2.1-对坐标的曲面积分ppt课件

1、一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系9.5 对坐标的曲面积分上页下页铃完毕返回首页上页下页铃结束返回首页有向曲面有向曲面 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 上页下页铃结束返回首页 当当cos0时时 n所指的一侧是上所指的一侧是上侧侧 当当cos0时时 n所指的一侧是下所指的一侧是下侧侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页v有向曲面v 通常我们遇到的曲面都是双侧的v 例如 由方程zz

2、(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设设n(cos cos cos)为曲面上的法向量为曲面上的法向量上页下页铃结束返回首页 当当cos0时时 n所指的一侧是上侧所指的一侧是上侧 当当cos0时时 n所指的一侧是下侧所指的一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页v有向曲面v 通常我们遇到的曲面都是双侧的v 例如 由方程zz(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设设n(cos cos cos)为曲面上的法向量为曲面上的法向量 类似地类似地 如果曲面的方程为如果曲面的方程为yy(z x) 则曲面分为则曲面分为左侧与右侧左侧与右侧 在曲面的右侧在曲面的右侧cos0 在曲面的左侧在曲面的左侧cos

3、0 如果曲面的方程为如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后侧则曲面分为前侧与后侧 在曲面的前侧在曲面的前侧cos0 在曲面的后侧在曲面的后侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分闭曲面有内侧与外侧之分 上页下页铃结束返回首页v曲面在坐标面上的投影 下页 在有向曲面在有向曲面上取一小块曲面上取一小块曲面S 用用()xy表示表示S在在xOy面上的投影区域的面积面上的投影区域的面积 假定假定S上各点处的法向量上各点处的法向量与与z轴的夹角轴的夹角的余弦的余弦cos有相同的符号有相同的符号(即即cos都是正的都是正的或都是负的或都是负的) 我们规定我们规定S在在xOy面上的投影面上的投影(S)x

4、y为为 类似地可以定义类似地可以定义S在在yOz面及在面及在zOx面上的投影面上的投影(S)yz及及(S)zx0cos 00cos )(0cos )()(xyxyxyS 上页下页铃结束返回首页提示 通过通过Si流向指定侧的流量近似流向指定侧的流量近似为为 viniSi iiiniSnv1 v流向曲面一侧的流量 相关知识下页 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x y z)(P(x y z) Q(x y z) R(x y z)给出给出 是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面 函数函数v(x y z)在在上连续上连续 求在单位时间内流向求在单位时间内流

5、向指定侧的流体的质量指定侧的流体的质量 即流量即流量 把曲面把曲面分成分成n小块小块 S1 S2 Sn(Si也代表曲面面积也代表曲面面积) 在在Si上任取一点上任取一点(i i i ) 通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量近似为近似为 上页下页铃结束返回首页v流向曲面一侧的流量 下页 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x y z)(P(x y z) Q(x y z) R(x y z)给出给出 是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面 函数函数v(x y z)在在上连续上连续 求在单位时间内流向求在单位时间内流向指定侧的流体的质量指定侧的流体的质

6、量 即流量即流量 把曲面把曲面分成分成n小块小块 S1 S2 Sn(Si也代表曲面面积也代表曲面面积) 在在Si上任取一点上任取一点(i i i ) 通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量近似为近似为 )(,()(,()(,(1xyiiiizxiiiiyziiiiniSRSQSP 在上述和中在上述和中 令各小曲面直径中的最大值令各小曲面直径中的最大值0 就得到就得到流量流量的精确值的精确值 上页下页铃结束返回首页v对坐标的曲面积分的定义 下页 设设为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面 函数函数R(x y z)在在上有界上有界 把把任意分成任意分成n块小曲面块小曲面 S1 S2 Sn(Si也代表曲

7、面面积也代表曲面面积) Si在在xOy面上的投影为面上的投影为(Si)xy (i, i, i )是是Si上任意取定的一点上任意取定的一点 如果当如果当各小块曲面的直径的最大值各小块曲面的直径的最大值0时时 极限极限xyiiiiniSR)(,(lim10 总存在总存在 则称此极限为函数则称此极限为函数R(x y z)在有向曲面在有向曲面上对上对坐标坐标x、 y 的曲面积分 记作dxdyzyxR),( 即 dxdyzyxR),(xyiiiiniSR)(,(lim10 上页下页铃结束返回首页 类似地类似地 可定义对坐标可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标的曲面积分和对坐标z、x的的曲面积分曲面积分下

8、页dxdyzyxR),(xyiiiiniSR)(,(lim10 v对坐标的曲面积分的定义 函数函数R(x y z)在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标x、y的曲面积分的曲面积分 上页下页铃结束返回首页下页dxdyzyxR),(xyiiiiniSR)(,(lim10 v对坐标的曲面积分的定义 函数函数R(x y z)在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标x、y的曲面积分的曲面积分 函数函数P(x y z)在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标y、z的曲面积分的曲面积分 yziiiiniSPdydzzyxP)(,(lim),(10 函数函数Q(x y z)在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标z、x的曲

9、面积分的曲面积分 zxiiiiniSQdzdxzyxQ)(,(lim),(10 上述曲面积分也称为第二类曲面积分上述曲面积分也称为第二类曲面积分 其中其中 P、Q、R叫做被积函数叫做被积函数 叫做积分曲面叫做积分曲面 上页下页铃结束返回首页下页v对坐标的曲面积分的简写形式 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 在应用上出现较多的是在应用上出现较多的是 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 为简便起见为简便起见 这种合起来的形式简记为这种合起来的形式简记为上页下页铃结束返回首页v对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线

10、积分类似的一些对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质性质 (1)如果把如果把S分成分成S1和和S2 那么那么 (2)设设S是有向曲面是有向曲面 S表示与表示与S取相反侧的有向曲面取相反侧的有向曲面 那么那么 首页RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz21 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz 上页下页铃结束返回首页二、对坐标的曲面积分的计算法讨论 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？ 下页 设积分曲面设积分曲面由方程由方程zz(x y)给出的给出的 在在xOy面上面上的投影区域为的投影区域为Dxy

11、 函数函数zz(x y)在在Dxy上具有一阶连续上具有一阶连续偏导数偏导数 被积函数被积函数R(x y z)在在上连续上连续 则有则有dxdyyxzyxRdxdyzyxRxyD),(,),( 其中当其中当取上侧时取上侧时 积分前取积分前取“” 当当取下侧时取下侧时 积积分前取分前取“” 应注意的问题: (3)曲面曲面S取哪一侧取哪一侧;(2)向哪个坐标面投影向哪个坐标面投影; (1)曲面曲面S用什么方程表示用什么方程表示; (4)积分前取什么符号积分前取什么符号.上页下页铃结束返回首页dydzxdydzxdydzx22243 dydzdydzayzyzDD02 下页方体方体的整个表面的外侧的整

12、个表面的外侧 (x y z)|0 xa 0yb 0zc 例 1 计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx222 其中 是长 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和4 左右面分别记为5和6 解 除除3、4外外 其余四片曲面在其余四片曲面在yOz 面上的投影为零面上的投影为零 因而因而 上页下页铃结束返回首页dydzxdydzxdydzx22243 dydzdydzayzyzDD02 下页方体方体的整个表面的外侧的整个表面的外侧 (x y z)|0 xa 0yb 0zc 例 1 计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx222 其中 是长 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和4 左

13、右面分别记为5和6 解 除除3、4外外 其余四片曲面在其余四片曲面在yOz 面上的投影为零面上的投影为零 因而因而 dydzxdydzxdydzx22243 dydzdydzayzyzDD02 a2bc 类似地可得类似地可得 acbdzdxy22 abcdxdyz22 于是所求曲面积分为于是所求曲面积分为(abc)abc 上页下页铃结束返回首页 例 2 计算曲面积分xyzdxdy 其中 是球面 x2y2z21 外侧在外侧在x0 y0的部分的部分 把有向曲面分成上下两部分 解 2211:yxz(x0 y0)的上侧 2221:yxz(x0 y0)的下侧 1和和 2在在xOy面上的投影区域都是面上的

14、投影区域都是 Dxy x2 y2 1(x 0 y 0) 于是 21xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy 152)1(12222xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy152)1(12222xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy 首页上页下页铃结束返回首页三、两类曲面积分之间的联系 设设cosa、cosb、cosg是有向曲面是有向曲面上点上点(x y z)处的法处的法向量的方向余弦向量的方向余弦 那么那么综合起来有综合起来有 下页dSzyxRdxdyzyxRcos),(),( dSzyxPdydzzyxPcos),(),( dSzyxPdzdxzyxQcos),(),( dSRQ

15、PRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos( 上页下页铃结束返回首页下页三、两类曲面积分之间的联系 设设cosa、cosb、cosg是有向曲面是有向曲面上点上点(x y z)处的法处的法向量的方向余弦向量的方向余弦 那么那么dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos( 上页下页铃结束返回首页提示 dSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos( 提示 曲面上向下的法向量为(zx zy 1)(x y 1) 所以 221cosyxx2211cosyx dxdyyxdS221 dSzxzzdxdydydzxzcoscos)()(22下页 例 3 计算曲面积分

16、zdxdydydzxz)(2 其中 是曲面 )(2122yxz介于平面 z0 及 z2 之间的部分的下侧 解 由两类曲面积分之间的关系由两类曲面积分之间的关系 可得可得 dSzxzzdxdydydzxzcoscos)()(22dxdyyxxxyxyx ) 1()(21)(4142222222上页下页铃结束返回首页提示下页 例 3 计算曲面积分zdxdydydzxz)(2 其中 是曲面 )(2122yxz介于平面 z0 及 z2 之间的部分的下侧 解 由两类曲面积分之间的关系由两类曲面积分之间的关系 可得可得 dSzxzzdxdydydzxzcoscos)()(22dxdyyxxxyxyx ) 1()(21)(4142222222422242222222)(21)(4yxyxdxdyyxxdxdyyxxdSzxzzdxdydydzxzcoscos)()(224222220)(4yxdxdyyxx 上页下页铃结束返回首页完毕 例 3 计