二重积分积分区域的对称性

1、时，有时，有例5计算I解：如图所示(xy y 3)dxdy ,其中D，积分区域 D关于x轴对称，且f(x, y),3、(xy y ) f (x, y)即f(x,y)是关于y的奇函数，由定理1有f ( xy y 3) dxdy 0 .DD为由情形一：积分区域D关于坐标轴对称定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则1)当f(x,y)f(x,y)(即f(x,y)是关于y的奇函数)f(x,y)dxdy0。D2)当f(x,y)f(x,y)(即f(x,y)是关于y的偶函数)f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyDDi其中Di是由x轴分割D所得到的一半区域。类似地，有：定理5设

2、二元函数f (x, y)在平面区域D连续,且D关于y轴对称，则f (x, y)dxdyD2 f (x, y)dxdy，当 f ( x, D2y) f (x, y).0,当 f ( x, y)f (x, y).其中D2是由y轴分割D所得到的一半区域。例6y解：f(的偶函数，由对称性定理结论有:x2ydxdy，其中 D2x2; y -2x图所示，2及y 0所围。D关于y轴对称，x, y) x2y f (x, y),即被积分函数是关于Ix2 ydxdyD212 x 2222 x ydxdy 2 dx x ydxdy D10015定理6设二元函数f (x, y)在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对

3、称,则(1)当 f ( x, y)f (x, y)或 f (x, y) f (x, y)时，有f ( x , y ) dxdyD当f ( x, y)f (x, y) f (x, y)时，有f ( x, y ) dxdyD4 f ( x, y ) dxdyD1其中D1为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。9例7计算二重积分ID(xy|)dxdy ,其中 D :解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有(x, y) f ( x, y)f ( x , y ),由定理2,得y )dxdy4(|xD1y )dxdy|x|y象限部分，由对称知,xdxdyD1IyIdxdy

4、,D14(xD1y)dxdy4D1x)dxdy8D1|xdxdy情形二、积分区域D关于原点对称定理7设平面区域DD1D2,且D1,D2关于原点对称，则当D上连续函数满足1) f( x, y) f(x,y)时，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyD1f(x,y)dxdy0.例8计算二重积分2)f(x,y)f(x,y)时，有(x3y3)dxdy,D为Dyx3与yx所围区域.解：如图所示，区域D关于原点对称,对于被积函数f(x,y)x3y3,有f(x,y)(x)3(y)3/3(x3y)f(x,y),有定理7,得(x3y3)dxdyD情形三、积分区域D关于直线x对称定理8设二元函数f(x,y)

5、在平面区域D连续,且DDiD2,Di,D2关于直线yx对称，则1)f(x,y)dxdyDf(y,x)dxdy;DDi2)3)f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy。D2当f(y,x)f(x,y)时，有f(x,y)dxdyD当f(y,x)f(x,y)时，有Df(x,y)dxdy2Dif(x,y)dxdy22xy(3dxdyabD为x2R2所围。解:积分区域D关于直线x对称，由定理8,得2(0a2台)dxdy2(各a类似地,可得：2br)dxdyi2丁)(xbD22yx-yr)dxdy，abix2-(2da22br)dxdy2(当a2xTj)dxdyb2、y)dxdyib2)Rr2rdr0定理9设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且DDiD2Di,D2关于直线yx对f (x, y)dxdy 0 ;称，则(1)当f(y,x)f(x,y),则有(2)当f(y,x)f(x,y),则有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy。Di例10计算I(x2y2)arcsin(xy)dxdy,其中D为D区域：0x1,1y0.解：如图所示，积分区域D关于直线yx对称，且满足f(y,x)f(x,y),由以上性质，得：22、I(xy)arcsin(xy)dx