刚体的定轴转动

1、1本章题头2本章内容3第一节4刚体5本章只讨论密度分布均匀、有规则几何本章只讨论密度分布均匀、有规则几何形状的刚体，其质量中心与几何中心重合，形状的刚体，其质量中心与几何中心重合，即为该刚体的质心。即为该刚体的质心。匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直杆匀质细直杆6平动 故：故： 刚体质心运动即可表示刚体的平动，刚体平动还原成质点运动。刚体质心运动即可表示刚体的平动，刚体平动还原成质点运动。7 刚体各点都绕同一直线（转轴）刚体各点都绕同一直线（转轴）作圆周运动，称为转动。作圆周运动，称为转动。最简单的情况是转轴的位置最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，和方向都固定不变的转动，称称为为 刚体

2、的刚体的定轴转动定轴转动。在同一时间内，各点对轴的在同一时间内，各点对轴的转角相等，但线速度不同。转角相等，但线速度不同。转动规律：转动规律：要应用角量来描述。要应用角量来描述。转转 轴轴刚刚 体体8转动物理量转轴转轴刚刚 体体参参考考方方向向1. . 角位置角位置刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程3. 角速度角速度匀角速匀角速常量常量静止静止变角速变角速4. 角加速度角加速度变角加速变角加速常量 匀角加速匀角加速匀角速匀角速单位单位弧度弧度(rad)弧度弧度/秒秒(rad s-1 )弧度弧度/秒秒 (rad s-2 )22. 角位移角位移 注意：注意：定轴定轴转动角量的矢量方向沿轴

3、线与转动方向成右手螺旋。转动角量的矢量方向沿轴线与转动方向成右手螺旋。9角、线量关系 注意， 这里的角量都是用弧度(rad)( rad s-1 )( rad s-2 )定轴转动中定轴转动中线量线量与与角量角量的基本关系的基本关系10凡例的的11刚体转动定律引言质质 点点的运动定律的运动定律或刚体平动刚体平动F = m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？5.2主要概念使刚体产生转动效果的是 合外力矩合外力矩转动刚体的惯性量度 转动惯量转动惯量转动刚体的 角加速度角加速度刚体的 转动定律转动定律12定轴转动

4、合力矩定轴转动刚体所受的合力矩，是转动平面上各力矩之和。定轴转动刚体所受的合力矩，是转动平面上各力矩之和。切向切向任何一个力作用在刚体上，只有任何一个力作用在刚体上，只有它在转动平面上的分量，才有它在转动平面上的分量，才有刚刚体产生力矩。体产生力矩。转动平面上的某力所产生的力矩转动平面上的某力所产生的力矩大小大小定轴转动刚体只有正、反两个转向定轴转动刚体只有正、反两个转向设以反时针为正，则顺时针为负。设以反时针为正，则顺时针为负。可用代数式（标量式）表示。可用代数式（标量式）表示。13转动定律对对 应用牛顿运动定律应用牛顿运动定律因因 始终都以始终都以 为半径作圆周运动，为半径作圆周运动，有切

5、、法向力和切、法向加速度，有切、法向力和切、法向加速度，但法向力沿半径指向转轴，力矩为零。但法向力沿半径指向转轴，力矩为零。故故只需考虑切向力和切向加速度只需考虑切向力和切向加速度。回忆线角量关系受的受的合外力合外力合内力合内力切向切向刚体中刚体中任一任一质元质元的质量的质量等式两边同乘以等式两边同乘以质元质元受的合力矩受的合力矩14推导结果对对 应用牛顿运动定律应用牛顿运动定律因因 始终都以始终都以 为半径作圆周运动为半径作圆周运动有切、法向力和切、法向加速度有切、法向力和切、法向加速度但法向力沿半径指向转轴，力矩为零但法向力沿半径指向转轴，力矩为零故故只需考虑切向力和切向加速度只需考虑切向

6、力和切向加速度回忆线交量关系受的受的合外力合外力合内力合内力切向切向刚体中刚体中任一任一质元质元的质量的质量等式两边同乘以等式两边同乘以质元质元受的合力矩受的合力矩质元质元受的合力矩受的合力矩内力矩正反成对出现，对对抵消内力矩正反成对出现，对对抵消对刚体中的所有质元求和对刚体中的所有质元求和写成写成称为称为刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律整个刚体所受的整个刚体所受的合外力矩合外力矩描述刚体转动描述刚体转动惯性的物理量惯性的物理量角角加加速速度度转动惯量转动惯量15意义刚刚 体体 定定 轴轴 转转 动动 定定 律律合合外外力力矩矩角角加加速速度度转转动动惯惯量量刚体在合外力矩刚体在合外力矩 作用

7、下，所获得的角加速度作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，并与转动惯量与合外力矩的大小成正比，并与转动惯量 成反比。成反比。合外合外惯性惯性质量质量力力线加线加速度速度质点运动定律质点运动定律与与对比对比可见可见转动惯量转动惯量是描述刚体是描述刚体转动惯性大小转动惯性大小的物理量的物理量16转动惯量简例释其义简例释其义转转轴轴可忽略质量的硬杆若质量呈连续分布若质量呈连续分布用用不但取决于质量不但取决于质量更重要的是取决于更重要的是取决于质量相对转轴的分布质量相对转轴的分布转转轴轴17平行移轴质量质量 长度长度 的匀的匀直细棒直细棒对质心垂轴的转动惯量对质心垂轴的转动惯量若转轴在细杆的

8、一端若转轴在细杆的一端质心新轴新轴质心轴质心轴对对新新轴轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量平行移轴定理平行移轴定理时时代入可得代入可得例如：例如：端18细圆环均匀细圆环对垂心轴均匀细圆环对垂心轴19薄圆盘匀质薄圆盘对心垂轴的匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为取半径为 微宽为微宽为 的窄环带的质量为质元的窄环带的质量为质元20常用JLRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面转轴通过中心垂直盘面22J =m R123J =m L1转轴通过端点与棒垂直转轴通过端点与棒垂直21凡例木木铁铁铁铁木木匀质细直棒匀质细直棒 ，

9、 以一端为转轴以一端为转轴的转动惯量的转动惯量铁铁木木铁铁木木10木木铁铁木木铁铁10铁铁铁铁10 0铁、木两匀质细直棒铁、木两匀质细直棒10木木铁铁密度密度以一端为转轴以一端为转轴截面截面质量质量相等相等相等相等22转动定律例题合外力矩合外力矩 与合角加速度与合角加速度 方向一致。方向一致。与与时刻对应，何时时刻对应，何时则何时则何时 ，何时何时则何时则何时恒定恒定恒定恒定。合外力矩合外力矩 应由各分力矩进行合成应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为负。矩与此向相同则为正，反之为负。

10、单位单位力矩力矩转动转动惯量惯量角加角加速度速度23例一Rm1m细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑静静止止释释放放轮轮绳绳m1转转动动平平动动mRm1联联立立解解得得转动转动平动平动角角 线线 (1) (2) (3)若轴有摩擦力矩若轴有摩擦力矩 Mr 则则 (1) 变为变为 TR Mr = = J Mr 的测量，可通过调整的测量，可通过调整 m 1 的大小，到匀速下降的大小，到匀速下降时的时的 m 1 则则 Mr = = m 1 g R 24例三匀直细杆一端为轴匀直细杆一端为轴水平静止释放水平静止释放下摆到下摆到 处的处的力矩力矩角加速度角加速

11、度力臂力臂由由求求本题本题代入得：代入得：讨论：在两个特殊位置上的情况讨论：在两个特殊位置上的情况25续上匀直细杆一端为轴匀直细杆一端为轴水平静止释放水平静止释放下摆到下摆到 处的处的力矩力矩角加速度角加速度力臂力臂由由求求本题本题代入得：代入得：讨论：在两个特殊位置上的情况讨论：在两个特殊位置上的情况由由求求本题本题应用前两章学过的数学方法，还可继续求应用前两章学过的数学方法，还可继续求角速度角速度由由求求本题本题应用前两章学过的数学方法，还可继续求应用前两章学过的数学方法，还可继续求角速度角速度由由而而得得26例四制动前制动前0. 52制动的制动的阻力矩阻力矩0.50.6930.6930.

12、5降至降至0.5时的时的制动过程使得制动过程使得需时需时27小实验长长杆杆短短铅铅笔笔28续上q qq q 从小倾角从小倾角 处静止释放处静止释放两匀两匀直细杆直细杆地面地面短杆的角加速度大短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关且与匀质直杆的质量无关两者瞬时角加速度之比两者瞬时角加速度之比213q q1q q1321根据29转动动能刚体中任一质元刚体中任一质元 的速率的速率该质元的动能该质元的动能对所有质元的动能求和对所有质元的动能求和转动惯量转动惯量 JJ得得5.330力矩的功力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩若在某变力矩

13、的作用下，刚体由的作用下，刚体由 转到转到 ，作的总功为作的总功为切向切向力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率31力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩总摩擦力矩 是是各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 的积分的积分环带面积环带面积环带质量环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功得得粗粗 糙糙 水水 平平 面面转轴平放一圆盘平放一圆盘32刚体的动能定理回忆质点的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动

14、定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为称为33动能定理例题一匀质圆盘匀质圆盘盘缘另盘缘另固固连连一质点一质点水平静水平静止释放止释放通过盘心垂直通过盘心垂直盘面的水平轴盘面的水平轴圆盘下摆圆盘下摆 时质点时质点 的的角速度角速度、切向、法向加速度、切向、法向加速度的大小对对系统系统外力矩的功外力矩的功系统转动动能增系统转动动能增量量其中其中得得由转动定律由转动定律得得则则34动能定理例题二外力矩作的总功外力矩作的总功从水平摆至垂直从水平摆至垂直由由得得代入得代入得本题本题利用利用的关系的关系还可算出此时杆上各点的线速还可算出此时杆上各点的线速度度水平位置静止释

15、放水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的摆至垂直位置时杆的匀直细杆匀直细杆一端为轴一端为轴35动能定理例题三段，外力矩作正功段，外力矩作正功段，外力矩作负功段，外力矩作负功合外力矩的功合外力矩的功从水平摆至垂直从水平摆至垂直由由得得转轴对质心轴的位移转轴对质心轴的位移 代入得代入得摆至垂直位置时杆的摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放水平位置静止释放36势含平动的转动问题机械机械外外力力非保守内非保守内力矩力矩力力力矩力矩动动势势动动势势平动平动转动转动平动平动转动转动系统（轮、绳、重物、地球）系统（轮、绳、重物、地球）左例左例忽略忽略摩擦摩擦外外力力力矩力矩非保守内非保守内力矩力矩力力则则 机械能

16、守恒机械能守恒可求可求或或此外此外平动平动转动转动势势平动平动转动转动势势37质点的角动量位矢位矢惯性系中某惯性系中某给定参考点给定参考点取小于取小于的转向的转向质点的动量质点的动量质点对参考点质点对参考点O 的角动量的角动量大小大小方向方向垂直于垂直于所决定的所决定的平面，平面， 指向指向右螺旋右螺旋 叉叉乘乘的旋进的旋进方向方向。5.438刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加任一质元（视为质点）的质量任一质元（视为质点）的质量其角动量大小其角动量大小全部质元的总角动量全部质元的总角动量对质量连续分布的刚体对

17、质量连续分布的刚体 所有质点都以其垂轴所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动距离为半径作圆周运动39刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（微分形式）（积分形式（积分形式）合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量40刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个若一个系统包含多个共轴共轴刚体或平动物体刚体或平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩系统的总角动量增量系统的总角动量增量例如例如对对O 的角动的

18、角动量量对对O 的角动的角动量量系统：系统： 轻绳轻绳（忽略质量（忽略质量）总合外力矩总合外力矩由由得得同向同向而解得解得静静止止释释放放求角加速度求角加速度41主要公式归纳（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）对对照照质质点点线动量线动量角动量角动量42刚体的角动量守恒定律由由刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩若若则则即即 刚体的角动量刚体的角动量 保持不变保持不变。 当刚体所受的合外力矩当刚体所受的合外力矩 等于零时，等于零时，43角动量守恒的另一类现象保持不变保持不变，角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变小则变大变大，乘积乘积变大则变大则变小变小。 用外力矩用外力

19、矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小收臂收臂大大小小44花样滑冰中常见的例子保持不变保持不变，角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则变小则变大变大，乘积乘积变大则变大则变小变小。 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小收臂收臂大大小小花花 样样 滑滑 冰冰收臂收臂大小张臂张臂大小先使自己先使自己转动起来转动起来收臂收臂大小45共轴系统的角动量守恒共轴系统共轴系统若若外则则恒矢量恒矢量轮、转台与人系统轮、转台与人系统轮轮人台人台初态初态全静全静初初人台人台人沿某一转人沿某一转向拨动轮子向拨动轮子轮轮末态末态人台人台轮轮轮轮末末人台人台人台人台初

20、初得人台人台轮轮轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动46直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 CH47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）47回转仪定向原理万万向向支支架架受合外力矩为零受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒角动量守恒回转仪定向原理回转仪定向原理使其以角速度使其以角速度 高速旋转高速旋转其中转动惯量其中转动惯量为常量为常量若将回转体转轴指向某方向若将回转体转轴指向某方向Z则转轴将保持该方向不变则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响而不会受基座改向的影响基基

21、 座座回转体回转体 （转动惯量（转动惯量 ）常量常量48守恒例题一A A、B B两轮共轴两轮共轴A A以以w wA A作惯性转动作惯性转动 以以A A、B B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外力矩为零，角动量守恒。统受合外力矩为零，角动量守恒。初态角动量初态角动量末态角动量末态角动量得得两轮啮合后两轮啮合后一起作惯性转动的角速度一起作惯性转动的角速度w wABAB49阶段与系统问题下摆阶段下摆阶段球、棒、地球球、棒、地球系统，系统，含转动的含转动的机械能守恒机械能守恒 。弹碰阶段弹碰阶段（铅垂位置）（铅垂位置）弹、棒系统，合外力矩为零弹、棒系统

22、，合外力矩为零角动量守恒角动量守恒 。而且而且 转、平动能守恒转、平动能守恒 。弹碰弹碰光滑光滑弹碰弹碰击入阶段击入阶段（铅垂位置）（铅垂位置）弹、棒系统，合外力矩弹、棒系统，合外力矩为零，为零，角动量守恒角动量守恒 。上摆阶段上摆阶段弹、棒、地球弹、棒、地球系统，系统，含转动的含转动的机械能守恒机械能守恒 。或或选选弹、棒弹、棒系统，则用系统，则用含转动的含转动的动能定理动能定理 。击入摩擦大，动能不守恒。击入摩擦大，动能不守恒。50守恒例题二弹嵌于弹嵌于棒棒子弹子弹上上摆摆最最大大转转角角木棒木棒联立解得联立解得以弹、棒为系统以弹、棒为系统击入阶段击入阶段子弹击入木棒瞬间子弹击入木棒瞬间，

23、系统在系统在铅直位置，受合铅直位置，受合外力矩为零外力矩为零，角动量守恒角动量守恒。该瞬间之始该瞬间之始该瞬间之末该瞬间之末弹弹棒棒弹弹棒棒上摆阶段上摆阶段弹嵌定于棒内与棒一起上摆，弹嵌定于棒内与棒一起上摆，用用系统动能定理系统动能定理，其中非保守内力的功为零，其中非保守内力的功为零，外力（重外力（重力）的功力）的功外外上摆末动能上摆末动能上摆初动能上摆初动能其中其中51作业作业：作业：独立认真完成作业！独立认真完成作业！52速度的平方成正比，比例系数为k （k为大于的常数)。求：（1）当0/3时飞轮的角加速度 ； 5-T1 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t时角速度为0，此后飞轮经历制动过程。

24、阻力矩M的大小与角（2）从开始制动到0/3所经过的时间t 。Jk920w w 02w wkJ5-T2 5-T2 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为 ，滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。221MRm M RmaTmg 对对m:2/2MRJ 对滑轮：对滑轮： JTR ，牵连方程：牵连方程： Ra 解得： )2/(Mmmga atvv 00535-T3 一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示。绳与滑轮间

25、无相对滑动，滑轮轴光滑。将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力。受力分析如图所示： m 2m T2 2P 1P T a T1 a 解上述解上述5个联立方程得：个联立方程得： T11mg / 8 2mgT12ma T2mgma T1 rT r 221mr 221mrT r T2 r a rb 545-T4 在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J，角速度为w 。如果人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。 人在盘边时，J人=mR2 ,设人走到盘心时盘的角速度w。 w ww w JJJ)(人人w ww wJmR

26、J2 动能变化： 2222mRJmRw ww ww w 2)(21212 JJJJEk人人555-T5 坐在转椅上的人手握一对哑铃。两臂张开时，人、哑铃和转椅系统对竖直轴的转动惯量为J1=2 kg m-2 在外人推动后，此系统开始以n1=15 r/min 转动。当人的两臂收回，使系统的转动惯量变为 J2=0.80 kg m2 时，它的转速是多大？两臂收回过程中，系统地机械能是否守恒？什么力做功？做功多少？（轴上摩擦力忽略不计）两臂收回过程中，系统沿竖直轴角动量守恒： 221122nJnJ min/5.378.02152112rJJnn 两臂收回时，系统内力（臂力）做功，所以系统机械能不守恒。臂

27、力作的功为：JJJA70. 3)60152(2)605 .372(8 . 021212122211222 w ww w565-T6 长为2a的匀质棒AB，以铰链固定在A点。最初，用手拉B端使棒成水平静止。当放开B端，棒绕A点转到竖直位置时, 去掉铰链，使它成自由落体。在以后的运动中，他的质心沿抛弧线运动，而棒则绕质心旋转着。问当它的质心下降距离h 时，棒转了几转？ 棒到竖直位置时，由机械能守恒： amgJ 221w w2)2(31amJ agJmga232 w w其中：质心下降h 所经时间： ght2 棒绕质心转过的角度：q q =w w t 所以棒转过的圈数为： ahtn32122 w w

28、q q 57于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。 已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 ，如图所示。 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。（已知棒绕O点的转动惯量 ）5-T7 有一质量为m1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直1v和2v2131lmJ O A m2 m1 ,l 1v 2v 俯视图 对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力矩滑块的冲力矩故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即 ： m2v1lm2v2l w2131lm 摩擦力矩为： glmxxlmgMlf10121d 由角动量定理： w210310lmdtMtf 由、和解得： gmmt12122vv 585-T8 一均匀细棒长 L ，质量为 m ，可绕经过端点的O 轴在铅直平面内转动，现将棒自水平位置轻轻放开，当棒摆至竖直位置时棒端恰与一质量也为 m的静止物块相碰，物块与地面的滑动摩擦系数为 ，物块被击后