韩师2011《高代》专插本考试样卷

1、韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷数学与应用数学 专业 高等代数A卷题号-一一二二二-三四五六七八九十总分评卷人得分、选择题(每小题3分，共15分)题号12345答案1. m个方程n个未知量的线性方程组中，若其系数矩阵的秩等于 m,则() 成立。(A )方程组一定有解；(B )方程组一定有无穷多解；(C)方程组一定无解；(D)方程组一定有唯一解.2. 设E1E2Es A Es+1Et =I,其中Ei为初等矩阵，i = 1,2,t ,则A-1等于().(A)E1E2 Et ;( B)Et E2E1;(C)Es+1 Et E1Es;( D)E t E s+1 E1Es .A1、3. 设A1

2、, A2,As都是n阶方阵，则对角线分块矩阵比的秩等hq<As丿于()(A )秩(A1A2 As);( B)秩 A1X 秩 A2X-X 秩 As；(C)秩(A什A2As);( D)秩 A1 + 秩 A2+ 秩 As .4. 设a , a，,a与妆,伦，,伍均为线性相关的向量组，则下列结论正确的 是( )(A) a+乩a+免，a+伎线性相关；(B) a+®,a+仪,，a+伶线性无关；(C) a, a,as, 0,伦,，念线性相关；(D) a, a,a, 3,伦,，念线性无关.5. = 2 , 2 , -81357246 是偶排列.（），2 = 2 , -1 , 2是R3的规范正交

3、组，添加()1333 丿 I 333 丿可以扩充为R4. 复数域C作为实数域R上的向量空间,维数是.5. mx n矩阵A的行向量组所生成的F n的子空间叫做A的.三、判断题（每小题2分，共14分.你认为正确的，在题后圆括号内打 V , 错误的打“X”。） 1 多项式x4 -2x3 2x -3在有理数域上是不可约的.（） 设A是n阶方阵，那么 det （ - A ） = - det A .（）的规范正交基.(C)2323310100 '010与B=010<101<002丿7.矩阵A=可以看成某一线性变换关于两个基的二、填空题（把答案填在题中横线上。每小题3分，共15分）1.

4、在n元排列中，反序数最大的排列的反序数为 .2. 实数域上的不可约多项式的次数只能是 .3. f（x）=2x6. 复数域上两个n元二次型等价的充分必要条件是它们的矩阵有相同的秩-10x在欧氏空间V中，当向量 -0, - 0时，有'/,.（）5. 设f : A-B,g : B-C是映射，又令h = g0 f .如果h是单射，那么g也是单射. 16x3-16x2 14X-6在 Qx内的典型分解式为的矩阵.勺-63四、（8分）求矩阵A = 0 _5 <的逆矩阵.I。64五、（8分）求齐次线性方程组X| X2 +5x3 沧=0,Xi +x2 -2x3 +3x4 = 0,3xi -X2 8

5、x3 x4 = 0,Xi 3x2 -9x3 7x=0的一个基础解系.六、（8分）计算行列式b +c + dc + d +ad +a +ba +b +cabcdD =2 ab22 cd2.3 ab33 cd32n七、（8分）证明：多项式f （x）= x+HI+-在复数域C内没有重根2!n!八、（8分）设向量组:-,:,线性无关，证明很亠；，：；/也线性无关.九、（8分）设匚是数域F上向量空间V上的一个线性变换，：和是二的属于 不同本征值的本征向量.证明：-匕F（k=0）,不是二的本征向量.十、（8分）设A与B都是n阶方阵.证明：如果AB = O,那么秩A +秩B < n .-1所2种：一次

6、多项式,【自己得出来的答案】1. A2. C(由已知 A= (E1E2 EsF-1(Es+1 EtF以 AA-1= Es+1 Et E1E2-Es)3. D(r(A)=r(A1)+r(A2)+r(As)4. C (部分相关则整体相关，整体无关则部分无关)5. B(利用正交来做，再单位化)(属于不同特征值的特征向量彼此正交，故( a 1) at * a 3=0,( a 2仟 a 3=0即解齐次线性方程组，其系数矩阵为2/3 2/3 -1/32/3 -1/3 2/3a 3=1 -2 -2/(1A2+(-2)A2+(-2)A2)=1/3 -2/3 -2/3(最后一步是标准化)1. n(n-1)/22

7、. 1 或 2(实数域上的不可约多项式类型有只含非实共轭复数根的二次多项式所以是1或2)3. f(x)=2(x-1)(x-3)(xA3-xA2+x-1)4. 25. 行空间1.错(反序数为13,是奇排列)2.对3.错(det(-A )(-1)a ndetA)4. 对5.(f 为单射)6. 对7. 错(一个线性变换(T在两个基下的矩阵A、B的关系是相似(即 B=Ta-1AT)，而相似矩阵必有相同的特征值，故有相等的行列式与迹)四1-3-3/20-2-3/2035/2五.-3/2-1E 1 =7/2E 2= -21001将第2行加到第1行第1行提出公因子a+b+c+d行列式化为范德蒙行列式故 D

8、= (a+b+c+d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)七.令 g(x)=f(x)=1+x+xA2/2!+xA3/3!+.+xA(n-1)/(n-1)!f(x)=g(x)+xA n/n!显然g(x)不能整除xAn/n!(后者只有0为根。0显然不是g(x)的根) 所以g(x)也不能整除f(x),所以f(x)无重根(多项式有重根的充要条件是能被导数整除)八.证明：假设a + B B +丫 丫 + a 线性相关, 则存在一组不全为零的数kl, k2, k3,使得 k1( a + B )+k2( B + Y )+k3( 丫 + a )=0(k1+k3) a +(k1+k2)

9、B +(k2+k3) 丫=0又因为a B 丫线性无关所以 k1+k3=k1+k2=k2+k3=0解得k仁k2=k3=0与假设矛盾，所以假设不成立所以a + B B + 丫 丫 + a线性无关九.解：反证,设a +k B是线性变换(T的属于本征值Z的本征向量则(T ( a +k B ) = Z ( a +k B ),所以(T ( a )+k(T ( B )= Z a +k Z B ,由已知，(a,B是分别属于(T的两个不同本征值 入、卩的本征向量)(T ( a )=入 a , t ( B )= uB ,所以入 a +k u B = Z a +k Z B ,所以(Z -入)a +k( Z - u) B = 0.由于属于不同本征值的本征向量线性无关，所以(Z -入)=k( Z - u )=0.由于 kM 0,所以 Z = X = u .这与已知矛盾(题中X、u是不同的本征值).注：1.属于不同本征值的本征向量线性无关(若a、B属