第七章《锐角三角函数》全章课时练要点

1、§ 7.1正切函数,ta nB=1. 如图，在直角 ABC 中，/ACB=90 °,CD 丄 AB 于 D,CD=3,AD =4,tanA=EBA = a,则 tan =如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连结EB,设/1#第1题图DC第2题图#/ B的大小关系为3若锐角 A, B满足tanA<tanB,则/ A,#4如图，长为5m的梯子靠在一堵墙上,梯子的底端距离墙角 3m,则梯子的倾斜角的正切值#5. 设 RtA ABC 中，/ C=90 ° / A、/B、/ C的对边分别为 a、b、c, a=6 ,c=8.#求/ A、/ B的正切值.46. 在

2、 RtABC 中，/ C=90° a b= 2, tanA=,求 a,b,c.3如图，/ A=22.5 ； / C=90 ° 求出 22.5 正切值.2#DMC8如图，正方形 ABCD的边长为4，点M在边DC上,M、N两点关于对角线 AC对称，若DM=1 ,贝U tan/ ADN=.3#9如图，在 RtA ABC 中/ ACB=90 ° 试求tan / BCD的值。CD丄AB于D，若AC:#10.在正方形 ABCD中，M为AD的中点,E 在 AB 上，BE=3AE，求 tan / ECM 的值#11.已知直角三角形的直角边之差为1cm,斜边为2cm,求最小角的正切

3、值。412如图，在梯形 ABCD 中，.A=/B =90 , AB =5.2，点 E 在 AB 上，.AED = 45 ,DE =6,CE = 7.求：AE 的长及 tan/ BCE 的值.513已知：在 ABC中AB = AC,点D为BC边的中点，点 F是AB边上一点，点 E在线段 DF 的延长线上，/ BAE=/ BDF，点 M 在线段 DF 上,/ ABE =/ DBM .(1) 如图 1，当/ ABC = 45。时，求证：AE = > 2 MD ;(2) 如图2,当/ABC = 60。时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。(3) 在(2)的条件下延长 BM到P,使MP = B

4、M，连接CP，若AB= 7, AE = 2 7 , 求tan / BCP的值.7.2正弦余弦(1)1如图，在 RtAABC 中，/ C=90:BC=6,AC=8,则 sinA=,cosA=,tanA=2如图，在 RtAABC 中，/ C=90°,BC=2,AC=4,则 sinB=,cosB=,tanB=33如图，在 RtAABC 中，/ C=90° AB=10,sinA=，贝V BC=。52 山4. 在 RtAABC 中，/ C=90° cosA= , AC=12，则 AB=,BC=。335如图，在 RtAABC 中，/ B=90° AC=15,sinC

5、=，贝V AB=。56已知：在 RtAABC 中，/ ACB= 90 ° CD 丄 AB,垂足为 D, CD = 8cm, AC = 10cm,求 AB,BD的长。7等腰三角形周长为16, 一边长为6,求底角的余弦值。7C (F)图（2）8在 ABC中，/ C= 90 ° cosB=12,AC = 10,求厶ABC的周长和斜边 AB边上的高。139. 曙'光中学”有一块三角形状的花圃 ABC，现可直接测量到/ A=30° AC=40m, BC=25m。请你求出这块花圃的面积。10. 如图，已知 ACB与厶DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10

6、cm,较小锐角为30°将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点 B C、F、D在同一 条直线上，且点 C与点F重合，将图（1）中的 ACB绕点C顺时针方向旋转到图（2） 的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，求线段FG长。（保留根号）.C （F）图（1：811. 如图，等边三角形 ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD = BE , AE与CD交于点F , AG _CD于点G , 求AG的值.AF12副直角三角板如图放置，点C 在 FD 的延长线上，AB/ CF，/ F = Z ACB=90 °/ E=45°,Z A=60° ,AC=10

7、,试求 CD 的长.97.2正弦余弦（2）1 .Z a 的补角是 120 :则/ a=,sin a.2. 已知 ABC 中，.C =90 , 3cosB=2, AC= 2 5，则 AB=3. 如图， ABC的顶点都在方格纸的格点上，贝UsinA=r-T-*t*r*T*T（第3题）AFBECB(第 6 题)10#4.菱形的两条对角线长分别是8和6,较短的一条对角线与菱形的一边的夹角为，则sin a =, cosa =, tan a =5. 如图，将边长为3.3的等边 ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N , DF _ AB，垂足为D , AD =1.设.DBE的

8、面积为S，则重叠部分的面积为.（用含S的式子表示）b r,6在RtAABC中，Z C=90°把Z A的邻边与对边的比叫做Z A的余切，记作 cotA=.则a下列关系式中不成立的是（）2 2(A) tanA cotA=1( B) sinA=tanA osA( C) cosA=cotA sinA( D) tan A+cot A=137 .已知:-为锐角且sin =则sin(90 - ：)等于()593416A.B.C.D.255525&在 ABC 中，Z A= 120 ° AB = 4, AC= 2,贝U sinB 的值是 9. 如图，在 RtAABC中，Z ABC=

9、90° Z ACB= 30°将厶ABC绕点A按逆时针方向旋转15。后得到 AB1C1, B1C1交AC于点D,如果AD= 2.2，则 ABC的周长等于 #210. 先化简再求值：（二 1），其中X=tan601.x+2x -411.(一 1)2011& S 8sin11#12. 如图，点E是矩形 ABCD中CD边上一点，"BCE沿BE折叠为"BFE,点F落在AD上.1(1) 求证："ABFs" DFE ;(2)若 sinZ DFE = ，求 tan/ EBC 的值.313通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小

10、与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad） 如图在 ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA,这时sadA二底边 二-BC .容易知道一个角腰 AB的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题:(1)sad60°=12#(3)sadA的值。图图对于0°<A<180° , / A的正对值sadA的取值范围是3如图，已知si nA ，其中/ A为锐角，试求57.3-4 特殊角的三角函数及由三角函

11、数值求锐角概念填空:-三角函数彳八、 三角函薮30 °45 °60 °sin 0cos 0tan 01. 若sin =-,则锐角a=.若sin蔻上3,则锐角a=2 22. 在 RtA ABC 中，/ C=90 °(1)若sinA=乜，则/ A=2,tanA=13#(2) 若 tanA= 3，则/ A=, cosA=.3si n45°sin 60°3. 计算：(1) sin60°cos60° (2),cos45cos604. 化简：(1) |tan60。 2 | =;(2) J(sin 30。-1)2 =5. 在 A

12、BC 中，若/ A，/ B 满足 |sinA 1 2(cosB) =0,贝U ABC 是( )2#A.等腰非等边三角形B .等边三角形C.直角三角形 D .钝角三角形6. 如图，已知 ABC中，/ ABC=90 °,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线11,丨2,|3上，且h, 12之间的距离为2,12, 13之间的距离为3则AC的长是（）A. 2 17B. 2.5#如图在倾斜角为30o的楼梯的表面铺地毯， 地毯的长度至少需要 m （保留根号）。14-2. 3tan45 (、2 -1.41)0.;& 计算：(1)2cos30°5tan60。 2sin30&#

13、176;(2) (1)3#2(3) cos 45 °tan60 ° cos302cos 601 -sin2 602tan60 ;#9. 等腰三角形的一腰长为 6 cm，底边长为6-、3 cm，请你判断这个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形 ？210.已知 sin a33、3)sin +=0,224求：(1)sin 值(2)锐角a的度数.11. 把两块相同的含 300角的三角尺ABC和BDE如图所示放置，若 AD=6、6 ,求三角尺ABC各边的长。12. 如图，已知一次函数y=kx b的图象经过 A(_2,_1)， B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D,

14、(1) 求该一次函数的解析式;(2) 求 tan /OCD 的值；(3) 求证：ZAOB =135 ,13 .如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点 P,求tan / APD的值.(第13题图)7.5解直角三角形1. 已知：在 RtA ABC 中，/ C=90 ° b=2j3,c=4，解 RtA ABC。2已知在 ABC中，.C =90；，设sinB二n，当.B是最小的内角时，n的取值范围是0 : n :B.0 : n ：丄2C.D.0 ： n :3. 如图， ABC中，AB=AC，点D在AC上，若 AD = 2DC, A

15、B = 4DE，贝U sinB 等于 (A. 1B.7C. 3'72374. 如图，在 Rt AB(中, Z C = 90°, AC = 6, AC 边上的中线 BD =21 ,解这个Rt ABC5. 如图，RtA ABC 中，Z C= 90 ° D 是 BC 上一点，Z DAC =30 ° BD = 2, AB = 2駅,求AC的长B如图，从热气球 C处测得地面A、B两点的俯角（视线与水平线夹角）分别为 30 ° 45 ° 如果此时热气球 C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求 AB两点的距 离。18#1f6. 如图，

16、在"BC 中，/ A=30 ° tanB=3，BC10,求 AB 的长。8.如图，梯形 ABCD 中，AD / BC,/ B=45 °Z C=120 ° AB=8,9. 已知 ABC中，/C=90 °,AD是角平分线，且BD:CD=4:3.求sinB的值.10. 如图，D是厶ABC的边AC上一点，CD=2AD , AE丄BC,交BC于点E,若BD = 8,3sin/ CBD= ，求 AE 的长.420§7.6锐角三角函数的简单应用（1）1. 一飞机驾驶员在 A基地上空6000m高度的B处，测得地面攻击目标 C处的俯角是30 °

17、;则AC=。（保留根号）2. 如图，在离铁塔150m的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为 30°己知测角仪高 AD=1.52m,则塔高BE=。（精确到0.1m）3.6m,则原来的树高是 4如图，在离地面 5m的C处引拉线固定电线杆，接线和地面成:-角，则接线AC的长为。5.如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠在一起，且它们的夹角为二，则它们重叠部分的面积为（）1 1 .A.B.C. SIn ： D. 1si ncos -6. 如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30。的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航

18、行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。7如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cosBAC，则梯子AB的长度为米.4& 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A处看电梯楼顶部点 B处的仰角为60°在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°两栋楼之间的距离为30m,求电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.（参考数据:、2 1.414 3 1.732）9在某市旧城改造的某一项目中，要将如图所示的一棵没有观赏价值的树放倒，栽上白玉 兰，在操作过程中，师傅甲要直接把树放倒，师傅乙不同意

19、，他担心这样会损害这棵树周围4.5m处的花草和动物雕塑，请你根据图中标注的测量数据，通过计算说明：师傅乙的担心是否必要(计算结果精确到 0.1m)?10如图，自来水厂 A和村庄B在小河I的两侧，现要在 A, B间铺设一知输水管道为了搞好工程预算，需测算出 A, B间的距离.一小船在点 P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向.(1) 线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；东 求A, B间的距离.(参考数据 cos41 ° = 0.75)2211.在东西方向的海岸线 丨上有一长为1k

20、m的码头MN (如图),在码头西端 M的正西19.5km由.处有一观察站A 某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于8,3 km 的 C 处.(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；A的北偏西30°，且与A相A的北偏东60°,且与A相距(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN靠岸？请说明理23§ 7.6锐角三角函数的简单应用（2）1如图，是一张宽 m的矩形台球桌 ABCD，球从点M （点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边 AB上的P点.如果MC二n , . CMN二:

21、.求P点与B点的距离.ABgDMCAF=3 . 7千米，从飞机3千米到B处，此时观测2. 如图，某飞机于空中探测某座山的高度，此时飞机的飞行高度是上观测山顶目标 C的俯角是30°飞机继续以相同的高度飞行目标C的俯角是60°求此山的高度 CD。（精确到0. 1千米）（参考数据： 眾 1. 414,诵 1. 732）A243 某中学数学兴趣小组在开展保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内（如图11）.测得树顶 A的仰角/ ACB=60° ,沿直线 BC后退6米到点 D，又测得树顶 A的仰角/

22、ADB=45°若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高 AM .（结果保留两位小数，31.732）4小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB, AB = 80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部 A的仰角为37°大厦底部B的俯角为48 °求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）o 3o 3o 7o11、（参考数据：sin37 :, tan37 ：, sin 48 ：, tan48 ：541010255.如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30

23、°已知原传送带 AB长为4米.(1)求新传送带AC的长度;B点4米的货物(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离米，参考数据:(说明：的计算结果精确到0.1MNQP是否需要挪走，并说明理由.、2 1.4131.7352.246如图，河流的两岸 PQ, MN互相平行，河岸 PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD = 50米，某人在河岸 MN的A处测的/ DAN = 35°然后沿河岸走了 120米到达B 处，测的/ CBN = 70°求河流的宽度 CE (结果保留两个有效数字).(数据：sin35° 0.57cos35°0

24、.82 tan35° 0.70n70° 0.94cos70° 0.34tan70°2.75P26宽AD=15mm,槽的深度是12mm, / B的正切值为一，则它的里口宽 BC=。33、107如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）10A . 1： <10B. 3 : d0C .1:3D. 3 :1&如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽CD=3m,坡角A为30°坝高DE=8m,坝底宽AB为（27 8 3）m,试求背水坡AD的长，迎水坡BC的长和迎水坡BC的坡度。§ 7.6锐角三角函数的简单应用（3）1. 一个斜坡最高处

25、离水平地面为10m, 一人爬上坡顶时实际上他在水平方向上前进了20m,则这个斜坡度为。2. 某地下车库的入品处有斜坡 AB,其坡度i =5:12，且AB=26m,则车库的高度为 。3. 铁道路基的横断面是等腰梯形，其上底为10m，下底为13.6m,高1.2m,则腰面的坡度为。4. 已知水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m,坝高23m，迎水坡坡度为1:3，背水坡坡度为1:2.5，则坝底长为 。5. 在坡度为1 : 2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m,斜坡相邻两树 间的坡面距离是m。6. 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口4289水务部门为加强防汛工作，决定对程

26、家山水库进行加固。原大坝的横断面是梯形ABCD ,如图所示，已知迎水面 AB的长为10米，/ B= 60，背水面DC的长度为10.、3米，加 固后大坝的横断面为梯形 ABED。若CE的长为5米。(1 )已知需加固的大坝长为 100米，求需要填方多少立方米；(2 )求新大坝背水面 DE的坡度。(计算结果保留根号)10. 如图河面中有一建筑物，在高于水面1米的地方观测，测得建筑物的仰角为45 °建筑物顶B在水中的倒影的俯角为 60°求水面到建筑物顶的高度。2911 施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离 AB=4米，斜面距离 BC=4.25米，

27、斜坡总长 DE=85米.(1 )求坡角/ D的度数(结果精确到1° ;(2)若这段斜坡用厚度为 17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？E（第 11 题）参考数据cos20 °0.94, sin20 ° - 0.34 , sin18 °0.31 , cos18 °0.9512.如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为 30m的建筑物CD进行测量，在点 C处塔顶B的仰角为45°在点E处测得B的仰角为37( B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.(参考数据:sin37° 0.60cos37&#

28、176; 0.80tan37° 0.7530第七章三角函数复习作业1.在厶 AB（中, / C = 90° ta nA?tan 60°=1,则 cos（B-15 ）=2用v号连接下列各式：sin40° tan46° cos 51 °3.在 ABC中, / C= 90° sinA= cos36° 则/ B=4.已知：（sin。一1）2 =丄si not,则锐角口的取值范围是5.已知：（COSa -1）21- cos ,则锐角的取值范围是26.如图, ABC 中,J2cosB=2的面积是（）3,sinC = - , BC=7，则 ABC531#21A.B. 12 C. 14D. 2127. 如图，在8>4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若 ABC -1 dI I b i it.J. i的三个顶点在图中相应的格点上，贝Utan / ACB的值为（）；.'" J :!4 JI1 NIiIIf* IA.-1B.C丿D. 3322I>|