任意角的三角函数

1、三维目标三维目标1.知识与技能：知识与技能：理解并掌握任意角的三角函数的定义；理解并掌握任意角的三角函数的定义；在在此基础上能初步应用定义解决与之有关的问题。此基础上能初步应用定义解决与之有关的问题。明确三角明确三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种基本初函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种基本初等函数。等函数。 经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。向过程。向学生渗透学生渗透特殊与一般，特殊与一般，类比与转化等数学思想，类比与转化等数学

2、思想，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。3.情感与价值观：情感与价值观：使学生明白数学源于生活，生活中处处使学生明白数学源于生活，生活中处处需要数学；也需要数学；也通过定义的探索发现过程，学生亲历结论的通过定义的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造再创造”过程，体验成功与快乐，感悟数学美。过程，体验成功与快乐，感悟数学美。 在数学的天地里，重要在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么们怎么知道什么毕达哥拉毕达哥拉斯斯东升西落照苍穹东升西落照苍穹影短影长角不同影短影长角不同昼夜循环潮起伏昼夜循

3、环潮起伏冬春更替草枯荣冬春更替草枯荣思考：用怎样的数学模思考：用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？型来刻画周期现象呢？创设情境引出新课创设情境引出新课创设情境导入新课创设情境导入新课生活中的数学问题生活中的数学问题生活中的数学问题：生活中的数学问题：如图，摩天轮的半径为如图，摩天轮的半径为10m10m，中心，中心o o离地面为离地面为20m20m，现在小明坐上了摩天轮，现在小明坐上了摩天轮，并从点并从点P P开始以每秒开始以每秒1 1度度的速度逆时针转动，当的速度逆时针转动，当转动转动3030秒后小明离地面秒后小明离地面的高度是多少？的高度是多少？120120秒，秒，240240秒，秒，3003

4、00秒后呢？秒后呢？PO. .10m20m30300 0创设情境导入新课创设情境导入新课在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba OabMPc 复习旧知复习旧知OabMP yx在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？二、新知探究二、新知探究22:barOPbMPaOM其中 yx在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改变点在终边上的位置，这三个比值会如果改变点在终边上的位置，这

5、三个比值会改变吗？改变吗？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1 rOPbaab锐角三角函数（在单位圆中）锐角三角函数（在单位圆中）以原点以原点O为圆心，以单位为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆长度为半径的圆，称为单位圆. yoP),(bax1M推广到其它象限，观察下图：推广到其它象限，观察下图：第一象限第一象限第二象限第二象限第四象限第四象限第三象限第三象限正弦：正弦： 余弦：余弦： 正切：正切：rya sinrxa cosxya tan设设 是一个任意角，在是一个任意角，

6、在 终边上除原点外任意取终边上除原点外任意取一点一点 ，点，点 与原点与原点 之间的距离记作之间的距离记作（ ），那么角的正弦、余弦和正切），那么角的正弦、余弦和正切分别定义为：分别定义为： p),(yxp022yxrO如何确定任如何确定任意角三角函意角三角函数的定义域数的定义域思考思考siny P(x,y)cosx tanyx 单位圆单位圆上的点的坐标上的点的坐标来表示来表示在直角坐标系中在直角坐标系中,以原点以原点O为为圆心圆心,以单位长度为半径的圆叫以单位长度为半径的圆叫单单位圆位圆。推广推广: :我们也可以利用单位圆定义任我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数意角三角函数( (正弦正弦

7、, ,余弦余弦, ,正切正切) )。siny cosx tanyx xyO( , )P x y设设是一个任意角是一个任意角,它的终它的终边与单位圆交于点边与单位圆交于点P(x,y)则则:y 叫叫的正弦的正弦x叫叫的余弦的余弦叫叫的正切的正切xy任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义:对应关系对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦正弦函数、余弦函数函数和和正切函数正切函数，并统称为，并统称为三角函数三角函数，在弧度制中，在弧度制中，这三个三角函数的定义域

8、分别是什么？这三个三角函数的定义域分别是什么？sinycosx正、余弦函数的定义域为正、余弦函数的定义域为R，正切函数的定义域是正切函数的定义域是tan(0)yxx思考：思考：定义域定义域求求三角函数值，即可求三角函数值，即可求或坐标的比或坐标的比值值如何求如何求三角函数值三角函数值?2335sin yyxO53 53 1123213,22P 1,2x 3,2y 1r 2135cos x335tanxy例例1：求：求 的正弦的正弦,余弦余弦,正切的值正切的值.根据上述方法否能求得特殊角三角函数值根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?角角 （角度角度） 0 0909018018027027036

9、0360角角 （弧度）（弧度） 0 0 /2/2 3 3 /2/22 2 sinsin 0 01 10 0-1-10 0coscos 1 10 0-1-10 01 1tantan 0 0不存在不存在0 0不存在不存在0 0生活中的数学问题：生活中的数学问题：如图，摩天轮的半径为如图，摩天轮的半径为10m10m，中心，中心o o离地面为离地面为20m20m，现在小明坐上了摩天轮，现在小明坐上了摩天轮，并从点并从点P P开始以每秒开始以每秒1 1度度的速度逆时针转动，当的速度逆时针转动，当转动转动3030秒后小明离地面秒后小明离地面的高度是多少？的高度是多少？120120秒，秒，240240秒，秒

10、，300300秒后呢？秒后呢？PO. .10m20m30300 0创设情境导入新课创设情境导入新课例例2：已知：已知的终边经过点的终边经过点P0 （4，3），求），求角的正弦角的正弦,余弦余弦,正切的值。正切的值。00- MPMPy3sina = y = -= -rOPOP500- OMOM4cos = -= -rOPOP5xxysin3tan =cos4x例例3 3：如图所示，已知角终边上一点：如图所示，已知角终边上一点P P的坐的坐标为（标为（4 4，3 3），求角的三角函数值。），求角的三角函数值。解解：4 4，3 322224( 3)rxy=+=+ -5 533sin55yar-= -

11、4cos5xar=33tan44yax-= -0yxP(4,-3)的终边的终边22()rxycosxr sinyr tanyx oyxP(，) 的终边的终边 r 事实上事实上: : 三角函数也可三角函数也可定义为定义为设设是一个任意角是一个任意角,它的终边经过点它的终边经过点P(x,y),则则根据三角函数的定义能否确根据三角函数的定义能否确定正弦定正弦,余弦余弦,正切的值在四个象限正切的值在四个象限内的符号内的符号?探究探究sinyr1、正弦函数值y,0,ryr0第一象限：故为正值；0,0,第二象限：故为正值；yryroxy0,0,第三象限：故为负值；yryr0,0,第四象限：故为负值.yry

12、rcosxr2、余弦函数值, 00,xrxr 第一象限：故为正值；, 00,xrxr 第二象限：故为负值；oxy, 00,xrxr 第三象限：故为负值；0,0,xrrx第四象限：故为正值.tanyx3、正切函数值00,yxyx第一象限：故为正值；00,yxyx第二象限：故为负值；oxy00,yxyx第三象限：故为正值；0, 0,xyyx第四象限：故为负值.oxyoxyoxysincostan规律：规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”. 1 cos2602 sin;6153 tan7024 tan.4例例4：确定下列三角函数值的符号。：确定下列三角

13、函数值的符号。6解：解： 260 70215分别位于第三象限、第四象限、第一分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。象限、第四象限。(1)负负 (2)负负 (3)正正 (4)负负( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )（ ）+- - -+- - -+- - -sincostan例例5 5：求证：当且仅当不等式组下列不等式组成立求证：当且仅当不等式组下列不等式组成立时，角时，角为第三象限角。为第三象限角。 sin 0因为因为sin0，所以，所以在第三象限或第四象在第三象限或第四象限，或限，或的终边落在的终边落在y轴的负半轴上。轴的负半轴上。因为因为tan0所以所

14、以在第一象限或第三象在第一象限或第三象限。限。由于由于sin0与与tan0同时成立，所以同时成立，所以在在第三象限。第三象限。解：解： 直角三角中的锐角三角函数直角三角中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数任意角终边上任一点坐标定义三角函数 根据三角函数的定义根据三角函数的定义: : 终边相同的角的同一三角函数值终边相同的角的同一三角函数值是否相等？是否相等？探究探究终边相同终边相同2 ,kk

15、Z 终边相同的角的集合为：终边相同的角的集合为：点的坐标相同点的坐标相同同一三角函数值同一三角函数值;sin( + k2) = sincos( + k2) = costan( + k2) = tan(kz)。终边相同的角的同一三角函数值相终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：等，由此得到一组公式（公式一）：利用公式一，作用在于可将求任意角的利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求三角函数值，转化为求0 （或（或0360)范围内的三角函数值。范围内的三角函数值。;17(1)cos497(2)sintan43。例例6：求下列三角函数的值。：求下列三角函数的值。

16、171(1)cos= cos=44297(2)singtan=sin gtan434313=g 3 =22v尝试小结学生小结：学生小结：请回顾一下本节课你学到了什么？请回顾一下本节课你学到了什么？本节课你最大的收获是什么？本节课你最大的收获是什么？ 在数学的天地里，重要的在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么知道什么毕达哥拉斯毕达哥拉斯用什么用什么怎么用怎么用是什么是什么为什么为什么学学事事理理用用知事明理知事明理 学以致用学以致用思考思考1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与为第一象限角，其终边与单位圆的交点为单位圆的交点为P（x，

17、y），则），则 ，都是正数，你能分别用一条线段表都是正数，你能分别用一条线段表示角示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？sinycos = xP P（x x，y y）O Ox xy yM M|MP|= y = sin|OM|= cosx思考思考2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆为第三象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P（x，y），则），则 ， 都是负数，此时角都是负数，此时角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？值分别用哪条线段表示？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM M|sinMPy|cosOMx思考思考3 3：为了简化上述表示，我们设想

18、将线为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号。点，使得线段具有方向性，带有正负值符号。根据实际需要，应如何规定线段的正方向和根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？负方向？规定：线段从始点到终点与坐标轴同规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向。向时为正方向，反向时为负方向。 终边终边 xyop(x , y)xyop(x , y)终边终边 MM象象OMOM、MPMP这种被看这种被看作带有方向的线段，作带有方向的线段，叫做有向线段。叫做有向线段。一、有向线段一、有向线

19、段 我们规定我们规定OM与与x轴同向时，轴同向时，OM的方向的方向是正向，是正向，x为正值；为正值；OM与与x轴反向时，轴反向时， OM的方向是负向，的方向是负向，x为负值；无论是那种情况为负值；无论是那种情况都有都有:OM=x=cos 。 我们规定我们规定MP与与y轴同向时，轴同向时，MP的方向的方向是正向，是正向，y为正值；为正值；MP与与y轴反向时，轴反向时，MP的的方向是负向，方向是负向，y为负值；无论是那种情况都为负值；无论是那种情况都有有:MP =y=sin。 二、正弦线、余弦线二、正弦线、余弦线设任意角设任意角与单位圆交于点与单位圆交于点p(x , y)，则，则r = |op|

20、= 1.sin=y因此，因此，p(x , y)坐标也表示为坐标也表示为p(cos , sin).cos= xxyop(x , y)三、正切线三、正切线xyop终边终边 AT称称AT为角为角的正切线的正切线.过过A(1,0)作圆的切线，作圆的切线，例例7 7：不查表，比较大小。：不查表，比较大小。解：解：xyo11由图形得到由图形得到2sin34sin524sin sin35解：解： 由图形得到由图形得到xyo112cos34cos524cos cos35解：解：由图形得到由图形得到xyo12tan34tan524tan tan351 1、正弦线、正弦线2 2、余弦线、余弦线3 3、正切线、正切

21、线注意：正弦线、余弦线、正切注意：正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，有正负之分线都是有向线段，有正负之分.三角函数线是三角函三角函数线是三角函数的数的几何表示几何表示，它可，它可以直观刻画三角函数以直观刻画三角函数的概念与三角函数的的概念与三角函数的定义结合起来，可以定义结合起来，可以从从数数与与形形两方面认识两方面认识三角函数的定义三角函数的定义. .xysinxycosxytan定义域为定义域为R定义域为定义域为R；定义域为定义域为x | xk +,kZ2 三角函数三角函数(正弦正弦,余弦余弦,正切正切)都是以角为自变量都是以角为自变量,以单以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数位

22、圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)所以三角函数可以记为所以三角函数可以记为:1、任意角的三角函数定义、任意角的三角函数定义课堂小结课堂小结sincostan( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )（ ）+- - -+- - -+- - -2、三角函数在象限内的符号、三角函数在象限内的符号sin(2 )sin ;cos(2 )cos ;tan(2 )tan().kkkkz应用应用（1）判断符号

23、）判断符号（2）求值）求值 000 360把把角角 化化到到、公式一、公式一(诱导公式诱导公式)高考链接高考链接1.（2009全国）全国） 的值为的值为( )sin58522223232解析：解析：本题主要考察诱导公式本题主要考察诱导公式：2sin585sin(360225 )sin(18045 )sin452 54342.（2009陕西）陕西） 则则 的值为（的值为（ ）2sincossin2costan2 B解析：解析：本题考查同角三角函数的基本关系式和运本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因算能力，以及转化与化归的思想。因 故选故选B。2sincossin2

24、cos 2tan12 21tan22+2 tan2 3. (2007江西江西)若若 ， 则则 等于（等于（ ） tan3 4tan3 tan()1313解析：解析：43tantan13tan()41tantan3133 | =k+,k| =k+,k66。1. 以下四个命题中，正确的是以下四个命题中，正确的是()D第四象限的角可表示为第四象限的角可表示为:A在定义域内，只有终边相同的角的三在定义域内，只有终边相同的角的三 角函数值才相等。角函数值才相等。BC若若a是第二象限的角，则是第二象限的角，则3|2k+ 0 0, ,则则 的的终终边边在在( ( ) )A A. .第第一一象象限限 B B. . 第第四四象象限限C C. .第第二二或或第第三三象象限限