2019-2020学年度浙江省嘉兴市高三年级基础测试数学试卷(含答案)

1、2019年高三教学测试 (2019.9)数学试题卷注意事项：1 .本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2 .本试题卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共 6页，全卷满分 150分，考试时间120分钟.2019年高三教学测试数学试题卷第1页(共6页)参考公式：如果事件A, B互斥，那么P(A +B) =P(A) +P(B).如果事件A, B相互独立，那么P(A B) = P(A) P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率是 p, 那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率k kn kPn(k) =Ckpk(1

2、 p)n (k =0,1,2，n).柱体的体积公式V =Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式1 _ V =-Sh , 3其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.台体的体积公式V =1h(S1 +USS7 + S2), 3其中S1Q2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的表面积公式一 _ 2S =4诉2 ,其中R表示球的半径.球的体积公式其中R表示球的半径.、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分）1 .已知集合 A =i,i2 ,i3 ,i4 （i 是虚数单位），B=1,1,则 a9b =A. -1B 1C 1,-12.二2b"是"

3、lna =ln b 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3 .如图，函数f（x） （x虻（1,2）的图象为折线 ACB,则不等式集为A. x| -1 <x <0B. x|0 <x <1C. x| -1 <x <1D. x|-1 <x<2x -y 三04 .已知x, y满足条件<x+y W2 ,则z=x+2y的最大值为Jx -0f （x）之log2（x +1）的解A. 2C. 4B. 3D. 55.袋中有形状、大小都相同且编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球.

4、从中一次随机取出 2个球，则这2个球颜色不同的概率为A.C.710B.D.2019高三教学测试数学试题卷第4页（共6页）6.2 ,一 |a | b已知向量a与b不共线，且a b=0,若c = a-,则向量a与c的夹角为 a bA. 一2_ nC.一B.一6D. 07.如图，已知抛物线 Ci：y2=4x和圆C2：（x1）2+y2 =1 ,直线l经过Ci的焦点F ,自上而下依次交 Ci和C2于A, B, C, D四点，则 AB CD的值为8.1 . 1B. 1C. 1D. 242TT若«, P =-,且ctsinot - Psin P >0 .则下列结论正确的是 2 28 . a+

5、P>0D.9 .已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，P为直线CE上的动点,贝U | BP |七DP |的最小值为A.1_6310.已知a , bW R ,关于x的不等式|x3十ax2十bx+11<1在xW 0,2时恒成立，贝U当得最大值时，a的取值范围为333A. 314 , -2B. -2,24-333_5C -3/4,-D. -,-2242、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分）11 .某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则俯视图的面积为 cm2,该几何体的体积为cm3 .12 .已知an是公差为-2的等差数列，Sn为其前n

6、项和，若a2 +1 , a5+1 , a； +1成等比数列，则 由= 一俯视图当n =时，Sn取得最大值.13 .已知函数f (x) =(1+cos2x)sin2 x (xWR),则f(x)的最小正周期为;当xW0,时，f(x)的最小值为414 .二项式(6/x十工)6的展开式中，所有有理项(系数为有理数，x的次数为整数的项)3 x的系数之和为 ;把展开式中的项重新排列，则有理项 互不相邻的排法共有 种.(用数字作答)15 . ABC中，AB=5, AC =2 J5 , BC上的高AD =4 ,且垂足D在线段BC上，H为 ABC 的垂心且市=xAB+yAC (x,yWR),则二=y2222一，

7、一 xyxy,16 .已知 P 是椭圆 二十一 =1 ( ai AA0)和双曲线4=1( a2 >0, b2 >0)的一aibia2b2个交点，F1 , F2是椭圆和双曲线白公共焦点，e1 , e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若/F1PF2 =,则6。的最小值为3一，一 一、.，.x -4,x,一, . 一17 .已知九WR,函数f(x) = 3 2若函数f(x)恰有2个不同的零点，则x 4x+2?u,x<ZK的取值范围为.三、解答题(本大题共 5小题，共74分)18 .(本题满分 14分) 已知a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C的对边，且满足(a+b) (sinA

8、sinB) =(cb) sinC .(I )求角A的大小；(n)当a =2时，求 ABC面积的最大值.19 .(本题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，AB/CD , AB 1 AD ,BC=CD=2AB=2, PAD是等边三角形， M , N分别为BC,PD的中点.(I )求证：MN /平面PAB;(n)若二面角 P AD C的大小为 工，求直线MN与平面PAD所成角的正切值.3(第19题图)*、20 .(本题满分15分) 已知数列an的前n项和为Sn,且满足2Sn=3an1 ( n= N ).(I)求数列an的通项公式;(n)设bn =log3an也，Tn为数列bn的前n项和，求证：

9、Tn <15 an42019年高三教学测试数学试题卷第6页(共6页)2221 .(本题满分15分)已知椭圆C:x2十%=1 (a>b>0)的焦距为2忑，且过点A(2,0). a b(I)求椭圆C的方程;(n)若点B(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N ,求证：四边形 ABNM的面积为定值，并求出该定值.2x22 .(本题满分15分)已知函数f(x)=e -ax+b ( a, b w R,其中e为自然对数的底数)(I)若a>0,求函数f(x)的单调递增区间；(n )若函数f(x)有两个不同的零点 x1, x2.(

10、i)当a=b时，求实数a的取值范围；(ii)设 f(x)的导函数为 f'(x),求证：f'(xi +x2) <0 .2二、填空题（本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分)2019年高三教学测试（2019.9）数学参考答案一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，共40分）1. C;2, B;3. C;4.C;5. D;6. A;7. C;8. D;9.B;10. A.10. 提示：当x=0时，不等式显然成立.当 x W（0,2时，-1 <x3 +ax2 +bx +1 <1 ,即_x2 <ax +b <_x2 ,x即直线 y=

11、ax+b夹在曲线段 y = _x2 _2, xw（0,2和 xy = x2,x亡（0,2之间.由图彳t易知，b的最大值为 0,此时a的最大值为-2 ,最小值为_33：'4 .22019高三教学测试数学试题卷第11页（共6页）11. 6, 8;12.19, 10;13. - , 0；14.32, 144;17. (0,2).15, 2；16区32217 .提不：由已知可得f（x） =x -4x +2%在区间（-00,，.）上必须要有零点，故 =168九之0解得：九E2 ,所以x=4必为函数f（x）的零点，故由已知可得：22f（x）=x - 4x+2?=在区间（-00,九）上仅有一个零点.

12、又f（x）=x - 4x+2九在（-°°, £）上单调递减，所以f （浦=X2儿<0,解得九亡（0,2）三、解答题（本大题共 5小题，共74分）18.（本题满分 14分） 已知a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C的对边，且满足 (a+b) (sin A-sin B) =(c-b) sinC .（I ）求角A的大小;（n）当a =2时，求 ABC面积的最大值.18. (I)化简即为由正弦定理 (a+b) (sin Asin B) = (cb) sinC 等价于(a + b)(ab) =(cb)c ,.2222b *c 一 a 1a = bc ,从而 c

13、osA =,所以 A = 一2bc 23(n)由则 4 =b2 c2bc 之bc,故 S&BC ='bcsinA wV3 ,此时 ABC 是边长为2的正三角形.19 .（本题满分15分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD , AB _L AD ,BC =CD=2AB=2, PAD是等边三角形， M , N分别为BC , PD的中点.（I ）求证：MN 平面PAB;（第19题图）TT（n）若二面角 PADC的大小为 二，求直线 3与平面PAD所成角的正切值.MN（第19题图）19. ( I )取AD中点E ,连接EN、EM .二E ,从而平面 PAB /平面EMN .由于

14、 ENAP, EM /AB , APQAB=A, EM 1 EN又MN J平面EMN ,从而 MN 平面PAB .(n)法一：连接 PM .由于 PE_LAD, ME _LAD ,则/PEM 是二面角 PADC 的3平面角，ZPEM =60、APEM是边长为9的正二角形，且 AD，平面PEM .2又AD J平面PAD ,则平面 PEM _L平面PAD .过点M作MF _L PE于F ,则MF =MF_L平面PAD , /MNF是直线MN与平面PAD所成角的平面角.1由于N,F分别是 PD,PE的中点，则 NF =DE 2,从而 tandMNF =MFNF=3,即直线MN与平面PAD所成角的正切

15、值为 3.法二：连接PM .由于PE _LAD ,ME _L AD ,则/PEM是二面角 P -AD-C的平面角,/PEM =60 °,即瓯EM是边长为3的正三角形, 2又AD £平面ABCD ,则平面PEM _L平面ABCD .过点P作PO _L ME于。，则PO _L平面 ABCD .过点。作OQAD ,交CD于点Q ,OQ _LOM .以点。为原点，OM ,OQ,OP分别为x,y,z轴,则建（第19题图）立空间直角坐标系3 3.O xyz ,则 P(0,0,)43A(一4,0), 33 3D(k，0), M(-,0,0),4 24N(-8,季),9 .3MN (,8

16、4设平面 PAD的法向量为 n=（x,y,z）,则3xy =0X = _&zJ，令 z=1,则 n=( 43,0,1).PD =034x-33.3y z = 024n MN设直线MN与平面PAD所成角的平面角为 6 ,则sinH= =n MN3一j= , tan 日=3 ,即10直线MN与平面PAD所成角的正切值为 3.* X20.(本题满分15分) 已知数列an的前n项和为Sn ,且满足2Sn=3an1 ( n N ).(I)求数列an的通项公式；(n)设bn =log3an也，Tn为数列bn的前n项和，求证：Tn<”. an420. ( I)当 n=1 时 a1 =1 .2S

17、n =3an -1当n之2时，,两式相减得：an =3an.2Sn _1 =3an_1 1故an 是以3为公比的等比数列，且 四=1, 所以 an =3n.(n)由(I)得：bn =*,3n由错位相减法23n 1Tn：" b2b口 丁丁产(1)n 13n(2)2111 n 15 2n 5两式相减得： Tn =2 +(_ +2+n)一丁 =_ _，32n -1nn ，3 33322 3十/曰 _15 2n 5求得：Tn =- 一二.44 3所以Tn .42221.(本题满分15分)已知椭圆C:x2+4=1 (a>b>0)的焦距为2« ,且过点A(2,0). a b

18、(I)求椭圆C的方程;(n)若点B(0,1),设P为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N ,求证：四边形 ABNM的面积为定值，并求出该定值.21. .( I )由 2c 2233 ,且 a=2 ,求得 c=J3 ,所以 b = 1 .2所以椭圆C的方程为 二+ y2 =1 ；422(n )设 P(xo，光)(xo <0 , yo <0 ),贝U xo +4yo =4 .又A(2,0), B(0,1),所以直线 PA的方程为y=_y_(x_2).X0 -2令 x =0 ,得 yM =20-,从而 | BM |=1 yM =1 +-2y0-.

19、x0 - 2x0 - 2直线PB的方程为y =凶二1 x +1.X0令 y =0 ,得 xN =-0-,从而 | AN |=2xN =2+x0- . yj -1yj 1所以四边形ABNM的面积S|AN| |BM |(2-(1 ') = 4y2 4x0y0-4x0-8y0422yO -1 xO - 22( x° y° - x° - 2 y° , 2)4(x0y0 x。-2y0 +2)=工ZIT =22(x0y0 - x0 -2y0 2)所以四边形 ABNM的面积S为定值2.22.(本题15分) 已知函数f (x) =e2xax+b (a,bR,其中

20、e为自然对数的底数).(I)若a>0时，求函数f(x)的单调递增区间；(n)若函数f(x)有两个零点x1, x2.(i)如果a=b,求实数a的取值范围；(ii )如果f(x)的导函数为f'(x),求证：f 7 x1 + x2) <0221 a 22. ( I)由题息得 f (x) =2e a ,当 a >0时，令 f ( x) >0 ,得 x A ln,函数 f(x)22的单调递增区间为(工In亘，+8)；22(n) (i)方法一：由(I )知，f'(x) =2e2x a ,当aW0时，f'(x)：>0,函数f(x)在R上单调递增，不合题意，所以a>0.又 丫 XT 3 时,f ( X)T +=C ; XT y , f(X)T +=C ,1 a 、二函数f(x)有两个互点 x1,x2,函数f (x)在(-%一 In )递减，函数 f (x)在2 2Jlna,+间递增，22,a ln_ f ( ln-) =e 222a a3方法二：如果a =b,则f (x)2 x=e ax+a , 丁 f (1) #02xe心*)=0时