等比数列知识点并附例题及解析

1、等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：仏=*少0）（心2,且皿N） g称为公比2、通项公式：an = axq,!x = q'!=A- B'1 （«）- qO.AB 0）,首项：q；公比：q q推广：5 = 5严。qE =色 o g = ,L4”V J3、等比中项：如果d 成等比数列，那么A叫做a与0的等差中项,即：A2 = ab或A = ±y/ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2 ）数列an 是等比数列O < =%4、等比数列的前项和S”公式：（1）当彳=1时，S” =叫（2）当qHl 时，S“ = H匸"

2、;）=4_加1-<7 l_q= A为-q l_g常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的"，都有«,I+1 = qan或笠旦=q（g为常数，an工0） o “”为等比数列（2）等比中项:衬=%如（如工0）0劣为等比数列（3）通项公式：a”=AB”（4BH0）U>a为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义：若匕-=°（0工0）02'2,且已""）或色+1 =qan <=> an为等比数列 5-17、等比数列的性质：（2 ）对任何加,neN在等比数列”中，有 =呻广"。（3）若m + n =

3、s + t（m,/?,s,t eN*）,贝'J an -am = as -at« 特别的，当 m + n = 2k 时，得© 5 =注：q © = a2 -a”=a3an_2 （4）数列冷, $为等比数列，则数列土, 2“, *,伙“如，纠anbn（R为非零常数）均为等比数列。（5） 数列a为等比数列,每隔项取出一项（am,am+k,allt+2k,am+3k，）仍为等比数列（6）如果心是各项均为正数的等比数列，则数列log/”是等差数列（7）若他为等比数列，则数列S“，Sg-S”, S»-S“,成等比数列（8 ）若陽为等比数列，则数列4 5 a

4、n，«H+1 4+2 «2n，吆+2”成等比数列円>0,则4为递增数列（9）当§>1时，Q<0,则州为递减数列r«,>0,则d“为递减数列 当0切<1时，Q<0,则外为递增数列 当§ = 1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； 当彳<0时,该数列为摆动数列.S 1（10）在等比数列©中,当项数为2叫H 时，亠丄s網q二例题解析【例1】 已知Sn是数列%的前n项和，Sn = pn（pR, nGN*）,那么数列a（）A. 是等比数列B.当pHO时是等比数列B. C.当pHO, pHl时是等

5、比数列D.不是等比数列【例2】 已知等比数列1, xp X2，X2n，2,求X x? X3X2n.【例3】 等比数列a“中，(1)已知a?", a5 = -|,求通项公 式；(2)已知 &3 a4 *5 = & 求 a2a3a4a5a6 的值.【例4】求数列的通项公式：(1) an中'幻=2, an+2 3an+2(2) an中,&二2,电=5,且 +2 3%+ + 2% = 0三.考点分析 考点一：等比数列定义的应用1、数列满足 an = -+% (« > 2),2、在数列匕中，若,则该数列的通项考点二：等比中项的应用1、已知等差数列

6、©的公差为2,若 山，心成等比数列，则色=(A. -4B. -6C. -8D. -102、若"、b、c成等比数列，则函数y = ax2+bx + c的图象与x轴交点的个数为 （ ）A. 0B. 1C. 2D.不确定3、已知数列©为等比数列，碼=2,+厲，求%的通项公式.考点三：等比数列及其前n项和的基本运算1、若公比为？的等比数列的首项为三，末项为丄，则这个数列的项数是（）3 83A. 3B. 4C. 5D. 62、已知等比数列匕中，冷=3,细=384 ,则该数列的通项5 =3、若©为等比数列，且2.=亚-5,则公比歼.4、设，心,山，“4成等比数列，其

7、公比为2,则如 的值为（）2如+么4A. -B.丄C- -D 14 285、 等比数列aj中，公比q二丄且 比+弘+a10o=30 ,贝9乞+乞+2+&100 二.考点四：等比数列及其前n项和性质的应用1、在等比数列©中，如果山=6,偽=9,那么为（）A. 4BI7D. 22、如果-1, q, b.C, -9成等比数列，那么（）A. b = 3, ac = 9B. Z? = -3, ac = 9C b = 3, ac = -9D. b = -3 9 ac = -93 在等比数列/中，"=1,= 3 ,则 a2a3a4a5a6a7aa）等于（）A. 81B. 2727

8、c.D. 2439秽（h5D.匕丿5>在等比数列匕中,和“5是二次方程x2+kx+5 = 0的两个根,则a2a4a6的值为()A. 25B. 5>/5C. -5卡D. ±5>/5 6、若an是等比数列，且an >0,若a2a4 + 2a3a5 + a4a6 = 25 ,那么a3 + a5的值等于考点五：公式勺=r的应用S“(心2)1、若数列的前n项和SP+y+g 满足条件log：S=n,那么仏是( )A.公比为2的等比数列B公比为*的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和S=2a-b则前n项的平方和为()A. (2-

9、1)2B. - (2-1)2C. 4n-lD. - (4-1)333、设等比数列%的前n项和为SF3+r,那么r的值为一、等差和等比数列比较：等差数列等比数列定义汁1 一="间曲hO)递推公 式5 =%1+mdan； an =5/1"通项公 式an =。 +（ 一 l）dCin =6广"（5?hO ）中项A - %* +心从（仏R wNj Ak AO ）2G =卄文（dMn+R a 0） 5k wN*AkAO）前”项和SH =+ 心）片=g+-d阿（？= 1）S”=山（1）_仆2）_g_q重要性质（也，n. p、q w N ,in + n = p + q）（/?/

10、, n. p.q Nm + n = p + q）二、等差数列的定义与性质定义："”+i -（d为常数）， 通项：aH =a +（n-）d等差中项：x, A, y成等差数列o2A = x+y前项和：»=3也=呦+心2 2性质：%是等差数列（1）若? + n = p + q，贝'J a）n +an= ap + aq；（2）数列如，仏，仏+】仍为等差数列，Sn，S2n-Snf S3n-S2n仍为等差数列，公差为nd；（3）若,-是等差数列，且前”项和分别为S”，T”,则牛=沖5 ，2加-1（4）匕为等差数列oS”=+伽 j,b为常数，是关于n的常数项为0的 二次函数，可能

11、有最大值或最小值）（5）项数为偶数2的等差数列©,有S" = »（«! + 如）="（"2 + "2”-1）="（心 + % ）（d” 4+1 为中间两项）（6）项数为奇数2“-1的等差数列仏,有碌严的为中间项）泊缶三、等比数列的定义与性质定义：H = q （q为常数,gHO ）,通项：©=%心 ci.等比中项：x、G、y成等比数列或G = ±屈前”项和:叫(q = 1)（要注意q !）性质：“讣是等比数列(1)若 m + n = p + q , WO am9 an = ap9 aq（2） S屮

12、S?厂和S?厂S“仍为等比数列，公比为/四、列求和的常用方法:1 .裂项俪法：1 1 1 14+1 2 2-3 3 4,/(/: +1 )A 11 L , A L ,A1、=(丁一 三)+(三一 T + 匕 _ T)( _T)122 334nn +111 n=1H+1H+11 - 84127的刖n和疋:(1+2+3+4+)+ (+ + -+)3 9 27 812、错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法， 例:求Sn=x + 3x2 + 5x3 + + (2n-5)xn'2 + (2n-3)xnU +(2n-l)xn (xhI) 解：Sn=x+3x2 +5x

13、3 + + (2n-5)xnd + (2n-3)xnl + (2n-1 )x“(x H 1)xSn =x2 +3x3+5x4.- + (2n-5)xn-1 +(2n-3)xn +(2n-l)xn+, (x 工1) 减得:(1 x)S 产x +(2x2+2x'+ + 2xn+2xn) (2n l)x= x+Mh£)_(2n_1)x从而求出s八错位相减法的步骤：将要求和的杂数列前后各写出三项，列出式；将式左右 两边都乘以公比q，得到式；用一，错位相减；(4)化简计算。3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法例：等差数列求和：Sn=ai +a2 +33 + + "叶

14、2 +an-l + HnSn=an +an-l + 3n-2 +*+33 +H2 +3I两式相加可得:2Sn=(ai +an) + (a2 +anT)+ (*3 +an2 ) + +(“3 +%-2)+ (玄2 +%-l) + (ai +%)即：2S” =n(a】 +an)C _n(ai+an) 所以 6 _ 5等比数列例题解析【例1 已知Sn是数列伽的前n项和，Sn=pn(pGR> n£N*),那么数列如A. 是等比数列B. 当pHO时是等比数列C. 当pHO, pH 1时是等比数列D. 不是等比数列【例2】 已知等比数列1, xp X2，X2n，2,求X X2 X3X2n-

15、【例3】 等比数列a.中，(1)已知32=4, a5 = -p 求通项公 式：(2)已知 旳辺 *5 = 8,求玄2玄334巧216的值.【例4】 已知a>0, b>0且ab,任a, b之间插入n个正数xx?，,xn»使得a, xp x2，Xn，b成等比数列，求【例5】设 a、b、c、d 成等比数列，求证：(bc)2+(cap+(db)?= (ad)2.【例6】求数列的通项公式：伽中，a=2, an+1=3an+2(2)an)中，a1=2, a2=5,且 an+2-3an+i+2an=0【例7】若实数a】、a2> a3s a4都不为零，且满足(a：+n；)a： 2a

16、? (a|+a3)a4+a2+a3 =0求证：a,> a2> g成等比数列，且公比为J.【例8】若a、b、c成等差数列，且a+1. b、c与a. b、c+2都成等 比数列，求b的值.【例9】 已知等差数列aj的公差和等比数列切的公比都是d,又知dHl, 且 a4=b4* aio=b()：求ai与d的值；(2)b16是不是aj中的项？丨 21【例10】设a_J是等差数列，bn = (-)a« ,已知b,+b2+b3=y求等差数列的通项.O【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.【例12】有四个数，其中前

17、三个数成等差数列，后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数 的和是12,求这四个数.【例13】已知三个数成等差数列，其和为126：另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85, 76, 84.求 这两个数列.【例14】已知在数列a"中，a2. a3成等差数列，a2. a3. g成等比数列，a3、a4. a5的倒数成等差数列,证明:ab弓、 a5成等比数列.【例 15】 已知(b - c)logmx+(ca)logmy+(ab)logmz=0.(1) 设a, b, c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x, y, z成等比数列.(2)

18、设正数x, y, z依次成等比数列，且公比不为1,求证：a, b, c成等差数 列.等比数列例题解析【例1 已知Sn是数列伽的前n项和，Sn=pn(pGR, nGN*),那么数列% A.是等比数列B. 当pHO时是等比数列C. 当pHO, pHl时是等比数列D. 不是等比数列分析 由Sn=pn(nGN*),有a=S=p,并且当n>2时，%=Sn _ Sn_ 1 = P11 _ pf 1 = (p _ 1 )pn_ 1pHO故a2 =(p-l)p,因此数列%成等比数列p_lHO (p-Dp"-1 _ p(p-l)(p-2)pn_2 - P但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选

19、D说明数列伽成等比数列的必要条件是anO(n£N*),还要注意对任nEN*, n$2,上都为同一常数是其定义规定的准确含义.an-l【例2】 已知等比数列1, xp X2，X2n，2,求xj X2 X3X2n-解, X, X2,，X2n，2成等比数列，公比qA2=l q2n+1xlx2x3，x2n=cl q? q3.q2n=ql+2+3+2n2n( I-*-2n)=q 5 =勺心+】)=2n【例3】 等比数列an中，(1)已知32=4, a5 = -|,求通项公式：(2)已知a3a4a5=8，求乜旳心巧心的值.解(l)a5 = a2q5'2 Aq =-(2)Ta3 a5 =a

20、； a3 a4 a5=aj = 8又 a2a6=a3a5=a4 ci、n “4 q $“6 = Q) 32【例4】 已知a>0, b>0且aHb,在a, b之间插入n个正数x?，,Xn，使得a, X, X2，xn. b成等比数列，求证明 设这n+2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1n+laq 2【例5】 设a、b c、d成等比数列，求证：(bc)?+(ca)2+(db)2=(a -d)2.证法一 Va. b. c、d成等比数列a b c bedAb=act c2=bd, ad=bc左边=1)22bc+c2+c2 2ac+a2+d22bd+b?=2(1)2ac)+2(c? -

21、bd)+(a? - 2 be+d?)=a?2ad+d2=(a-d)2=右边证毕.证法二 Ta、b、c、d成等比数列，设其公比为q,贝J：b=aq, c=aq-t d=aq左边=(aqaq2)2+(aq2 a)2+(aq? aqp=a22a2q3+a2q6=(a_aq')2=(ad)2=右边 证毕.说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住 了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的 路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的.证 法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍

22、性.【例6】求数列的通项公式：伽中，aj=2, an+1=3an+2（2）an中，aj=2, a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0思路：转化为等比数列.解（Oan+i = 3an+2 => an+1 +1 = 3（an +1）an+l是等比数列.an+l=3 - 3»1.an=3n-l（2）an+23an+l+2an =0=>an+2 -an+l =2（an+lan）.an+1-an是等比数列，即an+lan=（a2-al）* 2n_1=3 2n_1再注意到 a2_a=3, a3_a2=3 2，a4_a3=3 2?,，anan_j=3 2n_, 这些等式相加，即

23、可以得到2n_, - 1an =3l + 2 + 22+ + 2n'2 = 3 = 3（2n_, -1）说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知.（1）中发现an+l 是等比数列，中发现an+1-an等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体 现.【例7】 若实数叫、a?、as、a。都不为零，且满足（3汁3；局一2込 （a|+a3）a4+a2-Faj = 0求证：an a?、成等比数列，且公比为a.证 Tai、a?、a3、g均为不为零的实数:.（a：+a； ）x22a2（a, +巧）x+a；= 0 为实系数一元二次方程等式（a； +a； ）a： 2乜（a1+a3）a4 +a；=

24、 0说明上述方程有实数根a。.上述方程的判别式A>0.即2a2(a1+a3)2 4(a +a；)(a；+a；)=-4(a-aia3)20(a； 33)2 WO又VaP a2x a3为实数/.(a aja3)2 20 必有af"冋 =0艮卩a； = 3|33因而ar a2. a3成等比数列2a7(aj +a3)+a3) a2乂 a4 = 7 =亠2(a + a；) a： + a)a3 a】34即为等比数列ap a2. a3的公比.【例8】 若a、b、c成等差数列，且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数 列，求b的值.解 设 a、b、c 分别为 bd、b、b+d,由已知 bd+

25、l> b、b+d 与 bd. b> b+d+2都成等比数列，有b2 =(bd+l)(b+d)b2 =(bd)(b+d + 2)整理，得b2 = b2 d2 +b + d<b2 = b2 d2 + 2b 2d.b4-d=2b-2d 即 b=3d代入，得9d2=(3d-d+l)(3d+d)9d2=(2d+l)>4d解之，得d=4或d=0(舍)Ab=12【例9】 已知等差数列aj的公差和等比数列%的公比都是d,又知dHl,且 a4=b4* aio=bo：(1)求ai与d的值；(2)b16是不是aj中的项?思路：运用通项公式列方程+ 3d = a)d3 a! + 9d = Qj

26、d9 fa1(l-d3)= - 3d a1(l-d9)= -9d=>d6+d3-2 = 0=>d, =1(舍)或d?=氏 /.Qj = d = V2d = V2(2)Tbi6=b d】5=_32b且 aq = U| +3d = 22 = b4b4 = b) d ' = 2b = 2/2.b二= 2°.b6=32b=32a,如果 bj 是aj中的第 k 项,32aj=aj+(k_ l)d解 d)iiHPio = So/(k_ l)d=33a=33dAk=34即b16是佝中的第34项.【例10】设aj是等差数列,bn = (|)a-, b,b2b3 = l,求等差数列

27、的通项.8解 设等差数列伽的公差为d.则an=ai+(n-l)d已知 b +b2 +b?=,8由6, 解得吐?，解得b,=l,002代入已知条件1blb2b3 = 35 +b2 +b3bib3 =21整理得<i bZ17T解这个方程组，得1 f1b|=2, b3 = = - , t>3 = 2/.a|= 1 d=2 或 a=3, d=2：当 aj= 1, d=2 时,an=aj +(n l)d=2n3当 a=3, d=2 时，an=aj +(n 1 )d=52n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等 差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数.解法一

28、按等比数列设三个数，设原数列为a, aq, aq2由已知：a, aq+4, aq?成等差数列HP： 2(aq+4)=a+aq2a, aq+4, aq2+32成等比数列KP： (aq+4)2=a(aq?+32)=> aq + 2 = 4afa = 2 =2，两式联立解得：$一°或FFq = 3<i l_q = _5°这三数为：2, 6, 18或g， »亍.解法二按等差数列设三个数，设原数列为b-d, b-4, b+d由已知：三个数成等比数列即：(b-4)2=(b-d)(b+d)=> 8bd2 = 16b-d, b, b+d+32成等比数列即 b2=

29、(b-d)(b+d+32)=> 32bd2 32d = 026_b = g b= 10、两式联立，解得： 或。 o d = o ld = 3三数为彳，一号，甲或乙6，18.解法三任意设三个未知数，设原数列为ai，g，a3由已知：ap a2. a3成等比数列ar玄2+4, aj成等差数列得:2(a2+4)=a +a3ara2+4, a+32成等比数列得:(a2+4)2=a1(a3 + 32)、式联立，解得:2ai = 910=29_ 50或“3j = 2a7 = 6Ja3 = 18说明将三个成等差数列的数设为a-d, a,a+d；将三个成等比数列的数设为a, aq, aq?（或仝，a, a

30、q）是一种常用技巧，可起到 q简化讣算过程的作用.【例12】 有四个数，英中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并 且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a-d, a. a+d,则第四个数由已知条件可推得:(a + d)，方法二 设后三个数为b, bq, bq2,则第一个数由已知条件推得为2b-bq方法三设第一个数与第二个数分别为x, y,则第三.第四个数依次为12- y, 16x.由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求 的四个数，解法一设前三个数为a-d, a, a+d,则第四个数为匕土.,(a + d)-/禹 若 Jad+= 16依题总，冇aa+(a+d) = 12解方程组得：二:或7=9 U =4d2 = 6所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解法二设后三个数为：b, bq, bq2,则第一个数为：2b-bq依题意有：Kbq+bq2=16b + bq = 12b = 4解方程组得:仁2b =9或1q2 = 所求四个数为：0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1. 解法三设四个数依次为x, y, 12-y, 16-x.x+(12y) = 2y y (16