坐标是_4、抛物线、抛物线y=4x21与与x轴的交点坐标轴的交点坐标是是_ ,与与y轴的交点坐标是轴的交点坐标是_.2、抛物线、抛物线y=-3x2与抛物线与抛物线y=ax27的的形状相同，则形状相同，则a=_.3、抛物线、抛物线y=4x21向下平移向下平移5个单位个单位后，可得抛物线为后，可得抛物线为_.基础练习：下下y轴轴(0,7)-3y=4x26(，0)(0,-1)5.已知二次函数已知二

9、次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上在其图象上,且且x2 x40, 0 x3|x1|, |x3|x4|, 则则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1y2y3y4B.y2y1y3y4C.y3y2y4y1D.y4y2y3y1B基础练习： x2 x1 B A o y x6. 已知二次已知二次函数函数y=ax2+c ，当，当x取取x1,x2(x1 1x2, x1,x2分别是分别是A,B两点的横坐标两点的横坐标)时，函数值相等，时，函数值相等，则当则当x取取x1 1+ +x2时，函数值为时，函数值为 （ ） D基础练习：

10、)0(axa A o y x C o y x B o y x D o y x7. 函数函数y=ax2-a与与y=在同一直角坐标系中的图象可能是在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）A基础练习： 3.05m B A o y x5 . 3512xy8. 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的距离为距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为为2.

11、25m ， 则他离篮筐中心的水平距离则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？是多少？基础练习： 1. 1. 一次函数一次函数y=ax+by=ax+b与与y=axy=ax2 2-b-b在同一坐标系中在同一坐标系中的大致图象是（的大致图象是（ ）思维与拓展x0yx0 x0 x0 xxyyyB.A.C.D.B2. 函数函数y=ax2+a与与y= （a0)在同一坐标系中在同一坐标系中 的大致图象是（的大致图象是（ ）xa 思维与拓展yx0 x0yx0yA.xy0B.C.D.D.某涵洞是抛物线形某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示它的截面如图所示.现测得水面宽现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点涵洞顶点C到水

12、面的距离为到水面的距离为2.4m.在图中在图中直角坐标系内直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式求涵洞所在抛物线的函数解析式. 试一试xyABOC415415解解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0)将将x=0.8, y=0 代入代入y=ax2+2.4得得0=0.64a+2.4a=_涵洞所在抛物线的函数解析式涵洞所在抛物线的函数解析式为为y=_ x2+2.4 3.如图如图,是一座抛物线形拱桥是一座抛物线形拱桥,水位在水位在AB位置时位置时,水面水面宽宽4 米米,水位上升水位上升3米达到警戒线米达到警戒线MN位置时位置时 ,水面水面宽宽4 米米,某年发洪水某年发洪水,水位以每小时水位以每小时0.25米的速度上米的速度上升升,求求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?6?N?M?B?