版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、第15讲求数列的通项(神经网络准确记忆!利用an'"Sn求数列的通项的方法迭代法换元法 数学归纳法(n 1)Sn 1 (n 2)第课时)重点难点好好把握!重点:1由Sn f (an)求通项;2 由递推关系求通项。 难点:由递推关系求通项。考纲要求注意紧扣!1 能根据数列的前几项写出数列的通项公式;2 求能转化为等差等比的数列的通项公式。命题预测仅供参考!1 求等差等比数列的通项公式;2 求能转化为等差等比的数列的通项公式。点热丿| 定掌握!1 数列的通项公式 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每一个数叫做这个数列的一项,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数
2、列叫做无穷数列一个数列中的第n项记为an,一个数列记为an或a1 ,a2,a3,an, 通项公式的定义:如果一个数列的第 n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表 示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 数列递推式: 是指数列中相邻几项之间的关系式。例如 an 1an 3n ,an3an 1 2an 2 等等。例.根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:1, 7, 13, 19, 7 , 77, 777, 7777, 2 , 土, A , A,!0,3153563 99分析: 先不考虑符号,那么后项比前项大6,是等差数列,其通项为an 6n 5,再考虑符号,则其通项为 an (
3、 1)n(6n 5);数列可以分解为 7 x 1, 7X 11, 7x 111, 7X 1111,,而数列 1,11,111,1111 , 10n110n17的通项为10丄,故所求的通项为an7 101-(10n 1);9n99 对于分式形式的数列,可以分子分母分别找通项,同时注意分子分母之间的关系。本题分子为偶数数列,其通项为2n ;分母可以分解为1 X 3,3 X 5, 5X 7,7 X 9, 9X 11,其中每 项都是相邻两个奇数的积,其通项为(2n 1)(2n 1),故所求的通项为2n(2n1)(2 n 1)2 求通项的方法禾U用前n项和与通项的关系anSn例.设数列1,2 , 4,
4、7,的前n项之和是(n 1)Sm (n 2)& a bn cn23dn ,求这个数列的通项an,并确定a、b、c、d的值.分析:注意到Sn已知,而an与Sn之间有关系 an = Sn Sn 1 (务必理解这一关系式!),二 an = Sn Sn 1 a bn cn2 dn3 a b(n 1) c(n 1)2 d(n 1)3 即 an b d c (2c 3d)n 3dn2 .得出了通项,a、b、c、d就好求了。由数列的第2、3、4项可以根据通项列出三个方程,从而解出b、c、d。注意,通项中没已知数列 an中,a11 ,且Sn分析:利用例.2n an,求通项an。anan 1则有a2a3
5、Sn=Sn 1+an消去Sn即可。1时,有(n 1)2n21:a11:3:a22: 4Sn an = Sn2n an2(n 1) an 1 ,an : an 1 (n 1):(n把上列各式相乘得an : a1又已知a 1an1)1 2 _3 42n(n 1)2n(n 1)例*. 一个数列的前分析:an Sn此数列为偶数数列n项和为Sn2Sn 1n n2,4 , 6, 8,,2n,(n11)2 (n 1) 1 2n ,,但偶数数列的前 n项和为,求它的通项。有a,可以利用S1 = a + b +c+d 1得出答案:an彳1 1 21nn , a0 ,b5门,c 0 ,d12 266问:把n1代入
6、通项得 a1b cd,而已知a11,b c d 1,对吗?答:不对,因为这里的an是用Sn -S 1表示的,右把n1代入通项就等于承认了a1 S1 So,但我们对So未做定义,不能使用。n(ai a.) n(2 2n)2S nn n ,2 2这与已知条件 Sn n2 n 1不相同,问题出在哪里?实际上,从 an Sn Sn 1可以看出,若 n 1 ,贝U a E S,其中S0无意义.这 也就是说,只能保证当n 1时,用an Sn Sn 1推出的an才有效(特例除外)。那么当n 1时,an又该是什么呢?因为a1 S1 ,故只要从 Sn n2 n 1中求出3 ,它就是a1。所求的通项为3an2n(
7、n 1)(n 1).迭代法如果已知(或能写出)数列的递推式,则可以使用迭代法求通项。例.设a15 , an 1an3n ( n N , n 1),求数列 an的通项公式解:由an 1an3n得anan13(n 1)an 1«石 23(n 2)a3a232a?a31a15把以上n个等式两边相加得an531 2 3(n1)3 /八3 235n(n 1)nn 522233当n 1时,a1 5也适合上式,故所求的通项公式为ann2n 5。22点评:本题给出了递推式为an1 an f(n)的数列的通项公式的求法(迭代法),值得注意的是,必须对n 1时的情况加以验证,因为递推关系式是从第二项开始
8、的。如果题目给出的递推式是前后项之间的比例关系,则要把n个等式两边相乘才能约去中间的部分。例设a1 5 , an1 2an 3 ( n N,n 1),求数列 an的通项公式。分析:本题给出的递推式与上例稍有不同,需要把上题的解法变通使用解:由an 1 2an 3得an 2an1 32an 122an 23?2为了使左边相加后正负项能-2亠只亠2互相抵消,故除开第一式之外,其2 an 22an 33?2它每式两边同乘2。2n 2a22n 1a13?2n 22n 1a15?2n 1把以上n个等式两边相加得an 52n 1 3(1 2 222n 2)5 2n 1 3(2n 1 1) 8 2n 1 3
9、a1 5 也适合上式 , 故所求的通项公式为 an 8 2n 1 3 。 换元法如果已知或能写出数列的递推式,则可以使用换元法求通项 .例.ai 5 , an i 2an 3 ( n N , n 1),求数列 an的通项公式。(这就是上面 使用迭代法求通项的例子,现在我们改用换元法来做 .)解:把递推式变形为an 132(an3) , 令bnan13 ,则 bn 12bn( n 1 ), bn是以bi ai 3 8为首项,2为公比的等比数列。二 bn 8 2n 1,即 an 3 8 2n 1 , an 8 2n 1 3 。点评:换元法的关键在于建立一个与原数列有着某种关系的新数列, 而这个新数
10、列是等差或等比数列 .这样就可以求出新数列的通项,从而求出原数列的通项。此法技巧性较强。 数学归纳法例.a 5 ,an 12an3 ( n N , n1),求数列an的通项公式。(这就是上面使用迭代法求通项的例子,现在我们改用数学归纳法来做。 )由 a1 5 , an 1 2an 3 得a22a132?5 3a32a2322 ?5 3?2 3a42a3323 ?5 3?223?23故作出猜测,当n1 时,有an 2n 1 ?5 3?2n 2 3?2n 33?2 32n 1 ?5 3(2n 22n 321)2n 1 ?5 3(2n 11) 82n 13证明:当n2 时, a28 22 1 313
11、 ,由递推式有 a2 2a13 2?5 313 ,故当n2 时 , 猜测成立;假设 当n k时,猜测成 立 , 即ak8 2k 13 ,那么ak 182k 1>rs/138?2k 3 ,2(8 2n1k由递推式有ak 1 2ak 3n 13)38?2k 3 ,故当nk 1 时 , 猜测成立;当n1时, a18 21 13 5 ,可见此数列的第一项也符合猜测。综上所述 ,此数列的通项公式为an8 2n13 。能力测试 认真完成!1.已知数列5, 0, 5, 0, 5,0, -5 , 0,写出其通项公式。2. 一个数列的前n项和为 Sn 3n 1 ,求该数列的通项。3 *.设数列的首项a!1
12、,前n项和与通项满足条件an2Sn22Sn11),求通项公式。4.已知数列 an满足a1 b , an 1 can d ,其中c、d为常数,且 c 1 ,求an。 请你使用迭代法、数学归纳法和换元法这三种方法解本题。5。数列 an中,a 5 , a2 4 , 5an 2 9an 1 4an 0,求 an。 提示:如果变通使用上面介绍的方法 , 可以得出较简单的解法。参考答案DS 2401-03仔细核对!求通项的方法从数列的前几项写岀数列的通项S1 (n 1)Sn Sn 1 (n利用an2)1.已知数列5,迭代法换元法 数学归纳法 特殊值法0, -5 , 0,5, 0, -5 , 0,写出其通项
13、公式。解:数列的各项具有周期性,因为数列1,故所求的通项为5s in .2 n项和为 Sn3n 1an =Sn- Sn 1=(3“(n 1)(n 1) 3n12. 一个数列的前解:a1an解题错误:S143n写成3n3 *.设数列的首项a11公式。VVVV0, -1 , 0, 1,0 , -1 , 0,的通项为,求该数列的通项2 3n1)(3n 11),没有将其化简为2 3n 1,前n项和与通项满足条件an2Sn2nsin ,22Sn 11),求通项解:*an = Si - Sn 1 , ann2Sn两边同乘细1 得 Sn 1 ='如果我们把1看成一个数列的通项,Sn又S1a11 ,占
14、1 ,数列-1 的通项为 -2nSnSn2& Snn 1),二an =Sn - Sn 1Sn Sn2Sn212Sn1 ),则由上述结果可知此数列是公差为数列 的首项为1,SnSn12n 1 ,2的等差数列,2n 1当n 1时,上式右边等于(2n 1)(2n 3)("an(2n1)(2 n 3)2(n 1) 12,不等于a1 ,因此所求数列的通项公式为(n 1)(n 1)。1说明:通过求出也可得到Sn.Sn4.已知数列 an满足 a1 b , an 1 can请你使用迭代法、数学归纳法和换元法这三种方法解本题。解法一(迭代法):an can 1 d2c an 23c ancan
15、 12c an 2cdc2d,其中c、d为常数,且c 1,求an.n 2c a21a1cn 2d上面各式相加得ancn 1a1 dcdben 1 d(1 c )又a1b也适合此通项,二abcnd(1(或写成:anbcn(d b)cn1a1ba2ca1dcbda3ca2dc2bcd da4ca3dc3bc2d cddann 1c bn c2dn 3 ,c dcd1c解法二(数学归纳法)dn c211bn(c1)d1b(1)n1 cn-c bn 1c (dcb)1即令an 1xcan 1can(c1)x ,把它和an 1 can d 相比较可知anxdx(c1),c1令bnanx,即.dbnanc1又a1b ,则 bnd疋以 b为首项,公比为c的等比数列,c1anbnddn 1(b)cdbcn(db)cn 1 doc1c 1c 1c1x,使这个数列成为等比数列。1 1 c下面再用
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年知识产权质押担保合同示范文本3篇
- 2025年绿色仓储租赁合同范本6篇
- 《汽车物流复习》课件
- 二零二五年度绿色建筑交易合同范本4篇
- 云煤二矿23303综采工作面初采初放水力压裂技术的研究与应用
- 二零二五版民间债权转让合同范本4篇
- 煤矿井下常见“三违”行为及其防治
- 二零二五版模具维修保养及升级服务协议3篇
- 2025年度海鲜餐厅租赁合同及海鲜供应协议3篇
- 二零二五年度临时工劳动合同书范本(含离职交接流程)4篇
- 带状疱疹护理查房课件整理
- 年月江西省南昌市某综合楼工程造价指标及
- 奥氏体型不锈钢-敏化处理
- 作物栽培学课件棉花
- 交通信号控制系统检验批质量验收记录表
- 弱电施工验收表模板
- 绝对成交课件
- 探究基坑PC工法组合钢管桩关键施工技术
- 国名、语言、人民、首都英文-及各地区国家英文名
- API SPEC 5DP-2020钻杆规范
- 组合式塔吊基础施工专项方案(117页)
评论
0/150
提交评论